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Periodische Vorgänge modellieren – Übung

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Die Autor/-innen
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Martina Weil
Periodische Vorgänge modellieren – Übung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Periodische Vorgänge modellieren – Übung

In diesem Video erhältst Du die Möglichkeit, das Modellieren periodischer Prozesse zu üben. Du konstruierst selbständig den Graphen der Funktion und stellst die Funktionsgleichung sowie die Formeln der Parameterbestimmung auf. Du erhält natürlich auch die Möglichkeit, deine Ergebnisse mit mir zu vergleichen.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. @Thanuja Sriranjan : Hallo,

    nein, so ist das a definiert. Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodenlänge.

    Liebe Grüße und viel Erfolg beim Lernen!

    Von Marianthi M., vor etwa 3 Jahren
  2. rechnet man b nicht mit ymax -ymin durch 2 aus

    Von Thanuja Sriranjan, vor etwa 3 Jahren
  3. @Elena Roevenich:
    b ist gerundet 5,2. d ist hier etwas kompliziert aufgeschrieben. Du kannst d so berechnen:
    d = b · (xmax+xmin)/2
    xmax ist der x-Wert des Maximums und xmin der x-Wert des Minimums.
    Min ( 7 | 0,6 ) und Max (13 | 4,5 )
    Also rechnen wir:
    d = 0,52 · (13 + 7 ) /2 = 0,52 * (20)/(2) = 0,52 · 10 = 5,2
    Bitte merke dir also die Formel d = b · (xmax+xmin)/2 !
    Alternativ kannst du die allgemeine Sinusfunktion auch so definieren:
    f(x) = a · sin [ b · (x-d) ] + e
    Das findest du zum Beispiel in dem folgenden Video:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/einfluss-des-parameters-d-auf-die-sinusfunktion-1
    Dann gilt die Formel d = (xmax+xmin)/2 ohne die Multiplikation mit b.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Wende dich gerne heute von 17 - 19 Uhr an den Hausaufgaben-Chat. Hier werden dir unsere Mathe-Experten bei deinen letzten Fragen helfen.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 6 Jahren
  4. Frag ich mich auch?... Wie kann man d berechnen? Morgen ist die Arbeit und ich hab keine Ahnung, weil Du Martina das nicht erklärt hast!

    Von Elena Roevenich, vor fast 6 Jahren
  5. Tolles Video, ging mir aber beim Parameter d zu schnell. Das ich den Wert aus der Grafik lesen kann ist mir klar. Wie kann ich aber d berechnen?

    Von Hug Login, vor mehr als 6 Jahren

Periodische Vorgänge modellieren – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Periodische Vorgänge modellieren – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie die Parameter bei einer Modellierung periodischer Vorgänge berechnet werden können.

    Tipps

    Die Amplitude ist die Hälfte der Differenz der Funktionswerte der Extremwerte.

    Die trigonometrische Funktion $\sin$ ist $2\pi$-periodisch.

    $x_e$ ist die Stelle, an dem das arithmetische Mittel vor dem Maximum seinen Wert annimmt.

    Lösung

    Periodische Vorgänge können durch eine Sinusfunktion modelliert werden:

    $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$.

    Wofür stehen die Parameter?

    • $a$ steht für die Amplitude, also die Hälfte der Differenz von maximalem und minimalem Wert: $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2$.
    • $b$ steht für die Veränderung der Periodenlänge. $b=\frac{2\pi}p$, wobei $p$ die Periodenlänge des Vorganges ist.
    • $d$ berechnet man mit der Stelle, an welcher das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird: $d=b\cdot x_e$ mit $f(x_e)=e$.
    • $e$ ist das arithmetische Mittel der Extremwerte: $e=\frac{y_{max}+y_{min}}2$.

  • Bestimme den Zeitraum, in welchem Gauß in See stechen kann.

    Tipps

    Setze einzelne Werte in der Funktionsgleichung ein. Wenn $1,5~m$ Meter überschritten sind, kann Gauß starten.

    Du kannst auch eine Wertetabelle für den Wasserstand zwischen $7:00$ Uhr und $19$ Uhr an. Setze dazu die $x$-Werte von $7$ bis $19$ in die Funktionsgleichung ein.

    Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD für Bogenmaß eingestellt ist.

    Hier kannst du ein paar Werte und ihre Funktionswerte ablesen.

    • $f(9) \approx 1,58$
    • $f(8,5) \approx 1,18$
    • $f(18) \approx 0,89$
    • $f(17) \approx 1,6$
    Lösung

    Die Funktionsgleichung, durch welche der Wasserstand berechnet werden kann, ist gegeben durch

    $f(x)=1,95\cdot \sin(0,52x-5,2)+2,55$.

    Der Wasserstand um $7:00$ beträgt $0,6~m$.

    Nun können einzelne Funktionswerte, alle Angaben in Metern, berechnet werden:

    • $f(8)=1,95\cdot \sin(0,52\cdot 8-5,2)+2,55\approx 0,87$
    • $f(8,5)=1,95\cdot \sin(0,52\cdot 9-5,2)+2,55\approx 1,18$
    • $f(9)=1,95\cdot \sin(0,52\cdot 9-5,2)+2,55\approx 1,58$.
    Um $8:30$ Uhr ist der Wasserstand noch zu niedrig. Um $9:00$ Uhr kann Gauß starten.

    Da die Sinusfunktion symmetrisch ist folgt, dass Gauß spätestens um $19-(9-7)=19-2=17:00$ Uhr wieder zurück sein muss. Um $17:30$ Uhr ist der Wasserstand wieder bei ungefähr $1,18~m$.

  • Entscheide, ob es sich um einen periodischen Vorgang handelt.

    Tipps

    Ein periodischer Vorgang liegt vor, wenn Vorkommnisse

    • sich ständig auf die gleiche Art und Weise
    • in gleichen Abständen wiederholen.

    Der maximale und minimale Abstand kann abgelesen werden.

    Die Periode ist die Dauer von einem Maximalwert zum nächsten.

    Lösung

    Es handelt sich bei diesem Vorgang um einen periodischen Vorgang.

    Der Satellit bewegt sich auf einer Bahn, auf welcher er sich in maximalem, $6$, und minimalem Abstand, $4$, zum Zentrum befindet.

    • Dieser Vorgang wiederholt sich immer wieder
    • in gleicher Weise.
    Für die Modellierung dieses Vorganges durch

    $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$

    werden

    • der maximale Abstand: $y_{max}=6$,
    • der minimale Abstand: $y_{min}=4$ sowie
    • die Periodendauer $p=\frac72=3,5$ benötigt.

  • Leite die Gleichung der Funktion her, die den Abstand des Satelliten zum Zentrum auf der Ellipsenbahn beschreibt.

    Tipps

    Wir gehen näherungsweise davon aus, dass die Stelle, an dem das arithmetische Mittel (5) vor dem Maximum angenommen wird exakt bei einem Viertel der Periodenlänge liegt, d.h $x_e=3,5:4$.

    Es gelten:

    • $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
    • $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
    • $d=b \cdot x_e$, wobei $f(x_e)=e$ gilt und die Stelle vor dem Maximum gemeint ist.
    • $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$

    Lösung

    Wir gehen näherungsweise davon aus, dass die Stelle, an dem das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird exakt bei einem Viertel der Periodenlänge liegt, d.h $x_e=3,5:4$.

    Um die Gleichung der Funktion

    $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$

    herzuleiten, müssen die Parameter berechnet werden:

    1. $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2=\frac{6-4}2=1$.
    2. $b=\frac{2\pi}{3,5}=\frac{2\pi}{3,5}\approx 1,8$.
    3. $d=\frac{3,5}4\cdot b=1,575$ mit der Stelle, an welcher das arithmetische Mittel (5) vor dem Maximum angenommen wird.
    4. $e=\frac{x_{max}+y_{min}}2=\frac{6+4}2=5$.
    Die Funktionsgleichung lautet demnach:

    $f(x)= \sin(1,8x-1,575)+5$.

  • Stelle die Funktionsgleichung auf, durch die die Wasserhöhe bei den Gezeiten beschrieben werden.

    Tipps

    Es gelten:

    • $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
    • $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
    • $d=b \cdot x_e$, wobei $f(x_e)=e$ gilt und die Stelle vor dem Maximum gemeint ist.
    • $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$

    Du kannst die Werte aus der Aufgabe auch in die verschiedenen Funktionsgleichungen einsetzen. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD für das Bogenmaß und nicht auf DEG für das Gradmaß eingestellt ist.

    Lösung

    Periodische Vorgänge können durch eine Sinusfunktion modelliert werden:

    $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$.

    Wofür stehen die Parameter?

    • $a$ steht für die Amplitude, also die Hälfte der Differenz von maximalem und minimalem Wert: $a=\frac{4,5-0,6}2=1,95$.
    • $b$ steht für die Veränderung der Periodenlänge. $b=\frac{2\pi}{12}\approx 0,52$.
    • $d$ berechnen wir mit der Stelle, an welcher das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird: $d=b\cdot \frac{13+7}2=b\cdot 10=5,2$.
    • $e$ ist das arithmetische Mittel der Extremwerte: $e=\frac{4,5+0,6}2=2,55$.
    Die Funktionsgleichung lautet demnach:

    $f(x)=1,95\cdot \sin(0,52x-5,2)+2,55$.

  • Ermittle die Stellen, an welchen der Satellit den Abstand $5,5$ [LE] zum Zentrum hat.

    Tipps

    In jedem der vier Quadranten liegt ein Punkt mit dem Abstand $5,5$ [LE] zum Zentrum. Wir betrachten nur den ersten und vierten Quadranten.

    Löse die Gleichung $f(x)= \sin(1,8x-1,575)+5=5,5$. Es gilt $\sin^{-1}\left(0,5\right)=\frac{\pi}{6}$.

    Beachte die Symmetrie-Eigenschaften und die Periodizität der Sinusfunktion.

    Lösung

    Es muss die Gleichung

    $f(x)= \sin(1,8x-1,575)+5=5,5$

    gelöst werden:

    $\begin{align*} \sin(1,8x-1,575)+5&=5,5&|&-5\\ \sin(1,8x-1,575)+5&=0,5&|&\sin^{-1}\\ 1,8x-1,575&=\frac{\pi}6 \\ x&\approx 1,165888209 \approx 1,17 \end{align*}$

    Es fehlt eine weitere Lösung in dem vorgegebenen Intervall $x\in[0;3,5]$ in Tagen. Das Maximum liegt bei $3,5:2=1,75$ Tagen. Demnach beträgt der Abstand ebenfalls $5,5$ [LE], wenn du die Differenz zwischen der ersten Stelle und der Stelle des Maximums auf das Maximum addierst, das bedeutet $1,75+(1,75-1,17)=1,75+2,33$. Demnach ist unsere zweite Stelle bei $x\approx 2,33$ Tagen gefunden.

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