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Oberflächeninhalt von Quader und Würfel berechnen 11:56 min

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Transkript Oberflächeninhalt von Quader und Würfel berechnen

Hallo und herzlich willkommen! Dieses Video heißt "Oberflächeninhalt von Quader und Würfel berechnen". Der Film ist ein Übungsvideo mit 2 Aufgaben. Ihr wisst schon, wie man die Oberfläche von Quader und Würfel berechnet. Nachher könnt ihr Anwendungsaufgaben zum Oberflächeninhalt von Quader und Würfel lösen. Übrigens, Oberfläche oder Oberflächeninhalt bedeutet jeweils dasselbe. Das Video besteht aus 3 Abschnitten: 1. Die Oberfläche 2. Sitzquader bekleben 3. Bausteine lackieren 1. Die Oberfläche. Wenn wir bei einem Quader die Länge a, die Breite b und die Höhe c kennen, so können wir auch seine Oberfläche berechnen. Die Oberfläche: A=2ab+2ac+2bc. Man kann auch die 2 ausklammern und erhält: A=2(ab+ac+bc). Bei einem Würfel sind Länge, Breite und Höhe gleich, jeweils a. Die Formel für seine Oberfläche ist: A=6a². Diese Formeln werden uns helfen, die Aufgaben zu lösen. 2. Sitzquader bekleben. In der Kita sollen Sitzquader mit farbigem Papier beklebt werden. a) Berechne den Papierverbrauch für einen Quader in cm² und m². Wir benötigen noch die Maße des Quaders. Die Länge beträgt 70 cm, die Breite 40 cm und die Höhe 30 cm. Wir erinnern uns an die Formel für die Oberfläche des Quaders: a=70 cm, b=40 cm und c= 30 cm. Wir setzen die Werte in die Formel ein und rechnen ohne Einheiten. Das geht wunderbar im Kopf. A=2(70×40, 7×4=28 und 2 Nullen, 2800, entsprechend +2100+1200). Wir rechnen vorteilhaft. 2800+1200=4000+2100=6100. A=2×6100. Die Oberfläche beträgt 12200 cm². Die Umrechnung in m² erfordert Division durch 10000, das Komma verschiebt sich um 4 Stellen. Die Oberfläche beträgt 1,22 m². b) Wie viel kostet das Bekleben eines Quaders, wenn der Preis für 1 m² Papier 9 Euro beträgt? Wir haben für den Preis P die Fläche A in m² mit dem Preis für 1 m² zu multiplizieren. Also P=1,22×9. Das können wir schriftlich berechnen. Wir erhalten für (b) P=10,98 Euro. c) Runde die Kosten für einen Quader auf ganze Euro. Habt ihr das Ergebnis? Richtig, 11,00 Euro . Das Bekleben eines Sitzquaders kostet etwa 11,00 Euro. 3. Bausteine lackieren: Holzbausteine sollen farbig lackiert werden. a) Berechne die zu lackierende Fläche für 1000 Bausteine. Wir benötigen nun die Länge, die Breite und die Höhe der 3 Körper. Für den grünen Quader sind sie 6, 3 und 1,5 cm. Beim roten Quader betragen sie 6, 3 und 3 cm. Der 3. Baustein ist ein Würfel. Länge, Breite und Höhe betragen jeweils 3 cm. Wir beginnen mit dem grünen Quader und notieren die Formel für die Oberfläche. Wir setzen die Werte ein. Wir berechnen die Produkte in der Klammer. Das Klammerergebnis ist 31,5. Die Oberfläche des Bausteins beträgt 63 cm². Diesen Wert müssen wir mit 1000 multiplizieren. 1000×A=63000 cm². Wir notieren das Ergebnis. Nun wird die Oberfläche des roten Quaders berechnet. Wir setzen die Werte in die Formel ein. Wir berechnen die Produkte in der Klammer. Wir addieren die Produkte und erhalten A=2×45. Dieser Wert wird mit 1000 multipliziert. Wir erhalten 90000 cm² und notieren das Ergebnis. Der blaue Baustein ist ein Würfel. Die Formel für die Oberfläche lautet: A=6a². Wir setzen den Wert für A in die Formel ein. Wir erhalten für die Oberfläche 54 cm². Der Wert wird mit 1000 multipliziert. Wir erhalten 54000 cm² und notieren das Ergebnis. b) Für einen Quadratmeter Fläche benötigt man 50 ml Lack. Berechne den Lackverbrauch für jeweils 1000 Bausteine. Wir beginnen mit den grünen Quadern. Zunächst müssen wir cm² in m² umrechnen. Wir teilen durch 10000 und verschieben das Komma um 4 Stellen. Das Ergebnis ist 6,3 m². Die Menge an Lack bezeichne ich mit V. Wir müssen die Fläche mit der Menge für einen m² multiplizieren. Also 6,3×50. Wir erhalten als Ergebnis 315 ml. Die Umrechnung für die roten Quader erfolgt ebenso. Wir erhalten als Ergebnis 9 m². Die Fläche 9 müssen wir wieder mit 50 multiplizieren. Wir erhalten 450 ml. Und schließlich die Rechnung für die Würfel. Die Oberfläche beträgt 5,4 m². Wir multiplizieren diesen Wert wieder mit 50 und erhalten 270 ml. c) Nenne jeweils ein Gefäß, dessen Fassungsvermögen dem Lackverbrauch entspricht. 315 ml ist etwa das Fassungsvermögen einer kleinen Getränkedose. 450 ml ist etwa das Fassungsvermögen einer Getränkeflasche. Und 250 ml ist etwa das Fassungsvermögen eines Trinkglases. Ich denke, wir können auf die Ergebnisse stolz sein. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg - tschüss!

33 Kommentare
  1. das video war fantastisch morgen habe ich eine arbeit dann sehe ich ob es mir wirklich so viel gebracht hat wie ich denke

    Von Retu, vor etwa 2 Monaten
  2. SSSSUUUUPPPPEEEERRRR....

    Von L Nasilewski, vor 2 Monaten
  3. wir haben das in der Schule anders gemacht

    Von Andrea Mai Ogb, vor 4 Monaten
  4. ser gut hat mir geholfen

    Von Niko 96, vor 5 Monaten
  5. Das Video war gut und hat mir sehr geholfen. Da ich krank war, konnte ich den versäumten Stoff hier gut nachholen und übern, super.

    Von Casiopeia64, vor etwa einem Jahr
  1. cool, und

    gut erklärt

    Von Leon S., vor etwa einem Jahr
  2. ich meinte O statt A

    Von Luis2006, vor etwa einem Jahr
  3. es ist ein gutes video aber mann lernt in der schule das es o statt a heißt

    Von Luis2006, vor etwa einem Jahr
  4. O ist unklug, weil es kann mit 0 verwechselt werden.
    Für die Fläche ist A vom englischen Wort Area vorgesehen.
    Können kann man fast alles. V wohl kaum, denn es steht für Volumen. I steht für Stromstärke, U für Spannung. W für Arbeit, P für Leistung, E für Energie, M für Drehmoment, R für elektrischen Widerstand usw.
    Viel Erfolg und alles Gute

    Von André Otto, vor etwa einem Jahr
  5. @Kuen Kx159 Hallo Kuen, du kannst A natürlich mit O ersetzen. A steht immer für eine Fläche. Die Oberfläche ist natürlich auch eine Fläche. Letzten Endes könnte man aber auch jede andere Bezeichnung nutzen. Viel Erfolg beim Lernen!

    Von Hjördis Leiser, vor etwa einem Jahr
  6. Heißt A nicht egendlich O so heißt das bei uns in der s

    Schule

    Von Kuen Kx159, vor etwa einem Jahr
  7. ups war ausversehen

    Von Irode, vor etwa einem Jahr
  8. thwrghbsgb

    Von Irode, vor etwa einem Jahr
  9. danke ich kann jetzt alles

    Von Irode, vor etwa einem Jahr
  10. das beste video

    Von Irode, vor etwa einem Jahr
  11. Einschlägige Begründung fehlt.

    Von André Otto, vor etwa einem Jahr
  12. sehr schlecht

    Von Meryem Moll, vor etwa einem Jahr
  13. "Aber was ist ein Sitzquader ???"
    Designermöbel, gepolstert, zum Sitzen.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  14. Danke Habe jetzt alles Verstanden!!

    Von Robin L., vor mehr als einem Jahr
  15. TOLLES VIDEO :) :) :)
    Aber was ist ein Sitzquader ???

    Von Wadi Raid, vor mehr als einem Jahr
  16. Habe es endlich kapiert. :)

    Von Lara113, vor etwa 2 Jahren
  17. Fläche / Oberfläche (Areal / area), Preis. A. O.

    Von André Otto, vor etwa 2 Jahren
  18. SUPER VIDEO
    Nur ich habe eine frage was soll A= und P= heißen????
    Weil bei uns in der Schule haben wir nur O= (O= Oberfläche )

    Von Lilly S., vor etwa 2 Jahren
  19. Hallo Matigele,

    deine Formel entsteht aus meiner Formel, indem man die "2" ausklammert.

    Alles Gute

    Von André Otto, vor etwa 3 Jahren
  20. Super Video! ☺
    Aber eine Frage: Ich (wir) haben das so gelernt das die Formel
    A= 2•(a•b+b•c+a•c) ist, ist das egal wie oder warum?

    Von Matigele, vor etwa 3 Jahren
  21. gutes video

    Von Runta, vor etwa 3 Jahren
  22. Gutes video ende aber zu kurz!

    Von Stefan Wehrheim, vor etwa 5 Jahren
  23. ach so!
    ich hab Kubikmetern und Oberfläche gemischt . aa danke sehr denn ich habe morgen eine arbeit

    Von behrad r., vor etwa 5 Jahren
  24. Falsch. 100 cm2 sind EIN dm2.
    Ebenso: 100 dm2 sind EIN m2.
    100 mal 100 sind gerade 10 000 (Zehntausend).
    Alles Gute

    Von André Otto, vor etwa 5 Jahren
  25. sehr gut,aber wieso muss man damit man von cm2 auf m2 mal 10000 rechen und nicht 1000000,denn wenn man auf auf dm2 rechnet muss man mall 1000 und dann noch auf m2!
    sonst alles jut.

    Von behrad r., vor etwa 5 Jahren
  26. dankeschön ebenfalls

    Von T Mikeljevic, vor mehr als 5 Jahren
  27. Danke.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 5 Jahren
  28. Das Video war gut, leider war aber das Ende viel zu kurz und man ist in manchen Stellen gar nicht mehr mitgekommen.

    Von Shabana.A, vor mehr als 5 Jahren
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Oberflächeninhalt von Quader und Würfel berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oberflächeninhalt von Quader und Würfel berechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Formel für die Berechnung der Oberfläche eines Quaders an.

    Tipps

    Die Oberfläche setzt sich aus der Summe aller Flächen eines Quaders mit den Kanten a, b und c zusammen.

    Jeweils zwei Flächen eines Quaders sind gleich groß. Überlege, wie sich die einzelnen Flächen berechnen lassen.

    Beachte, dass genau zwei Formeln richtig sind.

    Lösung

    Die Oberfläche eines Quaders ist die Summe aller Flächen (rechte Fläche, linke Fläche, Vorder- und Hinterfläche, Deck- und Grundfläche) eines Quaders.

    Rechte und linke Fläche haben jeweils den Flächeninhalt

    $A=\text{Breite} \cdot \text{Höhe} =b \cdot c$.

    Vorder- und Hinterfläche haben jeweils den Flächeninhalt

    $A=\text{Länge} \cdot \text{Höhe} =a \cdot c$.

    Deck- und Grundfläche haben jeweils den Flächeninhalt

    $A=\text{Länge} \cdot \text{Breite} = a \cdot b$.

    Wenn wir alle Flächen addieren, kommen wir zu der Formel:

    $A=2ab+2ac+2bc$.

    Wenn wir die 2 ausklammern, können wir auch wie folgt schreiben:

    $A=2(ab+ac+bc)$.

  • Berechne die Kosten für das Bekleben eines Quaders mit farbigem Papier.

    Tipps

    Um die Kosten auszurechnen, müssen wir zunächst bestimmen, wie viel Papier wir benötigen.

    Dazu nutzen wir die Oberflächenformel eines Quaders $A=2(ab+ac+bc)$ und setzen die gegebenen Werte ein.

    Lösung

    Um die Kosten für das Bekleben eines Sitzquaders mit Papier zu berechnen, müssen wir zunächst bestimmen, wie viel Papier wir benötigen.

    Wir erinnern uns an die Formel zur Oberflächenberechnung $A=2(ab+ac+bc)$ eines Quaders, damit wir die Oberfläche des Sitzquaders und somit das benötigte Papier berechnen können.

    Wir setzen die Werte für Länge ($a=70~cm$), Breite ($b=40~cm$) und Höhe ($c=30~cm$) in die Formel ohne Einheiten ein, damit wir einfacher rechnen können.

    $A=2(70 \cdot 40+70 \cdot 30+40 \cdot 30)=2(2800+2100+1200)=2 \cdot 6100=12200$.

    Als Ergebnis erhalten wir $12200~cm^2$. Wir wissen, dass $1~m^2$ Papier $9~€$ kostet. Also müssen wir unser Ergebnis in $m^2$ umrechnen. Wenn wir von Quadratzentimeter in Quadratmeter umrechnen wollen, müssen wir durch 10 000 teilen.

    Also ist $A=12200~cm^2=1,2200~m^2$.

    Anja benötigt $1,22~m^2$ Papier, um den Sitzquader zu bekleben.

    Nun müssen wir nur noch den Preis P für das Papier bestimmen, indem wir die Menge an Papier mit dem Faktor 9 multiplizieren:

    $P=1,22 \cdot 9=10,98$.

    Gerundet auf ganze Euro kostet das Bekleben eines Sitzquaders etwa $11~€$.

  • Berechne die Oberfläche übereinander gestapelter Würfel.

    Tipps

    Die Oberfläche des Turms ist nicht dreimal die Oberfläche eines Würfels, da Flächen verdeckt sind.

    Überlege dir, welche Flächen übereinander liegen bzw. wie viele Flächen verdeckt werden. Diese Flächen gehören nicht zur Oberfläche des Turms.

    Es ist ratsam die Größe einer Fläche des Würfels zu bestimmen, um die Oberfläche des Turms zu bestimmen.

    Welchen Wert für a musst du in die Oberflächenformel $A=6a^2$ eines Würfels einsetzen, damit du auf eine Oberfläche von $6~cm^2$ kommst?

    Lösung

    Ein Holzwürfel hat eine Oberfläche von $6~cm^2$.

    Wenn wir drei Holzwürfel übereinander stapeln, könnten wir fälschlicher Weise annehmen, dass die Oberfläche des Turms dreimal die Oberfläche des Würfels ist. Also $A=3 \cdot 6~cm^2=18~cm^2$.

    Hierbei missachten wir allerdings, dass die Oberfläche des Turms nur eine Grund- bzw. Deckfläche hat. Wir müssen also, um die Oberfläche des entstandenen Quaders zu berechnen, die übereinander liegenden Deck- und Grundflächen der Würfel von unserem Ergebnis abziehen.

    Hierzu müssen wir uns zunächst überlegen, wie viele Flächen übereinander liegen. Die Deckfläche des untersten Würfels liegt unter der Grundfläche des mittleren Würfels und die Deckfläche desselben liegt unter der Grundfläche des obersten Würfels. Wir müssen also zwei Deckflächen und zwei Grundflächen abziehen.

    Nun müssen wir die Größe der Deck- bzw. Grundflächen bestimmen. Deck- und Grundfläche sind kongruent und haben den gleichen Flächeninhalt. Weiter gilt in einem Würfel, dass alle sechs Flächen (linke, rechte, Vorder-, Hinter-, Grund- und Deckfläche) gleich groß sind.

    Wir erinnern uns, dass die Formel für die Oberfläche in einem Würfel $A=6a^2$ lautet. Wir wissen, dass die Oberfläche eines Würfels von Thorsten $6~cm^2$ beträgt. Wenn wir nun $6~cm^2$ durch sechs (Flächen) teilen, erhalten wir die Oberfläche einer Fläche des Würfels.

    Die Oberfläche einer Fläche und damit auch der Deck- bzw. der Grundfläche des Würfels beträgt $1~cm^2$.

    Nun können wir die beiden Deck- und Grundflächen von den $18~cm^2$ abziehen:

    $\begin{align} A&=18~cm^2-(2 \cdot 2 \cdot 1~cm^2) \\ &=18~cm^2-4~cm^2 \\ &=14~cm^2 \\ \end{align}$

    Schließlich haben wir das richtige Ergebnis für die Oberfläche dreier übereinander gestapelter Würfel bestimmt, nämlich $14~cm^2$.

  • Bestimme den Lackverbrauch für 1000 Holzbausteine.

    Tipps

    Die Oberfläche eines Quaders beträgt $A=2(ab+ac+bc)$.

    Wenn wir Quadratzentimeter in Quadratmeter umrechnen, teilen wir durch 10 000.

    Lösung

    Zunächst müssen wir berechnen, wie groß die Fläche ist, die lackiert werden soll.

    Dazu bestimmen wir die Oberfläche eines Bausteins, um dann die Fläche für 1000 Bausteine auszurechnen.

    Wir setzen die Werte für a, b und c in die Oberflächenformel ein:

    $\begin{align} A&=2(6 \cdot 3+6 \cdot 1,5+3 \cdot 1,5) \\ &=2(18+9+4,5) \\ &=2 \cdot 31,5 \\ &=63 \\ \end{align}$

    Die zu lackierende Fläche ist also $63~cm^2 \cdot 1000=63~000~cm^2$ groß.

    Da wir nur wissen, wie viel Lack wir für einen Quadratmeter benötigen, rechnen wir unser Ergebnis um: $63000~cm^2=6,3000~m^2$.

    Im nächsten Schritt können wir jetzt die Menge an Lack bestimmen. Hierzu multiplizieren wir unser Ergebnis mit dem Faktor 50, da für einen Quadratmeter Fläche $50~ml$ Lack gebraucht werden:

    $V=6,3 \cdot 50=315$.

    Wir brauchen also $315~ml$ Farbe, um die gesamten Bausteine zu lackieren.

  • Bestimme die Kantenlänge eines Würfels.

    Tipps

    Die Oberflächenformel eines Würfels lautet $A=6a^2$.

    Ein Würfel hat sechs gleich große quadratische Flächen. Alle Flächen zusammen ergeben die Oberfläche A. In der Aufgabenstellung haben wir bereits $A=24~cm^2$ gegeben. Wir können also $24=6a^2$ schreiben.

    Setze Werte für a solange in die Gleichung $24=6a^2$ ein, bis sie richtig ist.

    Lösung

    Der Oberflächeninhalt ist gegeben. Er beträgt $24~cm^2$.

    Die Oberflächenformel eines Würfels lautet $A=6a^2$. Um die Kantenlänge zu bestimmen, müssen wir die Oberfläche durch 6 teilen und uns dann überlegen wie groß a sein kann.

    $24:6=4$

    Was sagt uns das Ergebnis?

    Alle sechs Flächen eines Würfels sind gleich groß. Jede einzelne Fläche ist also $4~cm^2$ groß.

    Eine zweite Eigenschaft, die uns helfen wird, die Kantenlänge zu berechnen, ist die quadratische Form jeder der sechs Flächen.

    Ein Quadrat wird durch $A=a \cdot a=a^2$ berechnet. Bezogen auf unsere Fläche müssen wir also eine Kantenlänge suchen, die im Quadrat den Wert 4 ergibt.

    Somit muss $a=2$ sein, denn $2^2=4$.

    Die Kantenlänge des Würfels mit dem Oberflächeninhalt ist $a=2~cm$.

  • Ermittle die Oberflächen verschiedener Zuckerstücke.

    Tipps

    Die Oberflächenformel eines Quaders lautet: $A=2(ab+ac+bc)$.

    Die Oberflächenformel eines Würfels lautet: $A=6a^2$.

    Lösung

    Das Zuckerstück mit der größten Oberfläche hat die größte Auflösegeschwindigkeit.

    In den Lösungsmöglichkeiten sind jeweils die Kantengrößen verschiedener Quader angegeben. Die Oberflächenformel eines Quaders lautet: $A=2(ab+ac+bc)$.

    Wir müssen nun nacheinander die Oberflächen der einzelnen Quader berechnen.

    Zuckerstück 1 mit $a=0,1~cm$, $b=2~cm$, $c=5~cm$:

    $\begin{align} A&=2(0,1 \cdot 2+0,1 \cdot 5+2 \cdot 5) \\ &=2(0,2+0,5+10) \\ &=2 \cdot 10,7 \\ &=21,4 \\ \end{align}$

    Die Oberfläche des Zuckerstücks 1 ist $21,4~cm^2$ groß.

    Zuckerstück 2 mit $a=0,2~cm$, $b=5~cm$, $c=1~cm$:

    $\begin{align} A&=2(0,2 \cdot 5+0,2 \cdot 1+5 \cdot 1) \\ &=2(1+0,2+5) \\ &=2 \cdot 6,2 \\ &=12,4 \\ \end{align}$

    Die Oberfläche des Zuckerstücks 2 ist $12,4~cm^2$ groß.

    Zuckerstück 3 mit $a=0,5~cm$, $b=2~cm$, $c=1~cm$:

    $\begin{align} A&=2(0,5 \cdot 2+0,5 \cdot 1+2 \cdot 1) \\ &=2(1+0,5+2) \\ &=2 \cdot 3,5 \\ &=7 \\ \end{align}$

    Die Oberfläche des Zuckerstücks 3 ist $7~cm^2$ groß.

    Zuckerstück 4 mit $a=b=c=1~cm$:

    Zuckerstück 4 hat die Form eines Würfels, eine Spezialform des Quaders. Alle Kanten sind gleich groß.

    $\begin{align} A&=6a^2 \\ &=6 \cdot 1^2 \\ &=6 \\ \end{align}$

    Die Oberfläche des Zuckerstücks 4 ist $6~cm^2$ groß.

    Übrigens haben alle gegebenen Zuckerstücke die gleiche Menge an Zucker, also das gleiche Volumen von $1~cm^3$. Damit haben wir die Zuckerstücke nicht nur nach ihrer Auflösegeschwindigkeit sondern auch in ihrer Reihenfolge sortiert, in der sie sich auflösen.