Negative Zahlen entdecken – Anordnung und Betrag

Negative Zahlen entdecken – Anordnung und Betrag Übung

• Bestimme die Größenordnung der Zahlen.

  Tipps

  Zeichne dir die Zahlen auf einer Zahlengerade ein.

  Löse zunächst die Betragsstriche auf. Beachte, dass der Betrag einer Zahl als Abstand zur Zahl 0 immer positiv ist.

  Lösung

  Wir sollen folgende Zahlen der Größe nach ordnen:

  $|-4,5|$; $-3,2$; $|2,5|$; $4,2$

  Zunächst lösen wir die Betragsstriche auf:

  $\begin{aligned} |-4,5|&=4,5 \\ |2,5|&=2,5 \end{aligned}$

  Nun können wir die Zahlen der Größe nach ordnen:

  Wir benutzen hierfür das Kleinerzeichen. Ein Tipp zum Merken: Stelle dir das Zeichen wie ein Krokodilsmaul vor. Das Maul ist zur größeren Zahl geöffnet.

  $-3,2<|2,5|<4,2<|-4,5|$

• Gib die Zahlen an, deren Betrag kleiner als zwei ist.

  Tipps

  Der Betrag einer Zahl ist der Abstand zur Null.

  Zeichne dir eine Zahlengerade in dein Heft und überlege, welche Zahlen einen kleineren Abstand zur Null als zwei haben.

  Lösung

  Der Betrag einer Zahl ist der Abstand zur Null. Nun soll der Betrag der Zahl kleiner als zwei sein.

  Das heißt, alle Zahlen auf der Zahlengerade, deren Abstand zur Null kleiner als zwei ist, kommen als Lösung in Betracht.

  Das sind also alle Zahlen, die auf der Zahlengerade zwischen -2 und 2 liegen. Die richtigen Zahlen aus unserer Übung sind demnach:

  -1; 0; 1; 1,9.

  Hinweis: Es gibt unendlich viele Zahlen, die als Lösung in Betracht kämen. Fallen dir noch weitere Zahlen ein?

• Ordne den Zahlen die richtige Stelle auf der Zahlengerade zu.

  Tipps

  Überlege dir, für wie viele Einheiten eine graue gestrichelte Linie steht.

  Löse die Betragsstriche auf.

  Forme die Brüche in Dezimalzahlen um, wenn dies nötig ist.

  Lösung

  Wir sollen die Zahlen auf der Zahlengeraden einordnen.

  Zunächst ist es sinnvoll, die Betragsstriche aufzulösen und die Brüche als Dezimalzahl zu schreiben.

  $\begin{aligned} -\frac{9}{2}&=-4,5\\ -\frac{11}{2}&=-5,5\\ \end{aligned}$

  und

  $\begin{aligned} |-3|&=3\\ |-5|&=5\\ \end{aligned}$

  Die grauen gestrichelten Linien liegen in einem Abstand von 1 nebeneinander auf der Zahlengerade. Das wissen wir, weil jeweils der erste Strich rechts und links von der Null mit 1 bzw. -1 gekennzeichnet ist.

  Nun kannst du die Zahlen zuordnen.

• Bestimme, wie groß der Betrag der angegebenen Zahlen ist.

  Tipps

  Der Betrag einer Zahl ist der Abstand der Zahl von der Null.

  Beispiel: Zahlen, deren Betrag mindestens 3 aber höchstens 5 ist, haben einen Abstand zur Null, der größer oder gleich 3 aber kleiner oder gleich 5 ist.

  Lösung

  Um die Zahlen den gesuchten Mengen zuzuordnen, müssen wir uns noch einmal verdeutlichen, was mit dem Betrag einer Zahl gemeint ist. Der Betrag einer Zahl ist der Abstand der Zahl von der Null.

  1. Wir suchen Zahlen, deren Betrag kleiner als vier ist.

  Dazu gehören also alle Zahlen, deren Abstand zu Null kleiner als vier ist:

  -2; 0; 3,5.

  2. Wir suchen Zahlen, deren Betrag mindestens vier, aber höchstens sechs ist.

  Dazu gehören alle Zahlen, deren Abstand zur Null mindestens vier, also größer oder gleich vier, aber höchstens sechs, also kleiner oder gleich sechs, ist:

  -6; -5,9; 4; 4,1; 5.

  3. Wir suchen Zahlen, deren Betrag größer als sechs ist.

  Zu dieser Menge gehören alle Zahlen, deren Abstand zur Null größer als sechs ist:

  -7; 10.

  Zu jeder dieser Mengen können wir noch viele weitere, um genau zu sein unendlich viele Zahlen finden. Aber um die Bedeutung des Betrages einer Zahl zu verstehen, reicht eine Auswahl als Beispiel.

• Beschreibe die Eigenschaften der Anordnung und der Beträge von Zahlen.

  Tipps

  Zeichne dir einmal selbst eine Zahlengerade und trage verschiedene Zahlen ein. Was fällt dir auf? Welche Zahlen sind größer bzw. kleiner?

  Gegenzahlen unterscheiden sich lediglich durch ihre Vorzeichen.

  Lösung

  Wenn wir Zahlen auf dem Zahlenstrahl eintragen wollen, die negativ sind, müssen wir den Zahlenstrahl links von der Null erweitern. So entsteht eine Zahlengerade. Bei der Zahlengerade gilt:

  Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengerade liegt, desto kleiner ist die Zahl. Zum Beispiel liegt die -6 weiter links auf der Zahlengerade als die 0. Die -6 ist also kleiner als die 0.

  Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengerade liegt, desto größer ist die Zahl. 6 ist größer als 0 und liegt deswegen auch weiter rechts auf der Zahlengerade.

  Wenn zwei Zahlen von der Null den gleichen Abstand haben, so nennt man jede dieser Zahlen die Gegenzahl der anderen. Sie heißen auch zueinander entgegengesetzte Zahlen. Die Gegenzahlen unterscheiden sich lediglich durch ihre Vorzeichen.

  Für alle möglichen Zahlen können wir Gegenzahlen finden. So ist zum Beispiel die -5 eine Gegenzahl zur 5 oder die 3 eine Gegenzahl zur -3. Aber auch für Bruchzahlen und Dezimalbrüche kann man Gegenzahlen finden. Die Null ist zu sich selbst entgegengesetzt.

  Der Abstand einer Zahl zur Null ist der Betrag. Der Betrag ist immer positiv und wird mit zwei senkrechten Strichen gekennzeichnet.

  Beispiel: $|-5|=5$

• Ermittle die Temperaturunterschiede von gestern, heute, morgen und übermorgen.

  Tipps

  Wie viele Schritte in welche Richtung muss Tim auf der Zahlengerade von -5 bis -8 gehen?

  Beispiel:

  Wenn es heute -2° Celsius und morgen -9° Celsius wird, gibt es eine Temperaturabnahme von 7° Celsius, denn ich muss auf der Zahlengerade 7 Einheiten von -2 bis -9 nach links gehen.

  Die Gegenzahl hat den gleichen Abstand zur Null wie die ursprüngliche Zahl, nur dass sich das Vorzeichen ändert.

  Das Kleinerzeichen $<$ steht für „kleiner als“.

  Lösung

  Um die Temperatur zu messen, besorgt sich Tim ein Thermometer. Um genaue Messdaten zu bekommen, sollte man das Thermometer in den Schatten hängen.

  Gestern zeigte das Thermometer bei Tim im Garten -5° Celsius an. Heute guckt Tim erneut und sieht, dass das Thermometer nun auf -8° Celsius steht. Tim weiß, dass die Temperatur um 3° Celsius abgenommen hat, denn von -5 bis -8 muss Tim auf der Zahlengerade 3 Schritte nach links gehen.

  Morgen soll es wieder wärmer werden. Die Wettervorhersage in den Nachrichten sagt einen Wert von -2° Celsius voraus. Eine Temperaturzunahme von einem auf den anderen Tag von 6° Celsius ist ganz schön viel, denkt sich Tim. Warum 6° Celsius? Auch hier kann Tim wieder auf seine Zahlengerade schauen. Von -8 bis -2 muss er 6 Einheiten nach rechts gehen.

  Am Tag darauf soll es sogar so warm werden, dass es wieder Plusgrade geben soll. Und zwar soll es laut Wetterbericht 2° Celsius werden. Tim denkt an seinen Matheunterricht und da fällt ihm ein, dass das ja genau die Gegenzahl zum Vortag ist.

  Die Gegenzahl hat den gleichen Abstand zur Null wie die ursprüngliche Zahl, nur dass sich das Vorzeichen ändert, d.h., die Temperatur ändert sich von -2° Celsius auf 2° Celsius.

  Davon möchte er am nächsten Tag seiner Lehrerin berichten.

  An welchem Tag war es nun am kältesten? Dazu muss Tim die Zahlen ordnen:

  $-8<-5<-2<2$.

  Wir benutzen hierbei wieder das „Kleinerzeichen“. Heute war es kälter als gestern, morgen wird es schon wärmer und übermorgen am wärmsten.