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Mittelwert und mittlere Abweichung 08:57 min

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Transkript Mittelwert und mittlere Abweichung

Hallo und herzlich Willkommen. Dieses Video heißt „Mittelwerte und mittlere Abweichung.“ Du kannst bereits den Mittelwert und die mittlere Abweichung berechnen. Nachher kannst du das noch besser. Und du kannst die Bedeutung beider Zahlen des Mittelwertes und der mittleren Abweichung erklären. Der Film besteht aus vier Abschnitten: Wie war das doch?, Atommassen der ersten zehn Elemente, Bildschirmkauf und Bundesliga. Wie war das doch? Erinnert ihr euch noch an diese wichtigen Begriffe der Stochastik? Den „Mittelwert“, die „mittlere Abweichung“ und die „Streuung“? Fidibus hat in Mathematik gute Zensuren. Eins, zwei, zwei und drei. Den Mittelwert berechnet man wie das arithmetische Mittel und zwar addiert man alle Werte und teilt sie durch ihre Zahl. Nämlich hier durch vier. Wir erhalten 8/4. Das ist zwei. Die mittlere Abweichung erhält man, indem man die Beträge der Differenzen der einzelnen Daten und des Mittelwertes, addiert. Und anschließend durch die Anzahl der Summanden teilt. In unserem Fall ist das wieder vier. Wir erhalten 2/4. Die mittlere Abweichung Δx = 0,5. Unser x ist so verteilt: Es ist x, also der Mittelwert Δx der mittleren Abweichung. x = 2 0,5. Die mittlere Abweichung ist ein Maß für die Streuung. Üben wir nun an einigen Beispielen. Atommassen für die ersten zehn Elemente. Die ersten zehn Elemente haben die Atommassen von eins bis zwanzig, so wie ich sie hier notiere. Für den Mittelwert addiere ich sie und teile sie durch ihre Zahl. Nämlich zehn. Die Summe im Zähler ist 113/10 = 11,3. Der Mittelwert x ist somit 11,3. Nun berechnen wir die mittlere Abweichung. Es ist immer die Differenz eines Datenwertes und der mittleren Abweichung und davon der Betrag. Ich schreibe es hier so, dass innerhalb des Betrages jeweils ein positiver Wert entsteht. Das ist einfacher. Nun werden die Differenzen berechnet. Natürlich muss immer durch zehn geteilt werden. Die Summe im Zähler ist 49,0/10=4,9. Das ist die mittlere Abweichung. Also Δx=4,9. Man kann auch schreiben für x=11,3 4,9. 4,9 ist ein Maß für die Streuung. Die Atommassen streuen stark. Denn 4,9 ist gemessen an 11,3 ziemlich groß. Bildschirmkauf. Ich brauche einen neuen Bildschirm und habe im Internet recherchiert. Die günstigsten Angebote in Euro waren folgende. Zweimal 255, zweimal 260 und dreimal 265, 267, 268 und 269. x ist gleich die Summe aller Daten dividiert durch ihre Anzahl. Also zehn. Die Summe im Zähler beträgt 2629/10 = 262,9. In ganzen Euro ist das etwa 263. Ich notiere: x ist rund 263. Die mittlere Abweichung: Für Δx addieren wir zunächst die Differenzen von x und den einzelnen Daten versehen mit positiven Vorzeichen. In den Nenner muss wieder die Zahl der Daten, nämlich zehn. Das ergibt 43/10=4,3. Das ist rund vier. Dieser Wert gibt uns an, wie groß die Streuung ist. Δx ist somit rund vier. Zum besseren Verständnis schreiben wir x≈263 4. Die Streuung vier ist gemessen am Mittelwert von 263 ziemlich klein. Also, die Angebote für den Monitor streuen nur sehr wenig. Bundesliga. Kehren wir zurück zur Saison 2011/2012. Wir notieren die Zahl der erzielten Tore zum Saisonende aller Mannschaften der ersten Bundesliga. Ich notiere platzweise, daher sind die Werte nicht geordnet. Für unsere Rechnungen macht das aber nichts. Der Mittelwert: x ist wieder das arithmetische Mittel aller Werte. Bei achtzehn Mannschaften muss im Nenner eine Achtzehn stehen. Wir erhalten 875/18. Das ist rund neunundvierzig. Also wurden im Schnitt rund neunundvierzig Tore erzielt. Wir berechnen die mittlere Abweichung. Im Zähler des Bruchs stehen wieder die Differenzen aus den einzelnen Werten und dem Mittelwert, jeweils mit positiven Vorzeichen, denn es sind ja die Beträge. Ich mache das sofort und schreibe die Ergebnisse auf. Bei achtzehn Mannschaften steht im Nenner wieder eine Achtzehn. Wir erhalten 219/18. Das ist rund 12,17. Wir wollen auf Ganze runden. Also rund zwölf. Wir notieren Δx ist rund zwölf. Die Zahl der geschossenen Tore ist somit im Mittel x=4912. Zwölf ist von neunundvierzig fast ein Viertel. Wir stellen fest: Gemessen am Mittelwert ist die mittlere Abweichung von mittlerer Größe. Ich denke, wir haben sehr gut gearbeitet. Das Video war bestimmt nützlich. Ich wünsche euch viel Erfolg und alles Gute. Tschüss!

5 Kommentare
  1. @Mehudisa
    Hallo Mehudisa es werden dabei jeweils die Abweichungen der einzelnen Werte mit dem Mittelwert berechnet. Der Mittelwert war 263. Als Beispiel der erste Wert: 255. Es gilt 263-255=8, also ist die Differenz 8. Wenn du ein negatives Vorzeichen erhältst, dann musst du dieses trotzdem in ein positives umtauschen. Das machst du mit allen Werten und addierst diese. Das wird dann noch durch die Anzahl der Werte geteilt.
    Viel Erfolg beim Lernen!

    Von Hjördis Leiser, vor 11 Monaten
  2. Hallo, ich habe es leider nicht verstanden Aufgabe 3 bei 5min 37sec wird
    es gesagt:" für Delta x addieren wir zunächst von die Differenzen von x Strich und den einzelnen Daten versehen mit Positiven Vorzeichen"
    Wie kommt man jetzt auf die einer Ziffer Zahlen?

    Von Mehudisa, vor 11 Monaten
  3. ;)
    Danke !

    Von Lllpop46, vor mehr als 3 Jahren
  4. Versprecher, danke.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 5 Jahren
  5. Hallo,
    bei 3 Min 17 sec wird erklärt: Die mittlere Abweichung ist immer die Differenz eines Datenwertes und der mittleren Abweichung und davon der Betrag. Es muss aber vermutlich heißen: Die mittlere Abweichung ist immer die Differenz eines Datenwertes und des Mittelwerts und davon der Betrag.
    Glg Bigi

    Von Bigisemail, vor mehr als 5 Jahren

Mittelwert und mittlere Abweichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittelwert und mittlere Abweichung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme den Mittelwert und die mittlere Abweichung von Fidibus Noten.

    Tipps

    Der Mittelwert ist das, was du vielleicht als Durchschnitt oder durchschnittlicher Wert bezeichnen würdest.

    Beiden Maßen ist gemeinsam, dass eine Summe ins Verhältnis zur Gesamtzahl gebracht wird.

    Lösung

    Der Mittelwert und die mittlere Streuung sind zwei wichtige Maße, die dir viel über die Verteilung von Zahlen verraten können.

    Der Mittelwert ist das, was du umgangssprachlich als Durchschnitt bezeichnet würdest. Dafür rechnest du alle Werte zusammen und dividierst durch deren Gesamtzahl. Anhand von Fidibus Noten sieht das so aus:

    $\overline{x} = \frac{1+2+2+3}{4} = \frac84=2$. Fidibus Durchschnittsnote beträgt daher $\overline{x} =2$.

    Nun wollen wir auch noch die mittlere Abweichung bestimmen. Wenn wir die mittlere Abweichung $\triangle x$ seiner Noten berechnen wollen, müssen wir die Beträge der Differenzen der jeweiligen Noten mit dem Mittelwert addieren und dies dann durch die Gesamtzahl dividieren. Das hört sich komplizierter an, als es in Wahrheit ist:

    $\triangle x = \frac{|1-2|+|2-2|+|2-2|+|3-2|}{4}=\frac{1+0+0+1}{4}=\frac24=\frac12$. Die mittlere Abweichung von Fidibus Noten beträgt $\triangle x =\frac12$.

    Die mittlere Abweichung ist eine Maß für die Streuung.

    Wir können sagen, dass Fidibus Noten so verteilt sind: $x = \overline{x} \pm \triangle x = 2\pm0,5$.

  • Bestimme, welche Aussagen über den Mittelwert und die mittlere Abweichung richtig sind.

    Tipps

    Über die Verteilung von Werten kann die Formel $x = \overline{x} \pm \triangle x$ Auskunft gegen.

    Der Mittelwert wird häufig nach Klassenarbeiten angegeben.

    Lösung

    Der Mittelwert und die mittlere Abweichung sind wichtige Maße, um Verteilungen von Zahlen einschätzen zu können. Dabei ist die mittlere Abweichung eine Maß für die Streuung. Umgangsprachlich sagen wir zum dem Mittelwert $\overline{x}$ auch Durchschnitt oder durchschnittlicher Wert.

    Manchmal ist es sinnvoll, den Mittelwert und die mittlere Abweichung $\triangle x$ zueinander in Beziehung zu setzen. Dann kann beispielsweise sagen, dass eine mittlere Abweichung im Vergleich zum Mittelwert

    • groß
    • mittel oder
    • klein
    ist.

    Gemessen am durchschnittlichen Preis für einen neuen Bildschirm von $\overline{x}=263~€$ ist die mittlere Abweichung von $\triangle x =4~€$ klein. Denn $4$ ist im Verhältnis zu $263$ eine ganz schön kleine Zahl.

    Wenn der Mittelwert der Atommassen der ersten zehn Elemente im Periodensystem $\overline{x}=11,3$ und die mittlere Abweichung $\triangle x = 4,9$ beträgt, dann streuen die Werte stark. Das kann man sagen, weil $4,9$ im Verhältnis zu $11,3$ fast die Hälfte ist und die Zahlen ohnehin sehr niedrig sind.

  • Schildere, wie sich der Mittelwert und die mittlere Abweichung der geschossenen Tore berechnen lassen.

    Tipps

    Bei der mittleren Abweichung bewirken die Betragsstriche, dass positive Werte addiert werden.

    Häufig kannst du intuitiv den Mittelwert ungefähr bestimmen. Besonders bei vielen Werten ist dies von Vorteil, weil du dann nicht so viel zu rechnen brauchst.

    Ohne den Mittelwert kann keine mittlere Abweichung berechnet werden.

    Lösung

    Wir wollen den Mittelwert $\overline{x}$ und die mittlere Abweichung $\triangle x$ der geschossenen Tore berechnen. Insgesamt haben $18$ Mannschaften um die Meisterschaft mitgespielt.

    Um den Mittelwert der geschossenen Tore zu berechnen, addieren wir Werte und dividieren das Ergebnis durch die Anzahl der Werte. Das entspricht natürlich der Anzahl der Vereine.

    Es ist also $\overline{x}=\frac{80+77+74+...+38+39+24}{18}=\frac{875}{18} \approx 49$. Es wurden also durchschnittlich $49$ Tore geschossen. Mit diesem Wert können wir nun auch die mittlere Abweichung berechnen.

    Dazu addieren wir die Beträge der Differenzen aus den jeweils geschossenen Toren eines Vereins und des Mittelwerts und dividieren dann durch die Gesamtzahl der Vereine.

    Das sieht dann so aus: $\triangle x = \frac{|80-49|+|77-49|+...+|39-49|+|24-49|}{18}= \frac{31 + 28 + ... +10 + 25}{18} =\frac{219}{18} \approx 12$. Dabei bewirken die Betragsstriche $|...|$, dass ein positiver Wert herauskommt.

    Die Anzahl der geschossenen Tore ist somit im Mittel $x = \overline{x} \pm \triangle x \approx 49 \pm 12$. Die mittlere Abweichung hat im Vergleich mit dem Mittelwert eine mittlere Größe.

  • Bestimme die Höhe der Ausgaben im Monat Dezember.

    Tipps

    Um die mittlere Abweichung zu berechnen, braucht man alle Einzelwerte.

    Kannst du die Berechnung des Mittelwerts irgendwie umkehren?

    Zur Berechnung des Mittelwertes addierst du alle Monatswerte und dividierst diese Summe durch die Anzahl seiner Summanden, also die Anzahl der Monate.

    Wenn $z$ die Ausgaben für Dezember sind, dann musst du die folgende Gleichung lösen:

    $\frac{57+42+43+50+58+32+63+48+50+42+43+z}{12}=50$.

    Lösung

    Servet hat gut Buch geführt. Weil er am Ende des Jahres den Mittelwert $\overline{x}=50$ berechnet hat, ist es auch nicht so schlimm, dass ihm der Wert für den Monat Dezember verlorengegangen ist. Er kann ihn nämlich erschließen.

    Er erinnert sich, wie er damals den Mittelwert berechnet hat. Dazu addierte er alle Monatswerte und dividierte diese Summe durch die Anzahl seiner Summanden, also die Anzahl der Monate.

    Dies macht er auch nun wieder:

    $\frac{57+42+43+50+58+32+63+48+50+42+43+z}{12}=50$.

    Er überlegt sich, dass ja nur ein Wert fehlt. Dazu rechnet er die restlichen Werte zusammen:

    $\begin{align} && \frac{528+z}{12} & = 50 &|& \cdot 12&\\ &\Leftrightarrow& 528+z &= 600 &|& - 528&\\ &\Leftrightarrow& z &= 72 &~& \end{align}$.

    Er hat im Monat Dezember folglich Ausgaben in Höhe von $72~€$ getätigt.

    Mit diesem Wissen kann er nun auch die mittlere Abweichung berechnen.

    $\triangle x = \frac{7+8+7+0+8+18+13+2+0+8+7+22}{12}=\frac{100}{12}=\frac{25}{3} \approx 8$.

    Die mittlere Abweichung beträgt $\triangle x \approx 8$ und ist somit im mittleren Bereich.

  • Untersuche, wo sich Johanns Fehler eingeschlichen hat.

    Tipps

    Der Mittelwert $\overline{x}$ wird berechnet, indem die Summe aller Werte durch die Anzahl der addierten Werte dividiert wird.

    Lösung

    Johann möchte seine Durchschnittsnote ausrechnen. Dabei hat er schon richtig angefangen. Zuerst muss er nämlich alle Werte addieren.

    Das ist dann $2+3+3+3+2+4+2+2+1=22$. Soweit hat er alles richtig gemacht. Um den Mittelwert $\overline{x}$ zu berechnen, muss er durch die Anzahl der Werte, also die Anzahl der Noten, dividieren.

    Wie viele Noten hat er denn addiert? Das sind ja wohl insgesamt $9$ Noten. Sein Mittelwert liegt also bei $\overline{x}=22 \div 9 = 2,\overline{4}$.

    Johann hat versehentlich durch $10$ dividiert, obwohl er ja nur für $9$ Fächer eine Note bekommen hat.

  • Bestimme den Mittelwert und die mittlere Abweichung für die Anzahl der gepflückten Äpfel.

    Tipps

    Manchmal kann der ungefähre Mittelwerte gut geraten werden.

    Intuitiv könnte man sagen, dass der Mittelwert irgendwo zwischen $20$ und $30$ liegen sollte.

    Der Mittelwert lässt sich berechnen, indem alle Werte addiert werden und diese Summe dann durch die Gesamtzahl der Werte dividiert wird.

    Für die mittlere Abweichung werden die Bestände der einzelnen Werte zum Mittelwert addiert und dann durch die Gesamtzahl geteilt.

    Lösung

    Die vier Freunde haben fleißig Äpfel geerntet. Da Lotte $27$, Sancho $18$, Grethe $30$ und Felix $25$ Äpfel gepflückt hat, lässt sich der Durchschnittswert berechnen. Dies ist der Mittelwert $\overline{x}$. Dazu rechnen wir alle Werte zusammen und teilen durch die Anzahl der Werte:

    $\overline{x}= \frac {27 + 18 + 30 + 25}{4} = \frac{100}{4}=25$. Im Mittel haben die Vier also $25$ Äpfel ergattert.

    Daraus lässt sich natürlich auch die mittlere Abweichung berechnen. Dazu addieren wir die Beträge aus den jeweiligen Differenzen, welche sich aus den verschiedenen Anzahlen der gepflückten Äpfel und den Mittelwert zusammensetzen. Dann teilen wir noch durch die Anzahl der Pflücker, also $4$. Wir können dann schreiben:

    $\triangle x = \frac{|27-25|+|18-25|+|30-25|+|25-25|}{4} = \frac{2+7+5+0}{4}=\frac{14}{4} = 3,5$.

    Die mittlere Abweichung ist, gemessen am Mittelwert, eher klein.