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Kongruenzsatz wsw

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André Otto
Kongruenzsatz wsw
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Kongruenzsatz wsw

Herzlich Willkommen zum 20. Teil der Videoreihe „ Geometrie “. Was versteht man unter dem Begriff „ Kongruenz “ ? Es wäre schön, wenn du bereits weißt, was Kongruenz bedeutet. Es ist jedoch nicht so tragisch, wenn du es vergessen hast. Wir werden dir zu Beginn des Films den Kongruenzbegriff anschaulich erklären, um im Anschluss den Kongruenzsatz WSW zu behandeln. Der Kongruenzsatz WSW lautet: Wenn mehrere Dreiecke die gleiche Länge einer Seite und die gleiche Größe der zwei anliegenden Winkel haben, dann sind diese Dreiecke zueinander kongruent. Das Video bietet dir die Möglichkeit den Kongruenzsatz anschaulich erklärt zu bekommen. Viel Spaß!

Transkript Kongruenzsatz wsw

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zum Video "Geometrie, Teil 20"! Das Thema unseres Videos lautet "Der Kongruenzsatz wsw". Erinnern wir uns daran, was Kongruenz bedeutet. Wir haben 2 Dreiecke, ein gelbes und ein blaues. Das blaue verdeckt das gelbe Dreieck vollständig und auch das gelbe überdeckt das hellblaue Dreieck vollständig - und wieder: Blau überdeckt gelb, gelb überdeckt blau. Das heißt, beide Dreiecke sind deckungsgleich. Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit. Könnt ihr euch noch an die beiden Kongruenzsätze erinnern, die wir bereits in den beiden letzten Videos besprochen haben? Richtig, sie hießen: sss - oder Seite, Seite, Seite. Und der Zweite? Richtig, er hieß sws, Seite, Winkel, Seite. Ihr wisst dann sicher auch, was wsw bedeutet. Richtig: Winkel, Seite, Winkel. Damit werden wir uns heute beschäftigen. Das hellblaue Dreieck und das gelbe Dreieck sind zueinander kongruent. Wir nehmen uns das blaue Dreieck und schauen uns einmal seine Seite unten an. Und jetzt nehmen wir uns ein gelbes Dreieck, das eine Seite hat, die genauso lang ist wie diese, und außerdem auch einen Winkel, links, der genauso groß ist wie der Winkel des blauen Dreiecks. Der einzige Unterschied besteht darin, dass der Winkel rechts ein anderer ist als der im blauen Dreieck. Das werde ich dadurch kennzeichnen, indem ich für diesen Winkel blaue Farbe verwende. Nun nehme ich ein weiteres gelbes Dreieck. Eine seiner Seiten unten ist genauso lang wie die eine Seite im blauen Dreieck und der Winkel links im gelben und im blauen Dreieck stimmen auch überein. Nur der Winkel rechts ist im gelben Dreieck ein anderer als der im blauen Dreieck. Er ist viel kleiner. Und das Dreieck ist nicht kongruent zum Blauen, genauso, wie es das große gelbe nicht ist. So, jetzt nehmen wir uns noch mal unser blaues Dreieck vor und schauen uns seine Seite unten an, s. Zum Vergleich nehmen wir nun ein gelbes Dreieck. Dieses gelbe Dreieck hat eine Seite, die genauso lang ist wie die gelbe Seite im blauen Dreieck. Und außerdem ist der Winkel rechts auch genauso groß wie der Winkel im blauen Dreieck. Die Seiten unten, s, und die Winkel rechts, w, stimmen überein, ich kennzeichne sie mit roter Farbe, nur links, da stimmen die Winkel nicht überein. Der Winkel im gelben Dreieck ist größer als der im blauen Dreieck, das kennzeichne ich mit w und blauer Farbe. Ich nehme mir noch ein weiteres gelbes Dreieck. Seine Seite unten ist genauso groß wie die Seite im blauen Dreieck und der Winkel rechts ist auch so groß wie der Winkel im blauen Dreieck, aber der Winkel links, ich habe ihn blau gekennzeichnet, ist kleiner als der im blauen Dreieck. Die beiden gelben Dreiecke in der linken Figur sind nicht kongruent zu dem blauen Dreieck. Und auch die beiden gelben Dreiecke in der rechten Figur sind nicht kongruent zu dem blauen Dreieck. Was ist noch notwendig, damit beide Dreiecke zueinander kongruent sind, damit sie wieder beide deckungsgleich werden? Was ist notwendig, damit das gelbe Dreieck das blaue Dreieck vollständig überdeckt oder das blaue Dreieck das gelbe Dreieck vollständig überdeckt, damit sie beide kongruent sind? In beiden Dreiecken sind die Seiten unten gleich lang und auch der Winkel links ist in beiden Dreiecke gleich groß. Genauso ist der Winkel rechts in beiden Dreiecken gleich groß. Winkel, Seite, Winkel - wsw. Das blaue Dreieck ist kongruent zum gelben Dreieck. Das hat bei diesen 3 Dreiecken links und den 3 Dreiecken rechts gefehlt. Sie haben in einem Winkel und einer Seite übereingestimmt, der 3. Winkel war bei den Dreiecken links und bei den Dreiecken rechts verschieden. Daher konnten sie auch nicht kongruent zueinander sein. Nun wollen wir unsere Untersuchungsergebnisse zusammenfassen. Kongruenzsatz Winkel, Seite, Winkel - in Klammern: wsw mit kleinen Buchstaben oder WSW mit Großbuchstaben, je nachdem in welchem Bundesland oder in welcher Schule ihr unterrichtet werdet. Wir haben nun 2 Dreiecke. Könnt ihr einen Satz formulieren, nach dem ihr die Kongruenz dieser Dreiecke nach dem Kriterium wsw, Winkel, Seite, Winkel, beschreibt? Vielleicht so: 2 Dreiecke sind kongruent, wenn sie in 2 Winkeln und der von diesen Winkeln eingeschlossenen Seite übereinstimmen. Wichtig zu merken ist hier: 2 Winkel, also w, w und hier w, w, und die von diesen Winkeln eingeschlossene Seite, s, s. Wir merken uns die Übereinstimmung w, w, die Seite s, s und der andere Winkel w, w, also wsw, Winkel, Seite, Winkel. So, damit haben wir den 3. Kongruenzsatz besprochen. Er lautet abgekürzt und ihr solltet ihn euch merken: wsw. Das wär's wieder für heute. Alles Gute und viel Erfolg! Tschüss!

16 Kommentare

16 Kommentare
  1. Wieder ein super Video

    Von Wdewizard, vor etwa 2 Jahren
  2. sehr gut

    Von Sebastian G., vor mehr als 3 Jahren
  3. hi

    Von Grünwald .., vor etwa 4 Jahren
  4. SUPER Video wie immer
    LG Lou 2.3

    Von Lou2.3, vor etwa 4 Jahren
  5. Danke,hab eine 2+ geschrieben!!! :-) :-) :-) :-)

    Von Jalilimohammad944, vor mehr als 4 Jahren
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Kongruenzsatz wsw Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kongruenzsatz wsw kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Kongruenzsatz WSW an.

    Tipps

    Die Abkürzung WSW gibt eine Reihenfolge vor.

    • In gleichschenkligen Dreiecken sind zwei Seiten gleich lang. Diese Seiten werden Schenkel genannt. Die verbleibende Seite ist die Basis.
    • In gleichseitigen Dreiecken sind alle drei Seiten gleich lang.

    Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in ihren drei Winkeln übereinstimmen.

    Ähnliche Dreiecke müssen nicht zwingend kongruent sein.

    Lösung

    Der Kongruenzsatz Winkel Seite Winkel (WSW oder wsw) besagt:

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkeln und in der von diesen Winkeln eingeschlossenen Seite übereinstimmen.

    Verwende die in dem hier abgebildeten Dreieck gekennzeichneten Winkel und Seiten. Dann könnten zum Beispiel in zwei Dreiecken die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ sowie die von diesen Winkeln eingeschlossene Seite $c$ übereinstimmen.

    Die Kongruenz bedeutet dann insbesondere auch, dass in den beiden Dreiecken ebenfalls die entsprechenden Winkel $\gamma$ gleich groß und Seiten $a$ und $b$ gleich lang sind.

  • Gib an, welche Dreiecke nicht kongruent zu dem abgebildeten sind.

    Tipps

    Beachte, dass kongruent deckungsgleich bedeutet. Das heißt, dass sich die beiden Dreiecke gegenseitig komplett abdecken.

    Es müssen sowohl die Länge der Seite $c$ übereinstimmen (das ist bei allen Dreiecken der Fall) als auch die beiden anliegenden Winkel.

    Bei zwei Dreiecken ist der rechte Winkel größer oder kleiner als der des grünen Dreiecks.

    Bei einem Dreieck ist der linke Winkel größer als der des grünen Dreiecks.

    Lösung

    Kongruent bedeutet deckungsgleich. Somit sind zwei Dreiecke kongruent, wenn sie sich gegenseitig komplett abdecken.

    Das rote Dreieck

    • Die Seite $c$ ist in dem grünen und dem roten Dreieck gleich. Auch die Winkel $\alpha$ und $\beta$ stimmen überein.
    • Dieses Dreieck ist kongruent zu dem grünen Dreieck. Dies besagt der Kongruenzsatz WSW. Du kannst dies auch in dem Bild sehen.
    Das orange Dreieck

    • Hier stimmen die Seite $c$ und der Winkel $\alpha$ mit dem grünen Dreieck überein.
    • Der Winkel bei $\beta$ ist allerdings kleiner als der des grünen Dreiecks.
    • Somit ist das orange Dreieck nicht kongruent zu dem grünen.
    Das blaue Dreieck

    • In diesem Dreieck stimmen die Seite $c$ und der Winkel $\beta$ mit dem grünen Dreieck überein.
    • Der Winkel bei $\alpha$ ist größer als der des grünen Dreiecks.
    • Das blaue Dreieck ist ebenfalls nicht kongruent zu dem grünen Dreieck.
    Das violette Dreieck

    • Die Seite $c$ und auch der Winkel $\alpha$ stimmen mit dem grünen Dreieck überein.
    • Der Winkel bei $\beta$ ist hier größer als der des grünen Dreiecks.
    • Das violette Dreieck ist nicht kongruent zu dem grünen Dreieck.
  • Ermittle die fehlenden Größen so, dass die Dreiecke kongruent sind.

    Tipps

    Berechne zunächst den noch nicht bekannten Winkel $\alpha$ des oben abgebildeten Dreiecks. Verwende hierfür den Winkelsummensatz. Dieser besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt.

    Beachte: Um den Kongruenzsatz WSW anwenden zu können, musst du zwei Winkel sowie die von den beiden Winkeln eingeschlossene Seite kennen.

    Damit die Dreiecke kongruent sind, müssen sie in diesen Größen übereinstimmen.

    Der fehlende Winkel in dem abgebildeten Dreieck beträgt $40^\circ$.

    Lösung

    Wenn in einem Dreieck zwei Winkel bereits gegeben sind, kannst du den fehlenden Winkel wie folgt berechnen:

    • Du addierst die beiden bekannten Winkel.
    • Dann subtrahierst du die Summe der beiden bekannten Winkel von $180^\circ$.
    Warum ist das so? Der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt. Diese Gleichung kannst du dann nach dem unbekannten Winkel umstellen.

    So erhältst du hier $\alpha=180^\circ-(70^\circ+70^\circ)=180^\circ-140^\circ=40^\circ$.

    Nun kennst du in dem Dreieck alle Größen:

    • $\alpha=40^\circ$ sowie $\beta=\gamma=70^\circ$,
    • $b=c=12$ sowie $a=8,2$.
    Dreieck 1

    Bekannt sind zwei Winkel $70^\circ$ sowie $40^\circ$. Diese schließen in dem obigen Dreieck die Seite $b$ oder $c$ ein. Also muss die fehlende Seite die Länge $12$ haben.

    Dreieck 2

    Dieses Mal sind die beiden gleich großen Winkel $70^\circ$ bekannt. Diese schließen die Seite $a=8,2$ ein. Das bedeutet, dass die fehlende Seite die Länge $8,2$ haben muss.

    Dreieck 3

    Eine Seite hat die Länge $12$ und einer der Winkel beträgt $70^\circ$. Dann fehlt noch der andere Winkel, welcher an einer Seite mit der Länge $12$ anliegt. Dies ist hier der Winkel $\alpha=40^\circ$.

    Dreieck 4

    Wenn umgekehrt eine Seite die Länge $12$ hat und einer der Winkel $40^\circ$ beträgt, muss der fehlende Winkel entweder $\gamma=70^\circ$ oder $\beta=70^\circ$ sein.

  • Beschreibe, wie du ein Dreieck mit Hilfe des Kongruenzsatzes WSW konstruieren kannst.

    Tipps

    • $a$, $b$ und $c$ sind die Seiten des Dreiecks.
    • $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ sind die Winkel des Dreiecks.
    Du solltest beim Zeichnen immer mit einer Seite beginnen.

    Der verwendete Kongruenzsatz WSW bedeutet, dass zwei Winkel sowie die von diesen Winkeln eingeschlossene Seite bekannt sind.

    Lösung

    Die komplette Konstruktion siehst du hier. Dabei wird allerdings nicht jeder Schritt, wie zum Beispiel das Konstruieren einer Seite, in aller Ausführlichkeit gezeigt.

    Schritt 1

    Du konstruierst erst einmal die bekannte Seite, diese ist hier $c=15~\text{cm}$. An dieser Seite liegen die beiden bekannten Winkel an.

    Schritt 2

    Trage mit dem Geodreieck links an dieser Seite den Winkel $\alpha=40^\circ$ ab. Du erhältst so einen Strahl.

    Schritt 3

    Trage den anderen Winkel, $\alpha=30^\circ$, an der rechten Seite der Seite ab. Du erhältst einen weiteren Strahl.

    Die beiden Strahlen schneiden sich in einem Punkt. Dies ist der fehlende Eckpunkt des Dreiecks.

    Schritt 4

    Zuletzt kannst du noch die Seiten des Dreiecks deutlich nachzeichnen und die Hilfslinien entfernen.

    Fertig ist das Dreieck.

    Du siehst, der Kongruenzsatz WSW gibt nicht nur an, wann zwei Dreiecke kongruent sind. Du kannst mit diesem Kongruenzsatz auch ein Dreieck eindeutig konstruieren. Übrigens: Das gilt auch bei den anderen Kongruenzsätzen.

  • Beschreibe, was Kongruenz bedeutet.

    Tipps

    Jedes Dreieck hat drei Ecken und drei Seiten.

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz WSW.

    Konstruiere doch einmal zwei Dreiecke nach diesem Kongruenzsatz und schneide diese Dreiecke aus. Was fällt dir auf?

    Die beiden rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten $a_1=2~\text{cm}$ und $b_1=2~\text{cm}$ bzw. $a_2=4~\text{cm}$ und $b_2=1~\text{cm}$ haben denselben Flächeninhalt.

    Lösung

    In der Geometrie werden zwei Dreiecke kongruent genannt, wenn sie durch Verschiebung, Spiegelung und/oder Drehung ineinander überführt werden können.

    Das hört sich jetzt ein wenig technisch an. Wenn du zwei Dreiecke auf Kongruenz untersuchen möchtest, könntest du diese Dreiecke auch ausschneiden. Wenn du die Dreiecke dann aufeinander legst, müssen sie sich gegenseitig komplett abdecken.

    Es genügt also nicht, wenn das größere Dreieck das kleinere abdeckt.

    Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit.

    Das bedeutet auch, dass zwei kongruente Dreiecke immer flächengleich sind. Umgekehrt muss das nicht gelten.

    Zusatz: Die beiden rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten $a_1=2~\text{cm}$ und $b_1=2~\text{cm}$ bzw. $a_2=4~\text{cm}$ und $b_2=1~\text{cm}$ haben denselben Flächeninhalt, sind aber nicht kongruent.

  • Leite die fehlenden Größen durch Konstruktion des Dreiecks her.

    Tipps

    Den Winkel $\gamma$ kannst du mit dem Winkelsummensatz berechnen.

    Es gilt $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

    Bei der Konstruktion gehst du wie folgt vor:

    1. Zeichne die Seite $c$.
    2. Trage links an dieser Seite den Winkel $\alpha=40^\circ$ ab. So erhältst du einen Strahl.
    3. Trage rechts an dieser Seite den Winkel $\beta=30^\circ$ ab. So erhältst du einen weiteren Strahl. Die beiden Strahlen schneiden sich in dem fehlenden Eckpunkt des Dreiecks.

    Die Seitenlängen kannst du nachmessen. Es kann dabei zu Ungenauigkeiten kommen. Entscheide dich für die Angabe, die näherungsweise mit deinem Ergebnis übereinstimmt.

    Beachte, dass $\alpha$ größer ist als $\beta$. Daraus folgt auch $a>b$.

    Lösung

    Den fehlenden Winkel kannst du nach erfolgter Konstruktion zwar auch messen, du kannst ihn aber auch berechnen.

    Verwende hierfür den Winkelsummensatz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Stelle diese Gleichung nach $\gamma$ um und setze die bekannten Größen für $\alpha$ und $\beta$ ein.

    $\begin{array}{rclll} \gamma&=&180^\circ-(40^\circ+30^\circ)\\ &=&180^\circ-70^\circ\\ &=&110^\circ \end{array}$.

    Die Seitenlängen kannst du messen. Es gilt:

    • $a\approx 10,3~ \text{cm}$
    • $b\approx 8~\text{cm}$.
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