Kongruenzsatz ssw

Kongruenzsatz ssw Übung

• Gib an, welche Dreiecke kongruent zueinander sind.

  Tipps

  Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass die beiden Dreiecke durch parallele Verschiebung ineinander übergehen.

  Dass zwei Dreiecke kongruent sind, bedeutet, dass sie sich gegenseitig komplett abdecken.

  Lösung

  Es kann durchaus sein, dass zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten übereinstimmen und trotzdem nicht kongruent sind. In jedem der dargestellten Fälle sind die Längen der roten und der grünen Seiten gleich. Ob die Dreiecke kongruent sind, erkennst du an dem Winkel, welcher der roten Seite gegenüberliegt.

  In den beiden oberen Bildern gilt jeweils $W\neq \overline W$. Das bedeutet, dass die Dreiecke nicht kongruent sind.

  In dem unteren Bild, welches du hier noch einmal sehen kannst, stimmen auch die Winkel $W=\overline W$ überein. Diese Dreiecke sind kongruent.

  Übrigens: Die Dreiecke gehen durch eine parallele Verschiebung ineinander über. Das kannst du dir so vorstellen. Du schneidest ein Dreieck aus. Dann legst du es auf ein Blatt Papier und zeichnest es ab. Nun legst du das Dreieck an eine andere Stelle, vielleicht etwas versetzt, auf das Blatt. Wieder zeichnest du das Dreieck ab. Die beiden Dreiecke, welche du gezeichnet hast, sind kongruent.

• Ergänze den Kongruenzsatz SSW.

  Tipps

  Die Buchstaben in dem Kongruenzsatz stehen für die Anfangsbuchstaben von Seite, Seite und Winkel.

  Die beiden Dreiecke $\triangle_{AB_1C}$ und $\triangle_{AB_2C}$ stimmen in den Seiten $8$ und $7,6$ sowie dem Winkel $50^\circ$ überein.

  Die beiden Dreiecke $\triangle_{AB_1C}$ und $\triangle_{AB_2C}$ sind nicht kongruent zueinander.

  Lösung

  Es gibt verschiedene Sätze, welche dir helfen, Dreiecke auf Kongruenz zu untersuchen.

  Hier lernst du den Kongruenzsatz SSW kennen. Die Buchstaben stehen für die Anfangsbuchstaben von Seite, Seite und Winkel. Daran kannst du bereits erkennen, dass es hier um zwei Seiten sowie einen Winkel geht.

  Du kennst bereits einen solchen Kongruenzsatz mit zwei Seiten und einem Winkel:

  Der Kongruenzsatz SWS: Zwei Dreieck sind zueinander kongruent, wenn sie in den Längen zweier Seiten sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.

  Bei dem Kongruenzsatz SSW erkennst du eine andere Reihenfolge als bei dem Kongruenzsatz SWS. Es liegt also ein anderer Kongruenzsatz vor.

  Der Kongruenzsatz SSW: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten sowie dem der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

  Die Einschränkung, dass der Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt, ist wichtig. In dem Bild siehst du, was passiert, wenn zwei Seiten $8$ und $7,6$ übereinstimmen, der bekannte Winkel $50^\circ$ allerdings der kürzeren der beiden Seiten gegenüberliegt. Beide Dreiecke $\triangle_{AB_1C}$ und $\triangle_{AB_2C}$ stimmen in diesen Seiten und dem Winkel überein. Sie sind allerdings nicht kongruent, was gut zu sehen ist.

• Beschreibe, wie du mit dem Kongruenzsatz SSW ein Dreieck eindeutig konstruieren kannst.

  Tipps

  Ein Winkel wird von zwei Schenkeln eingeschlossen.

  Achte darauf, dass der Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt.

  Das bedeutet insbesondere, dass er der kürzeren der beiden Seiten anliegt.

  Beachte die Schreibweise, zum Beispiel „kürzere“ oder „kürzeren“.

  Lösung

  Hier siehst du die gesamte Konstruktion nach dem Kongruenzsatz SSW:

  1. Du beginnst mit der kürzeren der beiden Seiten $c$. Diese verbindet die Punkte $A$ und $B$.
  2. Der gegebene Winkel $80^\circ$ hat den Scheitelpunkt $B$. Deshalb musst du den Winkel in diesem Punkt antragen. So erhältst du einen freien Schenkel.
  3. Zeichne nun einen Kreisbogen um $A$ mit dem Radius $r=b$, also der Länge der längeren der beiden Seiten. Dieser Kreisbogen schneidet den freien Schenkel in $C$. Dies ist der fehlende Eckpunkt des Dreiecks.
  4. Verbinde nun die Punkte $A$ und $C$. So erhältst du die längere der beiden gegebenen Seiten $b$. Abschließend kannst du alle Seiten noch einmal deutlich nachzeichnen und die Hilfslinien entfernen.

  Fertig ist das Dreieck.

• Bestimme die fehlende Größe so, dass die Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SSW kongruent sind.

  Tipps

  Beachte: In dem Kongruenzsatz SSW geht es immer um zwei Seiten sowie einen Winkel.

  Der Winkel muss der längeren der beiden Seiten gegenüberliegen.

  Zum Beispiel liegt der längsten Seite $5$ der Winkel $90^\circ$ gegenüber.

  Es gibt insgesamt drei Kombinationen von zwei der drei Seiten. Zu jeder dieser Kombinationen kannst du nun den Winkel angeben, der der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt.

  Lösung

  Der Kongruenzsatz SSW besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in den Längen zweier Seiten sowie dem der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

  Du benötigst also zwei Seiten und einen Winkel. Dieser Winkel muss der längeren der beiden Seiten gegenüberliegen. Es gibt drei Kombinationen für zwei von drei Seiten:

  • Du kennst die Seiten $3$ und $4$. Dann musst du auch den Winkel $53,1^\circ$ kennen, da dieser der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt.
  • Du kannst auch die Seiten $3$ und $5$ oder $4$ und $5$ kennen. In jedem dieser Fälle musst du auch den Winkel $90^\circ$ kennen. Dieser liegt der längsten Seite gegenüber.

  Übrigens: Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck wird als Hypotenuse bezeichnet. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden anderen Seiten schließen den rechten Winkel ein. Sie werden Katheten genannt.

• Beschreibe, was Kongruenz bedeutet.

  Tipps

  Zwei Dreiecke können zueinander ähnlich sein, ohne zueinander kongruent zu sein.

  „Ähnlichkeit“ bedeutet, dass die Verhältnisse einander entsprechender Seiten übereinstimmen.

  Lösung

  Es gibt vier Kongruenzsätze. Diese geben an, wie du prüfen kannst, ob zwei Dreiecke kongruent zueinander sind.

  Was bedeutet eigentlich „kongruent“? Kongruenz zweier geometrische Formen, also auch Dreiecke, bedeutet, dass du diese so übereinander legen kannst, dass sie sich gegenseitig komplett abdecken. Kongruenz bedeutet also Deckungsgleichheit.

  Die Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit: Zueinander kongruente Dreiecke sind auch zueinander ähnlich. Umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht.

  Wenn zum Beispiel zwei Dreiecke in ihren drei Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich. Sie müssen allerdings nicht kongruent sein. Der Kongruenzsatz WWW existiert nicht.

  Hier siehst du die Kongruenzsätze im Überblick:

  • Der Kongruenzsatz SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.
  • Der Kongruenzsatz SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen zweier Seiten und dem von diesen Seiten eingeschlossen Winkel übereinstimmen.
  • Der Kongruenzsatz WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in der Länge einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen.
  • Der Kongruenzsatz SSW: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen zweier Seiten und dem, der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden, Winkel übereinstimmen.

• Ermittle die fehlenden Größen durch Konstruktion und Messen.

  Tipps

  Verwende diese Planskizze.

  Gehe bei der Konstruktion wie folgt vor:

  1. Zeichne die Seite $c$, die kürzere der beiden Seiten.
  2. Trage den Winkel $\alpha$ in $A$ an. So erhältst du einen freien Schenkel, auf welchem die Seite $b$ liegt.
  3. Zeichne einen Kreisbogen um $B$ mit dem Radius $r=45~\text{cm}$. Dieser Kreisbogen schneidet den freien Schenkel in $C$.
  4. Die Seite $b$ verbindet die Punkte $A$ und $C$.

  Du kannst nun die fehlenden Größen messen. Diese müssen nicht exakt mit den Gegebenen übereinstimmen. Es kann dabei durchaus zu Ungenauigkeiten kommen.

  Beachte, dass sich die beiden fehlenden Winkel zu $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ summieren.

  Lösung

  Zunächst konstruierst du das Dreieck. Dieses ist eindeutig gegeben, da zwei Seiten sowie der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel bekannt sind. Gehe wie folgt vor:

  1. Starte mit der kürzeren der beiden Seiten $c=20~\text{cm}$. Diese verbindet die Punkte $A$ und $B$.
  2. Trage den $\alpha=60^\circ$ in $A$ an. So erhältst du einen freien Schenkel.
  3. Zeichne nun einen Kreisbogen um $B$ mit dem Radius $r=a=45~\text{cm}$. Dies ist die Länge der längeren der beiden Seiten. Dieser Kreisbogen schneidet den freien Schenkel in $C$, dem fehlenden Eckpunkt des Dreiecks.
  4. Verbinde nun die Punkte $A$ und $C$ zu der Seite $b$. Du kannst jetzt noch alle Seiten deutlich nachzeichnen und die Hilfslinien entfernen.

  Durch Messen erhältst du die folgenden Größen:

  • $\gamma\approx22,6^\circ$
  • Du könntest nun den anderen Winkel ebenfalls messen oder den Innenwinkelsatz anwenden. Dieser besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ ergibt. So erhältst du $\beta\approx 180^\circ-(60^\circ+22,6^\circ)=97,4^\circ$.
  • $b\approx51,2~\text{cm}$