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Kongruenzsatz sss

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André Otto
Kongruenzsatz sss
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Kongruenzsatz sss

Herzlich Willkommen zum 18. Teil der Filmreihe „ Geometrie “. Im folgenden Video wird dir der Kongruenzsatz ( SSS ) erklärt. Du solltest bereits den Begriff der Kongruenz kennen. Wir haben über kongruente Dreiecke gesprochen, wenn die Dreiecke deckungsgleich sind. Im Video wird dir gezeigt, dass mehrere Dreiecke kongruent sind, wenn sie die gleichen Seitenlängen haben. Es müssen also alle drei Seiten von dem einen Dreieck, mit den drei Seiten eines anderen Dreiecks übereinstimmen ( Kongruenzsatz SSS ). In diesem Fall wären die Dreiecke kongruent. Sie haben damit automatisch alle den gleichen Flächeninhalt und die gleichen Winkelgrößen.

Transkript Kongruenzsatz sss

Hallo liebe Schülerinnen und liebe Schüler. Herzlich willkommen zum Video Geometrie Teil 18. Das Thema des Videos lautet "Der Kongruenzsatz sss". Was das sss zu bedeuten hat, werden wir am Ende des Videos aufklären. Könnt Ihr Euch noch daran erinnern, was der Begriff kongruent bedeutet? Wir haben über Kongruentdreiecke gesprochen, wenn diese Dreiecke deckungsgleich waren. Schaut Euch das an. Das kaminfarbene Dreieck und das lilafarbene Dreieck. Ich kann sie beide übereinanderlegen, sodass das untere Dreieck nicht herausschaut. Das gilt für den Fall, wenn lila oben liegt und das gilt ganz genauso für den Fall, wenn kaminrot oben liegt. Das heißt, beide Dreiecke sind deckungsgleich. Man nennt sie dann auch kongruent. Die beiden Dreiecke rechts hingegen sind nicht kongruent, weil sie nicht deckungsgleich sind. Immer eines der beiden schaut unter dem anderen hervor. Also rechts nicht kongruent und links kongruent, also deckungsgleich.Wir wollen uns in diesem und in den nächsten Videos damit beschäftigen, wann zwei Dreiecke kongruent sind. Nehmen wir einmal diese beiden Dreiecke.Das hellblaue Dreieck und das gelbe Dreieck. Diese beiden Dreiecke sind offensichtlich kongruent. Das blaue Dreieck verdeckt das gelbe Dreieck vollständig. Aber auch das gelbe Dreieck verdeckt das blaue Dreieck so das nichts daraus hervorschaut. Wir können die Dreiecke auf unterschiedliche Art anordnen. Die Kongruenz bleibt dabei in jedem Fall erhalten. So, jetzt kommt noch ein weiteres gelbes Dreieck dazu, das offensichtlich zu dem himmelblauen Dreieck nicht kongruent ist. Denn wir können beide nicht so hinlegen, dass das eine unter dem anderen nicht mehr hervorschaut. Trotzdem ist es ein besonderes gelbes Dreieck. Denn es hat eine Seite, die so groß ist wie eine Seite des blauen Dreiecks und eine Zweite ist so groß, wie die Seite des blauen Dreiecks. Die dritte Seite unten dagegen ist aber verkürzt. Diesen interessanten Fakt müssen wir uns merken. So, da das gelbe Dreieck nicht kongruent zu dem himmelblauen Dreieck ist, kommt es nach rechst außen. Ich habe aber noch ein anderes gelbes Dreieck. Schaut einmal. Hier ist es. Seht Ihr? Auch es ist nicht kongruent zum blauen Dreieck, wir können beide nicht in Übereinstimmung bringen. Beide sind zueinander nicht deckungsgleich. Allerdings ist es so, dass zwei Seiten des gelben und des himmelblauen Dreiecks übereinstimmen. Die linke nämlich und die rechte Seite. Beide Seiten in den Dreiecken sind entsprechend gleich lang. Die Seite unten allerdings ist im gelben Dreieck ein ganzes Stück länger. Auch diesen Fakt sollten wir uns merken. Da das gelbe Dreieck nicht kongruent zum Himmelblauen ist, gelangt es ebenfalls nach rechts außen.  So, wir wollen nun einmal alle Seiten der Dreiecke die wir auf dieser Seite sehen ausmessen und aufschreiben. Beginnen wir mit der ersten Seite. Die beträgt im blauen Dreieck 15 cm. Im Dreieck daneben ebenfalls 15 cm. Die beträgt im blauen Dreieck 15 cm. Nun vermessen wir die nächste Seite. Sie beträgt im blauen Dreieck 20 cm. Im Dreieck daneben ebenfalls 20 cm. Und in den beiden Dreiecken, die nicht kongruent zu den beiden Ersten sind, ebenfalls 20 cm. Und nun kommen wir zur dritten Seite. Im blauen Dreieck beträgt sie 25 cm. Im Dreieck daneben ebenfalls 25 cm. Und wir wissen, dass beide Dreiecke zueinander kongruent sind. Nun messen wir die Seiten in den beiden Dreiecken rechts aus. Im oberen Dreieck erhalten wir 16 cm und für das Dreieck unten rechts ergeben sich 29 cm. Wir wissen aber auch, das die beiden Dreiecke rechst nicht kongruent zu den Dreiecken links sind. Notieren wir als Gedächtnisstütze für die beiden kongruenten Dreiecke "Alle drei Seiten, sind gleich lang". Wir können jetzt die eingangs gestellte Frage "Wann sind zwei Dreiecke kongruent?" beantworten. Die Antwort auf diese Frage gibt der Kongruenzsatz "Seite, Seite, Seite" oder abgekürzt sss mit kleinen Buchstaben. Oder wahlweise, in Abhängigkeit von der Schule, dem Bundesland mit großem SSS. So könnt ihr jetzt den Kongruenzsatz formulieren? Vielleicht geht es so: "Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen". Die Aussage des Kongruenzsatzes sss, wollen wir nun noch mathematisch exakt formulieren. Dafür beschrifte ich unsere beiden Kongruentdreiecke. Die Seiten im blauen Dreieck seien a, b und c. Die Seiten im gelben Dreieck e, f und g. Der Kongruenzsatz sss sagt dann aus: "Beide Dreiecke sind kongruent, wenn gilt a=e, b=f und c=g". So das ist es auch schon wieder für heute. Ich hoffe Ihr hattet etwas Spaß, genauso wie ich. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg und vielleicht hören und sehen wir uns bald wieder. Tschüss.

22 Kommentare

22 Kommentare
  1. Sehr gut gemacht wie immer ;)

    Von Wdewizard, vor mehr als 2 Jahren
  2. super Video mit guter Erklärung

    Von Gian-Luca G., vor etwa 4 Jahren
  3. Gute erklärung

    Von Ronaraufi, vor etwa 4 Jahren
  4. Toll!

    Von Markus Kalina, vor mehr als 4 Jahren
  5. hat mir nicht so richtig geholfen

    Von M Kleinhans, vor mehr als 4 Jahren
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Kongruenzsatz sss Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kongruenzsatz sss kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Beschreibung des Kongruenzsatzes SSS.

    Tipps

    Jeder Buchstabe in SSS steht für ein Element eines Dreiecks.

    Wenn zwei Dreiecke in ihren drei Winkeln übereinstimmen, werden sie ähnlich genannt.

    Ähnliche Dreiecke können, müssen allerdings nicht, kongruent sein.

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn man ihre Flächen so übereinander legen kann, dass sie sich überdecken. Dabei muss egal sein, welches Dreieck über dem anderen liegt.

    Lösung

    Woran kannst du erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind?

    Hinweis: Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit.

    Um die Frage oben zu beantworten, gibt es die sogenannten Kongruenzsätze. Diese sagen jeweils aus, unter welchen Voraussetzungen jeweils auf die Kongruenz geschlossen werden kann.

    Einer dieser Kongruenzsätze ist der Kongruenzsatz SSS. Die drei S stehen dabei für Seite, Seite, Seite. Zwei Dreiecke sind demnach kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.

    Der Vollständigkeit halber sind hier noch die übrigen drei Kongruenzsätze aufgeführt.

    • Kongruenzsatz SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
    • Kongruenzsatz WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen.
    • Kongruenzsatz SSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.
  • Gib an, welches der Dreiecke kongruent zu dem gegebenen ist.

    Tipps

    Nutze den Kongruenzsatz SSS.

    Es genügt nicht, wenn nur zwei der drei Seiten übereinstimmen.

    Die Reihenfolge, in welcher die Seiten aufgeschrieben sind, ändert nichts an der Kongruenz.

    Lösung

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ihre Flächen deckungsgleich sind.

    Um dies auch ohne viel Bastelarbeit zu ermitteln, kannst du beispielsweise den Kongruenzsatz SSS benutzen.

    Dieser sagt aus, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Die Reihenfolge, in welcher diese Längen aufgeschrieben sind, ist dabei unerheblich.

    Damit folgt, dass die folgenden Dreiecke kongruent zu dem hier abgebildeten Dreieck $\Delta$ sind:

    • $\Delta_1\cong\Delta$
    • $\Delta_4\cong\Delta$
    • $\Delta_5\cong\Delta$
    In jeder dieser obigen Beziehungen siehst du das Symbol $\cong$ für „kongruent“. Sind zwei Dreiecke nicht kongruent, dann schreibst du $\not\cong$.

    Die beiden verbleibenden Dreiecke sind nicht kongruent zu dem abgebildeten:

    • $\Delta_2\not\cong\Delta$
    • $\Delta_3\not\cong\Delta$
  • Bestimme die jeweils fehlende Seitenlänge, so dass die Dreiecke kongruent sind.

    Tipps

    Alle drei Seitenlängen müssen übereinstimmen. Wenn du bereits zwei Seiten kennst, ist die Länge der fehlenden durch das andere Dreieck eindeutig gegeben.

    Wenn zwei Dreiecke kongruent sind und von beiden nur jeweils zwei Seiten bekannt sind, muss auf jeden Fall eine der beiden Seiten übereinstimmen.

    Lösung

    Eine Möglichkeit, die Kongruenz von Dreiecken zu ermitteln, besteht darin, sich die Seitenlängen der jeweiligen Dreiecke anzuschauen. Es gilt:

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.

    Kennst du von einem Dreieck drei Seiten und von dem anderen nur zwei, dann kannst du die Länge dieser Seite bestimmen.

    Beispiel 1

    Im Dreieck $\Delta_1$ sind die drei Seiten $12~\text{cm}$, $15~\text{cm}$ und $20~\text{cm}$ bekannt. Im Dreieck $\Delta_4$ sind die Seiten $15~\text{cm}$ sowie $12~\text{cm}$ bekannt. Die fehlende Seite muss also $20~\text{cm}$ lang sein.

    Beispiel 2

    Im Dreieck $\Delta_4$ sind alle drei Seiten bekannt:

    • $16~\text{cm}$
    • $18~\text{cm}$
    • $24~\text{cm}$.
    Da bei dem Dreieck $\Delta_3$ bereits zwei Seiten, nämlich $24~\text{cm}$ und $16~\text{cm}$, mit zwei Seiten von $\Delta_4$ übereinstimmen, muss die fehlende Seite $18~\text{cm}$ lang sein.

    Beispiel 3

    In diesem Beispiel sind von jedem der beiden Dreiecke zwei Seiten bekannt. Die Seite $24~\text{cm}$ stimmt überein.

    Somit fehlt bei dem Dreieck $\Delta_5$ die Seite mit der Länge $18~\text{cm}$ und bei dem Dreieck $\Delta_6$ die Seite mit der Länge $15~\text{cm}$.

  • Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks mit den Seitenlängen $a=3~\text{cm}$, $b=4~\text{cm}$ und $c=5~\text{cm}$.

    Tipps

    Schau dir bei den Radien an, welche Seiten entstehen müssen.

    Die Seiten in einem Dreieck werden mit den Kleinbuchstaben $a$, $b$ und $c$ bezeichnet. Sie liegen immer dem jeweiligen Großbuchstaben $A$, $B$ und $C$ gegenüber, die jeweils für einen Eckpunkt stehen.

    Lösung

    Hier kannst du die komplette Konstruktion sehen.

    Die vier Kongruenzsätze treffen nicht nur Aussagen, wann zwei Dreiecke kongruent sind. Sie zeigen auch an, dass eine eindeutige Konstruktion eines Dreiecks bei entsprechend gegebenen Größen möglich ist.

    Am Beispiel des Kongruenzsatzes SSS bedeutet dies:

    1.Schritt

    Paul zeichnet zunächst eine Seite. In diesem Beispiel zeichnet er $c$ mit der Länge $5~\text{cm}$. Diese Seite hat die Endpunkte $A$ und $B$.

    2. Schritt

    Die Seite $b$ hat die Eckpunkte $A$ und $C$. Deshalb wissen wir, dass die Seite $b$ an $A$ anliegt. Deshalb zeichnet Paul dort einen Kreis mit der Länge $b=4~\text{cm}$.

    Um $B$ zeichnet Paul entsprechend einen Kreis mit dem Radius $a=3~\text{cm}$.

    Die beiden Kreise schneiden sich in dem fehlenden Eckpunkt $C$ des Dreiecks.

    3. Schritt

    Nun verbindet Paul die Punkte $A$ und $C$. Das ist die Seite $b$. Die Länge der Seite ist korrekt, da der Radius oben entsprechend gewählt wurde. Er verbindet auch noch die Punkte $B$ und $C$ zu der Seite $a$.

    4. Schritt

    Nachdem er alle Seiten und Ecken beschriftet hat, radiert er die Kreise weg. Fertig ist das Dreieck $\Delta_{ABC}$.

  • Beschreibe, was Kongruenz bedeutet.

    Tipps

    In der Geometrie werden zwei Figuren als kongruent bezeichnet, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt werden können.

    Eine Kongruenzabbildung ist eine (oder mehrere hintereinander ausgeführte) der folgenden Abbildungen:

    • Du verschiebst eine Figur parallel.
    • Du drehst eine Figur.
    • Du spiegelst eine Figur.

    Ein Quadrat und ein Dreieck können nicht kongruent sein. Das gilt selbst dann, wenn das Quadrat so groß ist, dass das Dreieck darunter nicht mehr erkennbar ist.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um den Begriff der Kongruenz. Das zugehörige Adjektiv ist kongruent.

    Dieses Fachwort bedeutet deckungsgleich.

    In der Geometrie werden zwei Figuren als kongruent bezeichnet, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt werden können.

    Hier siehst du eine etwas anschaulichere Erklärung:

    Stell dir zwei ebene Figuren (zum Beispiel Dreiecke) vor. Zur Unterscheidung nennen wir sie Figur 1 und Figur 2. Wenn du nun Figur 1 so verschieben, drehen und/oder spiegeln kannst, dass sie Figur 2 vollständig überdeckt, und du umgekehrt auch Figur 2 so legen kannst, dass sie Figur 1 überdeckt, dann nennt man Figur 1 und Figur 2 kongruent.

    Kommen wir zurück zur mathematischen Definition.

    Kongruenzabbildungen sind:

    • die Parallelverschiebung,
    • die Drehung und
    • die Spiegelung.
    Wenn du mit diesen Mitteln eine Figur in eine andere Figur überführen kannst, dann sind die Figuren kongruent zueinander.

  • Ermittle die Seitenlängen der beiden Dreiecke.

    Tipps

    Der Umfang eines Dreiecks ist $u=a+b+c$.

    Ordne der kürzesten Seite von Maries Dreieck die Variable $x$ zu. Drücke die beiden anderen Seiten mit $x$ aus.

    Da die Dreiecke der beiden Mädchen kongruent sind, müssen die Seitenlängen übereinstimmen.

    Insbesondere ist der Umfang von Maries Dreieck ebenfalls $u=55~\text{cm}$.

    Stelle nun eine Gleichung auf und forme diese nach $x$ um.

    Die Gleichung lautet $x+2x+2,5x = 55$.

    Lösung

    Das klingt ja reichlich kompliziert.

    Wir gehen die Informationen nun Schritt für Schritt durch. Wir benutzen dabei die Seitenbezeichnungen $a$, $b$ und $c$.

    Lisas Dreieck hat einen Umfang von $u=55~\text{cm}$. Es gilt also $a+b+c=55~\text{cm}$.

    Maries Dreieck ist kongruent zu Lisas, hat also die gleichen Seitenlängen und auch den gleichen Umfang. Außerdem wissen wir noch folgendes:

    • Es gibt eine kürzeste Seite in Maries Dreieck. Wir nennen diese $x$.
    • Die längste Seite ist dann $2,5x$ lang.
    • Die mittlere Seite ist dann $2x$ lang.
    Aus diesen drei Angaben kommt man für Maries Dreieck auf folgenden Umfang:

    $x+2x+2,5x=55~\text{cm}$.

    Hierbei haben wir benutzt, dass kongruente Dreiecke denselben Umfang besitzen.

    Diese Gleichung formst du nun nach $x$ um:

    $ \begin{array}{crcll} &x+2x+2,5x &= &55~\text{cm} & \vert \text{ zusammenfassen}\\ \Leftrightarrow & 5,5x & = & 55~\text{cm} & \vert :5,5 \\ \Leftrightarrow & x & = & 10~\text{cm} \end{array} $

    Die kürzeste Seite hat also eine Länge von $10~\text{cm}$.

    Schließlich musst du noch die verbleibenden Seitenlängen berechnen:

    • Die mittlere Seite ist $2x=2\cdot 10~\text{cm}=20~\text{cm}$ lang.
    • Die längste Seite ist $2,5x=2,5\cdot 10~\text{cm}=25~\text{cm}$ lang.
    Du kannst noch eine Probe machen:

    $10~\text{cm}+20~\text{cm}+25~\text{cm}=55~\text{cm}$.

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