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Größenvergleich bei Brüchen – Beispiele

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Mathe-Team
Größenvergleich bei Brüchen – Beispiele
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Beschreibung Größenvergleich bei Brüchen – Beispiele

Brüche kann man miteinander vergleichen und anordnen, also die Frage beantworten: Welcher Bruch von zweien ist kleiner? Allerdings ist der Größenvergleich bei Brüchen etwas aufwendiger als bei natürlichen Zahlen. Mehrere Methoden stehen dir zur Verfügung, um Brüche miteinander zu vergleichen. In diesem Video werden diese Methoden an Beispielen demonstriert. Bei der Streifenmethode benutzt du, dass Brüche Anteile ausdrücken. Beziehst du diese Anteile immer auf das gleiche Ganze, zum Beispiel ein Rechteck, kannst du die Anteile und damit die Brüche vergleichen. Beim Vergleichen durch Erweitern nutzt du die Tatsache, dass du bei Brüchen mit demselben Nenner sofort am Zähler sehen kannst, welcher größer oder kleiner ist. Also bringst du durch Erweitern zunächst alle Brüche auf denselben Nenner. Schließlich kannst du wie bei den natürlichen Zahlen Brüche auf dem Zahlenstrahl markieren. Einmal markiert, kannst du Brüche miteinander vergleichen, denn der Zahlenstrahl zeigt immer die Anordnung von Zahlen: nach rechts wird's größer.

Transkript Größenvergleich bei Brüchen – Beispiele

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um den Größenvergleich von Brüchen. Dafür stehen dir mehrere Methoden zur Verfügung. In diesem Video demonstrieren wir jede dieser Methoden mit einem ausführlichen Beispiel.

  • Wir beginnen mit der Streifenmethode,
  • anschließend vergleichen wir Brüche durch Erweitern und Kürzen,
  • und abschließend schauen wir uns Brüche direkt am **Zahlenstrahl an.

Streifenmethode

Im ersten Vergleich möchten wir die Brüche fünf Neuntel und vier Siebtel vergleichen. Welcher ist größer? Wir benutzen in diesem Beispiel die Streifenmethode. Hinter dieser Methode steckt, dass ein Bruch den Anteil an einem Ganzen beschreibt.

Das Ganze kann eine Pizza, ein Kuchen, eine Menschenmenge oder sonstwas sein – oder eben ein rechteckiger Streifen.

Was bedeuten nun fünf Neuntel eines solchen Streifens? Das, was Brüche immer bedeuten: Wir teilen das Ganze in neun gleich große Teile und nehmen davon fünf Teile. Fertig! Dieser Anteil des Streifens stellt nun den Bruch fünf Neuntel dar.

Das gleiche veranstalten wir nun mit einem zweiten Streifen, der – wichtig – genau so lang ist wie der erste Streifen. Diesen Streifen teilen wir nun in sieben gleich große Teile und nehmen davon 4 Anteile. Das war’s. Das stellt den Bruch vier Siebtel dar.

Da beide Brüche sich auf dasselbe Ganze beziehen, nämlich den Streifen, können wir sie nun direkt miteinander vergleichen: Der Viersiebtel-Anteil am zweiten Streifen ist größer als der Fünfneuntel-Anteil am ersten Streifen. Also ist vier Siebtel größer als fünf Neuntel.

Du kannst dir übrigens für alle Brüche beispielsweise bis zum Zähler 10 eine Art Streifentafel anfertigen. Der erste Streifen zeigt der Bruch ein halb, der zweite ein Drittel und zwei Drittel usw. bis zum zehnten Streifen mit den Brüchen ein Zehntel, zwei Zehntel bis neun Zehntel. Mit dieser Tafel kannst du schnell und sicher eine ganze Menge Brüche miteinander vergleichen.

Brüche erweitern

Im zweiten Beispiel wollen wir die Brüche sieben Zehntel und sechs Neuntel miteinander vergleichen. Wir lösen das Problem dieses Mal durch das Erweitern von Brüchen.

Hier bei nutzen wir 2 Sätze:

  • Von zwei Brüchen mit dem gleichen Nenner ist derjenige größer, der den größeren Zähler hat.
  • Beim Erweitern oder Kürzen ändert sich der Wert eines Bruches nicht.

Wir müssen also jetzt sieben Zehntel und sechs Neuntel auf den gleichen Nenner bringen, indem wir beide Brüche erweitern. Der kleinste Nenner, den wir durch Erweitern erreichen können, ist das Produkt 9 mal 10 = 90. Eine kleinere Zahl als gemeinsamen Nenner finden wir nicht.

Den Bruch sechs Neuntel müssen wir also mit 10 erweitern, um ihn zu einem Bruch mit Nenner 90 zu machen. Im neuen Zähler erhalten wir also 5 mal 10 gleich 50.

Den Bruch sieben Zehntel müssen wir mit neun erweitern, um auf den Nenner 90 zu kommen. Auch den Zähler müssen wir mit 9 multiplizieren, der erweiterte Bruch lautet demnach 63 Neunzigstel.

Den Wert der Brüche haben wir ja an keiner Stelle geändert! Deshalb können wir sie nun vergleichen und werfen einen Blich auf die Zähler: 63 ist größer als 60, also sind 63 Neunzigstel größer als 60 Neunzigstel, demnach sind sieben Zehntel größer als sechs Neuntel.

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Beispiel 3: Brüche sind ja Zahlen, wir sagen deshalb auch Bruchzahlen zu ihnen. Dann müssen sie sich auch auf dem Zahlenstrahl finden lassen.

In diesem Beispiel versuchen wir die Mitte zwischen sechs Viertel und acht Fünftel zu finden und auf dem Zahlenstrahl zu markieren. In welchem Bereich des Zahlenstrahls sind die beiden Bruchzahlen angesiedelt?

Beide Zahlen sind größer als 1, weil der Zähler jeweils größer als der Nenner ist, beide sind aber auch kleiner als zwei, was du sofort siehst, wenn du sie als gemischte Zahlen schreibst: sechs Viertel gleich eins zwei Viertel, acht Fünftel gleich 1 drei Fünftel.

Interessant ist also der Bereich zwischen 1 und 2 auf dem Zahlenstrahl. Um sechs Viertel zu markieren, reicht es, den Bereich zwischen 1 gleich vier Viertel und 2 gleich acht Viertel zu vierteln und von 1 aus zwei Teilstriche nach rechts zu gehen.

Genauso können wir acht Fünftel durch Fünfteln der Strecke zwischen 1 gleich fünf Fünftel und 2 gleich zehn Fünftel erreichen; von eins drei Teilstriche nach rechts erreichen wir acht Fünftel.

Die Mitte können wir so aber noch nicht ablesen. Wir müssen beide Brüche zunächst erweitern um sie auf die gleiche Teilstrichskala zu bekommen.

Der gemeinsame Nenner ist 4 mal 5 gleich 20. Sechs Viertel muss also mit 5 erweitert werden und wird zu 30 Zwanzigstel. Acht Fünftel muss mit 4 erweitert werden und wird zu 32 Zwanzigstel.

Jetzt legen wir die Lupe auf den Zahlenstrahl, der Abstand zwischen den Teilstriechen ist nun ein Zwanzigstel. Hier ist 30 Zwanzigstel, hier ist 32 Zwanzigstel. Die Mitte zwischen diesen beiden Teilstrichen bildet der Bruch 31 Zwanzigstel. Also ist 31 Zwanzigstel die Mitte zwischen sechs Viertel und acht Fünftel.

Das waren nun drei Beispiele zum Thema “Brüche vergleichen”. Langsam aber sicher wirst du zum Bruchmeister. Brüche sind eben auch nur Zahlen! Tschüss!

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. Hmmmm.....
    Kappier ich nicht! :(:(:(

    Von Chiara H., vor fast 3 Jahren
  2. vielen dank

    Von S S Baranek, vor mehr als 4 Jahren
  3. super

    Von Luise K., vor fast 5 Jahren
  4. Danke hat mir echt geholfen!

    Von Sanjana V., vor fast 5 Jahren
  5. super vielen dank

    Von Yamaha Manu, vor fast 5 Jahren
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Größenvergleich bei Brüchen – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größenvergleich bei Brüchen – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere den Ablauf der Streifenmethode.

    Tipps

    Brüche sind beim Aufteilen von Anteilen hilfreich.

    Brüche können der Größe nach sortiert werden.

    Lösung

    Beim Größenvergleich von Brüchen gibt es drei wichtige Methoden:

    1. die Streifenmethode,
    2. Erweitern und Kürzen,
    3. den Zahlenstrahl.
    Die Streifenmethode bietet sich besonders bei echten Brüchen an, also wenn der Bruch kleiner als ein Ganzes ist. Dann werden zwei gleich lange Streifen erstellt, deren Unterteilung in Abschnitte vom Nenner des Bruches abhängt. Bei $\frac{5}{9}$ wird der Streifen in neun Teile unterteilt, bei $\frac{4}{7}$ in sieben. Vom Zähler hängt ab, wie viele der Abschnitte nun farbig markiert werden. Tut man dies nun bei den beiden genannten Brüchen, so erhältst du $\frac{5}{9} < \frac{4}{7}$.

  • Beschreibe die Methode des Erweiterns anhand des Beispiels.

    Tipps

    Was ist wichtig, um zwei Brüche miteinander vergleichen zu können?

    Beim Erweitern wird der Wert des Bruches nicht verändert.

    Lösung

    Entscheidet man sich beim Vergleich zweier Brüche für das Erweitern bzw. Kürzen, so ist es Ziel, die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

    Der erste Schritt besteht nun darin, einen gemeinsamen Nenner zu finden. Das kann man erreichen, indem die Nenner miteinander multipliziert werden.

    In unserem Beispiel werden $\frac{7}{10}$ und $\frac{6}{9}$ verglichen.

    Das Produkt der beiden Nenner ergibt 9 $\cdot$ 10 = 90. Wie wir sehen, wird der eine Bruch mit dem Nenner des anderen erweitert. Es ergeben sich $\frac{7}{10} = \frac{63}{90}$ und $\frac{6}{9} = \frac{60}{90}$. Der Vergleich zeigt uns $\frac{63}{90} > \frac{60}{90}$.

    Es gilt also $\frac{7}{10} > \frac{6}{9}$.

  • Ermittle die Mitte zwischen $\frac{5}{3}$ und $\frac{9}{5}$.

    Tipps

    Unechte Brüche sind größer als ein Ganzes.

    Unechte Brüche lassen sich als gemischte Brüche schreiben.

    Bei gemischten Brüchen steht eine natürliche Zahl vor einem Bruch.

    Lösung

    Wenn man unechte Brüche miteinander vergleicht, so hilft es häufig, diese als gemischte Brüche zu schreiben. Dann kann es passieren, dass sich die natürlichen Zahlen vor dem Bruch unterscheiden und man kann den größeren Bruch leicht ermitteln.

    So ist beispielsweise $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} > 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, weil 3 > 1.

    In unserer Aufgabe ist es nicht so einfach. Beide Brüche liegen im Bereich zwischen 1 und 2, wie wir sehen, wenn wir die gemischte Bruchschreibweise verwenden. Dann ist $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ und $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.

    Da wir uns auf dem Zahlenstrahl zwischen 1 und 2 befinden, reicht es, vorübergehend nur $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{5}$ zu betrachten. Jetzt fällt es uns leichter, die Brüche zu erweitern, um die Mitte herauszufinden. $\frac{2}{3}$ wird mit 5 zu $\frac{10}{15}$ erweitert, $\frac{4}{5}$ mit 3 zu $\frac{12}{15}$. Die Mitte lässt sich nun gut ablesen. Sie liegt bei $\frac{11}{15}$. Erinnern wir uns jetzt wieder an die Position auf dem Zahlenstrahl, so heißt unser Ergebnis $1\frac{11}{15}$ oder $\frac{26}{15}$.

  • Ermittle die Paare, deren Mitte $\frac{3}{8}$ ist.

    Tipps

    Versuche, eine gute Übersicht über die Brüche zu gewinnen.

    Erweitere, sofern notwendig.

    Lösung

    Hier suchen wir nicht die Mitte zweier Brüche, sondern die Brüche, die um diese Mitte liegen.

    Unsere Mitte ist der Bruch $\frac{3}{8}$. Er liegt genau zwischen vier Paaren von Brüchen, die wir bestimmen sollen.

    Um uns eine Übersicht zu verschaffen, wollen wir zuerst alle gegebenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Eine Möglichkeit wäre, alle Nenner miteinander zu multiplizieren. Um aber einen so großen gemeinsamen Nenner zu vermeiden, nehmen wir uns ruhig die Zeit, um etwas genauer hinzuschauen. Dann sehen wir, dass sich 120 als gemeinsamer Nenner gut eignet, da er ein Vielfaches aller Nenner ist.

    Nun erweitern wir entsprechend. Zuerst die Mitte $\frac{3}{8} = \frac{45}{120}$.

    1. $\frac{1}{8} = \frac{15}{120}$, $\frac{1}{24} = \frac{5}{120}$, $\frac{3}{20} = \frac{18}{120}$, $\frac{1}{2} = \frac{60}{120}$ und
    2. $\frac{5}{8} = \frac{75}{120}$, $\frac{17}{24} = \frac{85}{120}$, $\frac{3}{5} = \frac{72}{120}$, $\frac{1}{4} = \frac{30}{120}$.
    Nun lassen sich die Paare leicht ermitteln, da sie gleichweit von $\frac{3}{8}$ entfernt liegen. Gekürzt lauten sie $\frac{1}{8}$ und $\frac{5}{8}$, $\frac{1}{24}$ und $\frac{17}{24}$, $\frac{3}{20}$ und $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{4}$.

  • Gib an, welche Gegenstände sich zur einfachen Darstellung von Brüchen eignen.

    Tipps

    An welchen Gegenständen lässt sich ein Bruch gut veranschaulichen?

    Lösung

    Wenn man genau hinschaut, begegnet man der Mathematik in vielen Bereichen des Lebens.

    Bestellt man eine Pizza, so kann man sich fragen, in wie viele Teile sie denn nun geteilt werden und wie viele Stücke jemand davon bekommen soll. Schon ist die Verwendung von Brüchen hilfreich. Das gilt natürlich in gleicher Weise auch für Torten, welchen das sogenannte Tortendiagramm seinen Namen verdankt.

    Eine Menge von Menschen eignet sich auch hervorragend, um den Anteil an einem Ganzen durch einen Bruch darzustellen. So lässt sich beispielsweise der Anteil der Linkshänder an dieser Menge gut sichtbar machen.

    Zwar nicht völlig ungeeignet, jedoch sicherlich nicht praktisch wäre die Verwendung einer Weltkugel oder eines derartigen Glases, da diese Gegenstände zu komplex sind und sich zur Darstellung von Anteilen nicht gut eignen.

  • Bestimme den Bruch, der auf $\frac{1}{4}$ der Strecke zwischen $\frac{3}{8}$ und $\frac{1}{2}$ liegt.

    Tipps

    Führe dir vor Augen, dass Vierteln durch wiederholtes Halbieren erfolgt.

    Veranschauliche dir das beispielsweise an einer Torte.

    Lösung

    Als Ausgangspunkte haben wir die Brüche$\frac{3}{8}$ und $\frac{1}{2}$. Gesucht ist der Bruch auf dem Zahlenstrahl, der auf $\frac{1}{4}$ der Strecke zwischen diesen beiden Brüchen liegt.

    Zuerst muss die Mitte zwischen $\frac{3}{8}$ und $\frac{1}{2}$ gefunden werden. Wir erweitern und sehen, dass diese Mitte zwischen $\frac{6}{16}$ und $\frac{8}{16}$ liegen muss, also bei $\frac{7}{16}$.

    Nun wiederholt sich das Prozedere und wir ermitteln die Mitte zwischen $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$ und $\frac{7}{16}$. Dazu erweitern wir zunächst noch einmal, um weitere dazwischenliegende Brüche zu finden. $\frac{6}{16} = \frac{12}{32}$ und $\frac{7}{16} = \frac{14}{32}$. Dazwischen liegt nun offensichtlich $\frac{13}{32}$. Dies ist der Bruch, den wir gesucht haben.

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