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Größenvergleich bei Brüchen – Anordnungen auf dem Zahlenstrahl (3)

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Mathe-Team
Größenvergleich bei Brüchen – Anordnungen auf dem Zahlenstrahl (3)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Größenvergleich bei Brüchen – Anordnungen auf dem Zahlenstrahl (3)

Ob eine natürliche Zahl kleiner oder größer als eine andere natürliche Zahl ist, lässt sich einfach entscheiden. Ein Blick auf den Zahlenstrahl genügt. Funktioniert das auch bei Brüchen? Ja, denn Brüche sind ja auch nur Zahlen. Wo aber liegen Brüche auf dem Zahlenstrahl? Genau darum geht es in diesem Video. Du erfährst, wie du Bruchzahlen auf dem Zahlenstrahl finden, markieren und vergleichen kannst. Du lernst, dass Erweitern dabei eine zentrale Rolle spielt, denn erst durch das Erweitern werden Brüche auf dem Zahlenstrahl vergleichbar. Und du wirst sehen, wie man immer eine Bruchzahl finden kann, die in der Mitte zwischen zwei anderen liegt.

Transkript Größenvergleich bei Brüchen – Anordnungen auf dem Zahlenstrahl (3)

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es erneut um den Größenvergleich von Brüchen. Hierfür gibt es mehrere Methoden – zum Beispiel die Streifen-Methode oder das Erweitern auf den gleichen Nenner.

Aber gibt es nicht eine noch schnellere Methode, Brüche zu vergleichen? Bei den natürlichen Zahlen klappt es natürlich, sich die Zahlen auf einen imaginären Zahlenstrahl vorzustellen. Der Zahlenstrahl liefert sofort eine Antwort, welche der Zahlen größer ist. Das funktioniert in der Tat auch bei Brüchen, und darum geht es in diesem Video.

Zunächst rufen wir uns die natürlichen Zahlen und den Zahlenstrahl in Erinnerung. Dann suchen wir Brüche auf dem Zahlenstrahl, anhand verschiedener Beispiele und Vorgehensweisen.

Natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Wie funktioniert der Vergleich natürlicher Zahlen am Zahlenstrahl? Es gibt eine ganz simple Regel:

Von zwei natürlichen Zahlen, zum Beispiel 5 und 3, ist diejenige größer, die auf dem Zahlenstrahl weiter rechts liegt.

5 ist größer als 3.

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Wie bringen wir aber Brüche auf dem Zahlenstrahl unter? Zunächst schauen wir uns den Zahlenstrahl zwischen 0 und 1 etwas näher an. Der Bruch einhalb liegt genau in der Mitte zwischen 0 und 1, da müssen wir nicht lange überlegen. Die Brüche ein Drittel und zwei Drittel dritteln die Strecke zwischen 0 und 1, liegen also hier und hier.

Wir können sofort ablesen: ein Drittel ist kleiner als einhalb. Zwei Drittel sind größer als einhalb.

Wie vergleichen wir aber zwei Brüche - z.B. 4 Sechstel und 7 Zwölftel. Und vier Sechstel? Wir unterteilen den Abschnitt von 0 bis 1 in 6 gleichgroße Teile und suchen uns dann die Markierung für 4 Sechstel.

Wie finden wir aber sieben Zwölftel auf dem Zahlenstrahl? Zwölf bedeutet: wir teilen den Abschnitt zwischen 0 und 1 in 12 gleiche Abschnitte und zählen dann von links bis sieben ab: da sind 7 Zwölftel.

Damit können wir sehen: Der Bruch vier Sechstel liegt rechts von sieben Zwölftel, ist also größer.

Was aber, wenn wir wir den Bruch siebzehn Viertel am Zahlenstrahl suchen. Er ist größer als 1, denn der Zähler ist größer als der Nenner. Also müssen wir den Zahlenstrahl verlängern. Bis wohin?

Wie viele Ganze verbergen sich denn in dem Bruch 17 Viertel. Wie oft passt also der Nenner vier in den Zähler 17. Genau viermal und als Rest haben wir die eins.

Also sind 17 Viertel gleich 4 und ¼. Wir suchen also am Zahlenstrahl die vier und müssen noch ein Viertel nach rechts gehen. Hier markieren wir den Bruch 17 Viertel.

Eine andere Methode wäre diese: Da wir einen Bruch mit Nenner vier suchen, erweitern wir die natürlichen Zahlen auf den Nenner 4; d.h. 1 ist gleich vier Viertel, zwei gleich acht Viertel usw. bis fünf gleich 20 Viertel. Unser gesuchter Bruch liegt zwischen 16 Viertel und 20 Viertel, also zwischen 4 und 5. Wir müssen jetzt nur noch von 16 Viertel und ein zusätzliches Viertel nach rechts gehen und finden so den Bruch siebzehn Viertel.

Aufgabe 1

Betrachten wir ein Aufgabenbeispiel: Ordne die Brüche ⅔ , ⅚, 7/12 und ¼ der Größe nach. Wie müssen wir den Zahlenstrahl unterteilen? Wir könnten nun den Zahlenstrahl drittel, vierteln, sechsteln und zwölfteln. Ganz schön viel Arbeit und am Ende ein Zahlenstrahl mit zich Markierungen.

Es gibt aber einen Trick: Alle Brüche lassen sich auf den Nenner 12 erweitern. Denn 12 ist der kleinste gemeinsame Nenner der Brüche. Wir erweitern deshalb:

  • ⅔ erweitert mit 4 ist acht Zwölftel,
  • ⅚ erweitert mit 2 ist 10 Zwölftel,
  • 7/12 können wir so lassen
  • 1/4 erweitert wir aber noch mit 3, das sind 3/12.

Jetzt teilen wir den Abschnitt zwischen 0 und 1 in 12 Abschnitte und tragen die Brüche auf dem Zahlenstrahl ein. Wir können ablesen: Ein Viertel ist kleiner als 7 Zwölftel ist kleiner als zwei Drittel ist kleiner als 5 Sechstel.

Das halten wir auch als Antwort schriftlich fest: Ein Viertel ist kleiner als 7 Zwölftel ist kleiner als zwei Drittel ist kleiner als 5 Sechstel.

Aufgabe 2

Ein letztes Aufgabenbeispiel: Finde den Bruch, der in der Mitte zwischen einhalb und einem Drittel liegt. Hierzu bringen wir als erstes die beiden Brüche auf denselben Nenner. Das macht es uns wesentlich einfacher.

Wir wählen als gemeinsamen Nenner ganz einfach das Produkt aus 2 und 3, also 2 mal drei gleich 6 und erweitern: Einhalb ist mit 3 erweitert gleich 3 Sechstel, ein Drittel ist mit 2 erweitert gleich 2 Sechstel.

Teilen wir den Zahlenstrahl von 0 bis 1 in sechs gleichgroße Teile und markieren 3/6 und 2/6. Hm … Die Nenner sind zwar jetzt gleich, das reicht noch nicht, um eine Mitte anzugeben.

Wir erweitern deshalb noch mal auf beiden Seiten mit 2 und erhalten 6 Zwölftel und 4 Zwölftel. Der Zahlenstrahl wird nun noch feiner unterteilt - in 12 gleichgroße Teile zwischen 0 und 1. Damit können wir die Mitte zwischen vier und sechs Zwölftel ablsesen, nämlich 5 Zwölftel.

Wie du gesehen hast ist der Zahlenstrahl nicht nur zum Vergleich natürlicher Zahlen nützlich, sondern genauso für die Bruchzahlen. Auf dem Zahlenstrahl der Bruchzahlen gibt es allerdings keine Lücken mehr. Es bleibt also spannend. Tschüss!

46 Kommentare

46 Kommentare
  1. hatte mir vorher das Video 'Brüche auf dem Zahlenstrahl' angeguckt, das war kürzer, einfacher und viel verständlicher;
    dieses Video hier erklärt verwirrend und umständlich , ist langweilig und viel zu lang, sorry 🥴

    Von Sunjulia, vor 9 Monaten
  2. Ich hab’s nicht kapiert aber meine mum hat’s mir dann gesagt 😜 hab’s nun kapiert

    Von Kit Kat Kat, vor 11 Monaten
  3. Hallo Isabella Hackl, meinst du die Aufgabe, wo du die Zahlen rausfinden sollst, die den gleichen Abstand zu 1/2 haben? Ich versuche dir da mal zu helfen: Die Zahlen 0 und 1 haben bspw. den gleichen Abstand zu 1/2: 1/2+1/2=1 und 1/2-1/2=0. Bei der Aufgabe geht es um genau solche Zahlen. Ich hoffe, dass Dir dieser Hinweis weiterhilft. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor mehr als einem Jahr
  4. Hallo Sofatutor team. Ich verstehe die letzte aufgabe nicht. (Also was man machen muss.)Das ist irgendwie unlogisch.BZW ich vertsehe es nicht. Könnte es mir bitte jemand erklären ???

    Von Isabella Hackl, vor mehr als einem Jahr
  5. ich verstehe das leider nicht

    Von Melania L., vor mehr als einem Jahr
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Größenvergleich bei Brüchen – Anordnungen auf dem Zahlenstrahl (3) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größenvergleich bei Brüchen – Anordnungen auf dem Zahlenstrahl (3) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Position auf dem Zahlenstrahl.

    Tipps

    Zeichne einen Zahlenstrahl mit passenden Einteilungen und trage die Brüche jeweils ein.

    Du kannst die Brüche auch auf den Nenner $6$ erweitern, damit die Aufteilung auf dem Zahlenstrahl für alle Brüche gilt.

    Lösung

    Die Zahlen lassen sich hier gut einordnen, indem man die Strecke zwischen $0$ und $1$ in Abschnitte aufteilt. $\frac{1}{2}$ wird in der Mitte zwischen $0$ und $1$ eingetragen, für $\frac{1}{3}$ und $\frac{2}{3}$ teilt man die Strecke in $3$ Abschnitte auf.

    Alternativ kannst du auch erweitern:

    Einen gemeinsamen Nenner berechnet man, indem man die einzelnen Nenner miteinander multipliziert, also: $2 \cdot 3 = 6$. Um $\frac{1}{2}$ entsprechend zu erweitern, werden Zähler und Nenner mit $3$ multipliziert. $\frac{1}{3}$ und $\frac{2}{3}$ werden mit $2$ erweitert. Es ergeben sich $\frac{2}{6}$ und $\frac{4}{6}$.

    Jetzt gilt:

    $0 < \frac{2}{6} < \frac{3}{6} < \frac{4}{6} < 1$

    Oder gekürzt:

    $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < 1$

  • Schildere, wie man Brüche auf dem Zahlenstrahl anordnet.

    Tipps

    Den Zahlenstrahl teilst du erst dann auf, wenn du den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche bestimmt und diese entsprechend erweitert hast.

    Die Reihenfolge der Brüche kannst du direkt am Zahlenstrahl ablesen. Zuvor musst du die Brüche aber alle auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

    Lösung

    Die richtige Reihenfolge lautet:

    1. „Wir entnehmen aus der Aufgabe, welche Brüche geordnet werden sollen.“
    2. „Haben die Brüche unterschiedliche Zähler und unterschiedliche Nenner, so wird der kleinste gemeinsame Nenner aller Brüche gesucht.“ Das ist wichtig, damit du die Brüche miteinander vergleichen kannst. Man könnte auch jeden anderen gemeinsamen Nenner suchen, aber der kleinste ist einfach der unkomplizierteste, weil du durch ihn hohe Nenner vermeiden kannst.
    3. „Wir erweitern alle Brüche auf den gefundenen kleinsten gemeinsamen Nenner.“ Erweitern bedeutet, dass du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst. Der Wert des Bruches verändert sich dadurch nicht. Hast du erst einmal erweitert, kannst du im Kopf die Gegenprobe machen und noch einmal auf den ursprünglichen Bruch kürzen. Wenn du dich verrechnet hast, merkst du es oft durch eine schnelle Gegenprobe.
    4. „Nachdem wir die Brüche entsprechend erweitert haben, unterteilen wir nun den Zahlenstrahl in so viele Abschnitte wie der gemeinsame Nenner groß ist.“ Würden wir nicht den kleinsten gemeinsamen Nenner verwenden, müsstest du hier unangenehm viele Abschnitte einzeichnen.
    5. „Nun können wir die erweiterten Brüche im Zahlenstrahl eintragen.“ Dadurch gewinnst du einen guten Überblick über die Anordnung auf dem Zahlenstrahl.
    6. „Wir lesen die Reihenfolge der eingetragenen Brüche ab.“
  • Ordne die Brüche $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{4}{6}$ und $\frac{7}{12}$ der Größe nach.

    Tipps

    Du erweiterst einen Bruch so, dass im Nenner der kleinste gemeinsame Nenner steht.

    Den kleinsten gemeinsamen Nenner ermittelst du, indem du die Vielfachen des einen Nenners mit den Vielfachen des anderen vergleichst.

    Hast du einen gemeinsamen Nenner gefunden, musst du nur noch einen Blick auf die verschiedenen Zähler werfen und diese vergleichen.

    Lösung

    Wir wollen die Brüche $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{4}{6}$ und $\frac{7}{12}$ der Größe nach ordnen.

    Damit die Brüche auf dem Zahlenstrahl eingetragen werden können, erweitern wir die einzelnen Brüche, sodass alle Brüche einen gemeinsamen Nenner haben. Am elegantesten ist es, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden. Dieser ist in diesem Fall $12$. Erkennt man diesen nicht sofort, hilft es, die Vielfachenmengen der verschiedenen Nenner wie folgt aufzuschreiben:

    • $V_2=\{ 2; 4; 6; 8; 10; 12; \dots \}$
    • $V_4=\{ 4; 8; 12; \dots \}$
    • $V_6=\{ 6; 12; \dots \}$
    Die Vielfachenmenge von$12$ brauchst du nicht aufschreiben, da $12$ der kleinste gemeinsame Nenner ist. Das erkennst du, wenn du die obigen Vielfachenmengen miteinander vergleichst.

    Wir unterteilen also den Zahlenstrahl in $12$ Abschnitte und tragen die erweiterten Brüche $\frac{6}{12}$, $\frac{3}{12}$, $\frac{8}{12}$ und $\frac{7}{12}$ in den Zahlenstrahl ein.

    Es lässt sich nun leicht die Reihenfolge bestimmen. Nicht erweitert lautet sie:

    $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{7}{12} < \frac{4}{6}$

  • Ermittle, welcher Bruch in der Mitte zwischen $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{5}$ liegt.

    Tipps

    Brüche werden mit natürlichen Zahlen erweitert.

    Die Brüche behalten beim Erweitern ihren ursprünglichen Wert. Du musst beim Erweitern also Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.

    Lösung

    Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu ermitteln, werden diese zuerst gleichnamig gemacht. Man sucht also einen gemeinsamen Nenner.

    In unserem Beispiel suchen wir den gemeinsamen Nenner von $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{5}$. Hier bietet sich $2\cdot 5 = 10$ an.

    Wir erweitern nun mit $5$ und $2$ und erhalten $\frac{5}{10}$ und $\frac{6}{10}$. Das reicht noch nicht, weil wir zwischen $5$ und $6$ keine natürliche Zahl finden können, sodass wir noch einmal mit $2$ erweitern. $\frac{5}{10} = \frac{10}{20}$ und $\frac{6}{10} = \frac{12}{20}$.

    Hier können wir leicht eine Mitte finden. Sie liegt bei $\frac{11}{20}$.

  • Bestimme die wahren Aussagen über Bruchzahlen.

    Tipps

    Brüche lassen sich wie natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl anordnen.

    Zwischen zwei unterschiedlichen Brüchen befinden sich unendlich viele andere Brüche.

    Lösung

    Überprüfen wir die Aussagen.

    • „Je weiter ein Bruch auf dem Zahlenstrahl links liegt, desto größer ist er.“ Das stimmt nicht. Brüche verhalten sich in der Hinsicht genau wie natürliche Zahlen. Je weiter rechts, also von der $0$ entfernt, sie liegen, desto größer sind sie.
    • „Um Brüche vergleichen zu können, müssen sie einen gemeinsamen Nenner haben.“ Ja, das ist richtig. Um Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, müssen sie mit einer natürlichen Zahl erweitert werden.
    • „Einen gemeinsamen Nenner erhält man, indem die Nenner der beiden Brüche multipliziert werden.“ Das ist auf jeden Fall ein Weg, der immer funktioniert. Allerdings können manchmal ziemlich große Nenner zustande kommen. Dann ist es manchmal einfacher, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu ermitteln.
    • „Brüche, die größer als $1$ sind, können keinen gemeinsamen Nenner haben.“ Das ist natürlich Unsinn. Jeder Bruch besteht aus Zähler und Nenner und kann somit erweitert und gekürzt werden.
    • „Zwischen zwei verschiedenen Brüchen gibt es immer eine Mitte.“ Ja, das mag schwer vorstellbar klingen, ist aber richtig. Unabhängig davon, wie nah zwei verschiedene Brüche nebeneinander liegen, existiert immer eine Mitte.
  • Ermittle die beiden Zahlen mit dem gleichen Abstand zur Zahl $\frac{1}{2}$.

    Tipps

    Wie groß ist der Abstand der einen Zahl von $\frac{1}{2}$?

    Erweitere $\frac{1}{2}$, wenn notwendig.

    Wie man Brüche erweitert, hast du bereits gelernt. Manchmal liegen erweiterte Brüche vor, die du dann kürzen kannst, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividierst.

    Lösung

    Hier suchen wir nicht die Mitte zwischen zwei Brüchen, sondern die Brüche, zwischen denen diese Mitte liegt.

    In unserer Aufgabe heißt diese Mitte $\frac{1}{2}$. Gegeben sind $8$ Brüche, die zu $4$ Paaren vereinigt werden sollen.

    Zuerst bemerkst du bestimmt, dass einige Brüche nicht gekürzt sind. Das sollten wir zunächst nachholen, um uns später unnötige Rechenarbeit zu ersparen:

    • $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
    • $\frac{30}{90} = \frac{1}{3}$
    • $\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$
    Nun haben wir uns viel Rechenarbeit erspart und können mit der eigentlichen Aufgabe loslegen.

    Da $\frac{1}{2}$ in der Mitte der Brüche liegt, ist es auch nicht entscheidend, von welchen Brüchen wir ausgehen. Fangen wir einfach mit $\frac{3}{4}$ an.

    Schauen wir uns dazu an, wie $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ zueinander stehen. Wir erweitern $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ und sehen, dass $\frac{3}{4}$ um $\frac{1}{4}$ größer ist als $\frac{2}{4}$. Gehen wir nun von $\frac{1}{2}$ die gleiche Strecke in die andere Richtung. Wir erhalten $\frac{1}{4}$.

    In ähnlicher Weise findest du auch die anderen Paare.

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