Geometrie (4) Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck

Geometrie (4) Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck Übung

• Nenne die Eigenschaften eines Rechtecks.

  Tipps

  • Spitze Winkel sind solche, die zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ liegen.
  • Sei $\alpha$ ein rechter Winkel, dann ist $\alpha=90^\circ$.
  • Stumpfe Winkel sind größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.

  Da alle vier Innenwinkel gleich groß sind, beträgt die Winkelsumme $4\alpha$.

  Lösung

  Hier siehst du ein Rechteck. Ein Rechteck ist ein Viereck mit besonderen Eigenschaften:

  • Die einander gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel zueinander.
  • Alle vier Winkel sind rechte Winkel. Daher kommt auch der Name.

  Das bedeutet, dass $\alpha=\beta=\gamma=\delta=90^\circ$ ist.

  Schließlich kannst du daraus herleiten, dass die Summe der vier Innenwinkel $360^\circ$ beträgt:

  $\alpha+\beta+\gamma+\delta=90^\circ+90^\circ+90^\circ+90^\circ=4\cdot 90^\circ=360^\circ$.

  Übrigens gilt dies für jedes beliebige Viereck. Die Summe der vier Innenwinkel beträgt $360^\circ$.

• Bestimme die Summe der Innenwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck.

  Tipps

  Schaue dir die beiden Dreiecke genau an. Es gilt:

  • $\overline{AB}=\overline{CD}$
  • $\overline{BC}=\overline{AD}$
  • $\overline{BD}=\overline{BD}$

  Kongruente Dreiecke sind deckungsgleiche Dreiecke.

  Übrigens:

  • $\delta'$ und $\beta''$ sowie
  • $\delta''$ und $\beta'$ sind Stufenwinkel.

  Stufenwinkel sind gleich groß.

  Lösung

  Hier siehst du die beiden Dreiecke $\Delta_{ABD}$ und $\Delta_{CDB}$. Diese stimmen in den Längen ihrer drei Seiten überein.

  Außerdem stimmen die einander entsprechenden Winkel ebenfalls überein: $\alpha=\gamma$, $\delta'=\beta''$ sowie $\delta''=\beta'$.

  Somit handelt es sich um kongruente bzw. deckungsgleiche Dreiecke.

  Für die Summe der Innenwinkel beider Dreiecke gilt:

  $\alpha+\beta'+\delta'=\gamma+\beta''+\delta''$.

  Da zusätzlich die Summe aller vier Innenwinkel des Rechtecks $ABCD$ $360^\circ$ beträgt, folgt damit

  $\alpha+\beta'+\delta'=\gamma+\beta''+\delta''=180^\circ$.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Beachte, dass die Summe der drei Innenwinkel $180^\circ$ beträgt.

  Ein Winkel, welcher größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$ ist, heißt spitzer Winkel.

  Schau dir ein Beispiel an: Es ist $\gamma=90^\circ$. Sei nun $\alpha=70^\circ$, dann erhältst du $70^\circ+\beta+90^\circ=180^\circ$.

  Subtrahiere $160^\circ$. Dies führt zu $\beta=180^\circ-160^\circ=20^\circ$.

  Lösung

  In diesem rechtwinkligen Dreieck ist $\gamma=90^\circ$.

  Du weißt bereits, dass die Summe der drei Innenwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck $180^\circ$ beträgt. Es gilt also $\alpha+\beta+90^\circ=180^\circ$.

  Subtrahierst du nun auf beiden Seiten der Gleichung $90^\circ$, erhältst du $\alpha+\beta=90^\circ$.

  Wenn wir annehmen, dass der Winkel $\alpha$ $60^\circ$ beträgt, so ergibt sich die Gleichung $60^\circ+\beta=90^\circ$ und schließlich $\beta=30^\circ$.

  Insbesondere kannst du feststellen, dass sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ Winkel sein müssen, die kleiner sind als $90^\circ$. Es sind also spitze Winkel.

  Zusammenfassend kannst du dir merken: Die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beträgt immer $90^\circ$.

• Berechne den jeweils fehlenden Winkel.

  Tipps

  Beachte, dass die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ ergibt.

  Da einer der drei Winkel $90^\circ$ beträgt, sind die beiden anderen Winkel spitze Winkel:

  Die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beträgt immer $90^\circ$.

  Schau dir ein Beispiel an: Sei $\gamma=28^\circ$, dann ist

  • $\beta+28^\circ=90^\circ$.
  • Subtrahiere $28^\circ$ auf beiden Seiten der Gleichung.
  • Somit ist $\beta=90^\circ-28^\circ=62^\circ$.

  Lösung

  Merke dir: Die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beträgt immer $90^\circ$.

  In diesem Dreieck bedeutet dies: $\beta+\gamma=90^\circ$.

  Kennst du also einen der beiden spitzen Winkel, musst du diesen von $90^\circ$ abziehen, um den anderen spitzen Winkel zu berechnen:

  • $\beta=15^\circ$, dann ist $\gamma=90^\circ-15^\circ=75^\circ$.
  • $\beta=33^\circ$, dann ist $\gamma=90^\circ-33^\circ=57^\circ$.
  • $\beta=48^\circ$, dann ist $\gamma=90^\circ-48^\circ=42^\circ$.
  • $\beta=63^\circ$, dann ist $\gamma=90^\circ-63^\circ=27^\circ$.

• Gib an, was ein rechtwinkliges Dreieck ist.

  Tipps

  Ein rechter Winkel ist ein Winkel, welcher den Wert $90^\circ$ hat.

  In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel $180^\circ$.

  Teilst du ein Rechteck entlang einer Diagonalen, so erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke.

  Lösung

  Hier siehst du ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses ist zunächst einmal ein Dreieck, hat also drei Ecken, drei Innenwinkel und drei Seiten.

  Was ist das besondere an einem rechtwinkligen Dreieck? In diesem ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel, also $90^\circ$. Ein solcher Winkel wird üblicherweise mit einem Viertelkreis mit einem Punkt darin dargestellt.

  Übrigens: Da die Summe der Innenwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck $180^\circ$ beträgt, kann kein weiterer Winkel ein rechter Winkel sein.

• Leite die Eigenschaften gleichschenkliger und gleichseitiger Dreiecke her.

  Tipps

  In einem gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang.

  Ein gleichschenkliges Dreieck kann auch rechtwinklig sein. Dann haben die Basiswinkel den Wert $45^\circ$.

  Lösung

  Die Diagonale $\overline{BD}$ teilt die Raute in zwei kongruente, gleichschenklige Dreiecke.

  Daraus kannst du sofort herleiten, dass die Summe der Innenwinkel in jedem der beiden rechtwinkligen Dreiecke $180^\circ$ betragen muss:

  $\alpha+\beta''+\delta''=\gamma+\beta'+\delta'=180^\circ$.

  Übrigens gilt das in jedem beliebigen Dreieck.

  Kommen wir nun zu den Besonderheiten gleichschenkliger und schließlich gleichseitiger Dreiecke:

  Gleichschenklige Dreiecke:

  • Die beiden Winkel $\beta'$ und $\delta'$ in dem Dreieck $\Delta_{BCD}$ sind gleich groß. Dies kannst du erkennen, wenn du die Höhe $h_C$ einzeichnest. Dadurch erhältst du nämlich zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke.
  • Diese Winkel werden als Basiswinkel bezeichnet.
  • Die beiden gleich langen Seiten werden als Schenkel bezeichnet.

  Gleichseitige Dreiecke:

  In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Insbesondere sind gleichseitige Dreiecke auch gleichschenklig. Das bedeutet, dass die Basiswinkel gleich groß sind. Die Basiswinkel liegen den Schenkeln gegenüber. Somit gilt also, dass in einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich groß sind.

  Da die Summe der Innenwinkel $180^\circ$ beträgt, folgt nun:

  $\alpha+\beta+\gamma=\alpha+\alpha+\alpha=3\alpha=180^\circ$.

  Zuletzt dividierst du beide Seiten der Gleichung durch $3$ und erhältst $\alpha=60^\circ$.

  In einem gleichseitigen Dreieck beträgt jeder Winkel $60^\circ$.