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Geometrie (4) Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck

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André Otto
Geometrie (4) Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Geometrie (4) Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck

Heute geht es im 4. Teil der Reihe „ Geometrie “ um die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck. Bevor wir uns mit dem Dreieck beschäftigen, müssen wir uns noch einmal den Rechtecken zuordnen. Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln. Man kann auch sagen, dass jeder Innenwinkel 90 ° hat. Die Innenwinkelsumme im Rechteck beträgt 360 °. Im Anschluss wird dir gezeigt, wie man mithilfe dieser Kenntnis zeigen kann, dass die Innenwinkelsumme eines rechtwinkligen Dreieck 180 ° beträgt. Hierfür benötigst du Grundkenntnisse über die Kongruenz von Dreiecken. Viel Spaß!

Transkript Geometrie (4) Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zum Video "Geometrie, Teil 4". Heute geht es um die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck. Bevor wir uns aber mit dem Dreieck beschäftigen, müssen wir uns seinen größeren Bruder, das Rechteck, etwas näher anschauen. Rechtecke gibt es eine ganze Menge. Es gibt rote, es gibt hellrote, es gibt grüne, es gibt gelbe, es gibt blaue, es gibt große, es gibt kleine, alle möglichen Arten von Rechtecken. Was haben alle Rechtecke gemeinsam? Sie heißen Rechteck, weil sie über 4 rechte Innenwinkel verfügen. Man kann die rechten Winkel durch einen Viertelkreis mit einem Punkt darin symbolisieren oder den Viertelkreis andeuten und 90° hineinschreiben. Also notieren wir: Ein Rechteck ist ein Viereck mit 4 rechten Innenwinkeln. Man kann auch sagen, jeder Innenwinkel eines Rechtecks beträgt 90°. Der 1. Satz soll unsere Definition 3 sein. Nehmen wir uns also ein Rechteck und zeichnen 4 Winkel hinein: α, β, γ und δ. Laut Definition 3 ist α=90°, β=90°, γ=90° und δ=90°. Wir schreiben: α+β+γ+δ=, und wir setzen die Zahlenwerte ein: 90°+90°+90°+90°=360°. Wir haben also gezeigt: Die Summe der Innenwinkel im Rechteck beträgt 360°. Um jetzt weiterarbeiten zu können, notieren wir die Eckpunkte des rechtwinkligen Dreiecks mit Großbuchstaben: A, B, C und D. Wir nehmen nun genau dieses Rechteck, notieren die Winkel  α und γ und zeichnen die Diagonale von den Punkten B nach D ein. Wir erhalten dann 2 Teilwinkel: δ' und δ'' sowie β' und β''. Wir haben nun das Rechteck ABCD in 2 Dreiecke zerteilt, die zusammengesetzt genau dieses Rechteck ergeben. Die beiden Dreiecke ABD und CDB haben eine besondere Eigenschaft, sie sind nämlich deckungsgleich oder auch kongruent genannt. Man kann sehen, dass beide Dreiecke deckungsgleich sind, indem man das Viereck aus dem sie bestehen, entlang der Diagonalen zerschneidet. Wir legen das eine Dreieck auf das andere und können das darunterliegende Dreieck nicht mehr erkennen. Also sind beide Dreiecke kongruent oder deckungsgleich. Dreieck ABD und CDB sind deckungsgleich, weil sie 3 gleichlange Seiten besitzen. Die 3 gleichen Seiten sind: AB und CD, BC und AD und schließlich BD und BD. Man kann nun sehen: Die Summe der Innenwinkel beider Dreiecke ist gleich der Summe der Innenwinkel des Rechtecks, nämlich 360°. Die Winkelsumme des 1. Dreiecks beträgt α+β'+δ', die des 2. Dreiecks: γ+β''+δ''. Beide Winkelsummen müssen gleich sein, denn die Dreiecke sind kongruent. Jede der Innenwinkelsummen muss 180° betragen, denn zusammen ergeben sie die Summe der Innenwinkel des Rechtecks. Wir können somit notieren: Die Summe der Innenwinkel im rechtwinkligen Dreieck beträgt 180°. Danke schön für eure Mitarbeit. Alles Gute, tschüss!

29 Kommentare

29 Kommentare
  1. Ja ist ok

    Von Yassin B., vor fast 2 Jahren
  2. Gute Übung zum Lernen

    Von Waible Annette, vor fast 3 Jahren
  3. ICH MAG AUCH BACKFISCH

    Von Luke H., vor mehr als 3 Jahren
  4. Ich verstehe matte einfach nicht....

    Von Lilly133, vor mehr als 3 Jahren
  5. gutes Video

    Von A Volberg, vor fast 4 Jahren
Mehr Kommentare

Geometrie (4) Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geometrie (4) Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Eigenschaften eines Rechtecks.

    Tipps
    • Spitze Winkel sind solche, die zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ liegen.
    • Sei $\alpha$ ein rechter Winkel, dann ist $\alpha=90^\circ$.
    • Stumpfe Winkel sind größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.

    Da alle vier Innenwinkel gleich groß sind, beträgt die Winkelsumme $4\alpha$.

    Lösung

    Hier siehst du ein Rechteck. Ein Rechteck ist ein Viereck mit besonderen Eigenschaften:

    • Die einander gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel zueinander.
    • Alle vier Winkel sind rechte Winkel. Daher kommt auch der Name.
    Das bedeutet, dass $\alpha=\beta=\gamma=\delta=90^\circ$ ist.

    Schließlich kannst du daraus herleiten, dass die Summe der vier Innenwinkel $360^\circ$ beträgt:

    $\alpha+\beta+\gamma+\delta=90^\circ+90^\circ+90^\circ+90^\circ=4\cdot 90^\circ=360^\circ$.

    Übrigens gilt dies für jedes beliebige Viereck. Die Summe der vier Innenwinkel beträgt $360^\circ$.

  • Bestimme die Summe der Innenwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Tipps

    Schaue dir die beiden Dreiecke genau an. Es gilt:

    • $\overline{AB}=\overline{CD}$
    • $\overline{BC}=\overline{AD}$
    • $\overline{BD}=\overline{BD}$

    Kongruente Dreiecke sind deckungsgleiche Dreiecke.

    Übrigens:

    • $\delta'$ und $\beta''$ sowie
    • $\delta''$ und $\beta'$ sind Stufenwinkel.

    Stufenwinkel sind gleich groß.

    Lösung

    Hier siehst du die beiden Dreiecke $\Delta_{ABD}$ und $\Delta_{CDB}$. Diese stimmen in den Längen ihrer drei Seiten überein.

    Außerdem stimmen die einander entsprechenden Winkel ebenfalls überein: $\alpha=\gamma$, $\delta'=\beta''$ sowie $\delta''=\beta'$.

    Somit handelt es sich um kongruente bzw. deckungsgleiche Dreiecke.

    Für die Summe der Innenwinkel beider Dreiecke gilt:

    $\alpha+\beta'+\delta'=\gamma+\beta''+\delta''$.

    Da zusätzlich die Summe aller vier Innenwinkel des Rechtecks $ABCD$ $360^\circ$ beträgt, folgt damit

    $\alpha+\beta'+\delta'=\gamma+\beta''+\delta''=180^\circ$.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Beachte, dass die Summe der drei Innenwinkel $180^\circ$ beträgt.

    Ein Winkel, welcher größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$ ist, heißt spitzer Winkel.

    Schau dir ein Beispiel an: Es ist $\gamma=90^\circ$. Sei nun $\alpha=70^\circ$, dann erhältst du $70^\circ+\beta+90^\circ=180^\circ$.

    Subtrahiere $160^\circ$. Dies führt zu $\beta=180^\circ-160^\circ=20^\circ$.

    Lösung

    In diesem rechtwinkligen Dreieck ist $\gamma=90^\circ$.

    Du weißt bereits, dass die Summe der drei Innenwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck $180^\circ$ beträgt. Es gilt also $\alpha+\beta+90^\circ=180^\circ$.

    Subtrahierst du nun auf beiden Seiten der Gleichung $90^\circ$, erhältst du $\alpha+\beta=90^\circ$.

    Wenn wir annehmen, dass der Winkel $\alpha$ $60^\circ$ beträgt, so ergibt sich die Gleichung $60^\circ+\beta=90^\circ$ und schließlich $\beta=30^\circ$.

    Insbesondere kannst du feststellen, dass sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ Winkel sein müssen, die kleiner sind als $90^\circ$. Es sind also spitze Winkel.

    Zusammenfassend kannst du dir merken: Die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beträgt immer $90^\circ$.

  • Berechne den jeweils fehlenden Winkel.

    Tipps

    Beachte, dass die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ ergibt.

    Da einer der drei Winkel $90^\circ$ beträgt, sind die beiden anderen Winkel spitze Winkel:

    Die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beträgt immer $90^\circ$.

    Schau dir ein Beispiel an: Sei $\gamma=28^\circ$, dann ist

    • $\beta+28^\circ=90^\circ$.
    • Subtrahiere $28^\circ$ auf beiden Seiten der Gleichung.
    • Somit ist $\beta=90^\circ-28^\circ=62^\circ$.
    Lösung

    Merke dir: Die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beträgt immer $90^\circ$.

    In diesem Dreieck bedeutet dies: $\beta+\gamma=90^\circ$.

    Kennst du also einen der beiden spitzen Winkel, musst du diesen von $90^\circ$ abziehen, um den anderen spitzen Winkel zu berechnen:

    • $\beta=15^\circ$, dann ist $\gamma=90^\circ-15^\circ=75^\circ$.
    • $\beta=33^\circ$, dann ist $\gamma=90^\circ-33^\circ=57^\circ$.
    • $\beta=48^\circ$, dann ist $\gamma=90^\circ-48^\circ=42^\circ$.
    • $\beta=63^\circ$, dann ist $\gamma=90^\circ-63^\circ=27^\circ$.
  • Gib an, was ein rechtwinkliges Dreieck ist.

    Tipps

    Ein rechter Winkel ist ein Winkel, welcher den Wert $90^\circ$ hat.

    In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel $180^\circ$.

    Teilst du ein Rechteck entlang einer Diagonalen, so erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke.

    Lösung

    Hier siehst du ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses ist zunächst einmal ein Dreieck, hat also drei Ecken, drei Innenwinkel und drei Seiten.

    Was ist das besondere an einem rechtwinkligen Dreieck? In diesem ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel, also $90^\circ$. Ein solcher Winkel wird üblicherweise mit einem Viertelkreis mit einem Punkt darin dargestellt.

    Übrigens: Da die Summe der Innenwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck $180^\circ$ beträgt, kann kein weiterer Winkel ein rechter Winkel sein.

  • Leite die Eigenschaften gleichschenkliger und gleichseitiger Dreiecke her.

    Tipps

    In einem gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang.

    Ein gleichschenkliges Dreieck kann auch rechtwinklig sein. Dann haben die Basiswinkel den Wert $45^\circ$.

    Lösung

    Die Diagonale $\overline{BD}$ teilt die Raute in zwei kongruente, gleichschenklige Dreiecke.

    Daraus kannst du sofort herleiten, dass die Summe der Innenwinkel in jedem der beiden rechtwinkligen Dreiecke $180^\circ$ betragen muss:

    $\alpha+\beta''+\delta''=\gamma+\beta'+\delta'=180^\circ$.

    Übrigens gilt das in jedem beliebigen Dreieck.

    Kommen wir nun zu den Besonderheiten gleichschenkliger und schließlich gleichseitiger Dreiecke:

    Gleichschenklige Dreiecke:

    • Die beiden Winkel $\beta'$ und $\delta'$ in dem Dreieck $\Delta_{BCD}$ sind gleich groß. Dies kannst du erkennen, wenn du die Höhe $h_C$ einzeichnest. Dadurch erhältst du nämlich zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke.
    • Diese Winkel werden als Basiswinkel bezeichnet.
    • Die beiden gleich langen Seiten werden als Schenkel bezeichnet.
    Gleichseitige Dreiecke:

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Insbesondere sind gleichseitige Dreiecke auch gleichschenklig. Das bedeutet, dass die Basiswinkel gleich groß sind. Die Basiswinkel liegen den Schenkeln gegenüber. Somit gilt also, dass in einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich groß sind.

    Da die Summe der Innenwinkel $180^\circ$ beträgt, folgt nun:

    $\alpha+\beta+\gamma=\alpha+\alpha+\alpha=3\alpha=180^\circ$.

    Zuletzt dividierst du beide Seiten der Gleichung durch $3$ und erhältst $\alpha=60^\circ$.

    In einem gleichseitigen Dreieck beträgt jeder Winkel $60^\circ$.

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