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Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen – Übung

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Die Autor*innen
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Wolfgang Tews
Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen – Übung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen – Übung

In diesem Video kannst du die Dreisatzrechnung bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen üben. Anhand von vier Übungsaufgaben kannst du üben bei proportionalen und antiproportionalen unbekannte Größen zu berechnen. Der Schreibaufwand wird für dich weniger, wenn du die Rechnung in Tabellenform durchführst. Zwei weitere Übungsaufgaben, mit denen du dich testen kannst, findest du rechts neben dem Videofenster. Viel Spaß!

12 Kommentare

12 Kommentare
  1. Ging ganz gut

    Von Ami, vor etwa 12 Stunden
  2. War gut

    Von Itslearning Nutzer 2535 407547, vor einem Tag
  3. War wirklich gut danke

    Von Itslearning Nutzer 2535 898990, vor etwa 2 Jahren
  4. war gut

    Von Jkrambeck84, vor etwa 2 Jahren
  5. wra super danke

    Von Tkfranke, vor etwa 2 Jahren
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Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe allgemein, wie du Sachaufgaben mit dem Dreisatz löst.

    Tipps

    Um die Aufgabe lösen zu können, musst du wissen, um was für eine Art der Zuordnung es sich handelt.

    Bevor du die Tabelle anlegst und die 3 Sätze anwendest, solltest du die Wertepaare notieren.

    Was wird am Ende einer jeden Sachaufgabe mit einer Frage geschrieben?

    Lösung

    Mit diesen 5 Schritten können Sachaufgaben zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnung gelöst werden.

    Wenn bekannt ist, dass es sich entweder um eine Antiproportionalität oder eine Proportionalität handelt und keine andere Möglichkeit in Frage kommt, kann die Art der Zuordnung so bestimmt werden: Es wird bestimmt, ob bei der Zuordnung Je mehr, desto MEHR oder Je mehr, desto WENIGER gilt. Im ersten Fall liegt eine Proportionalität und im zweiten eine Antiproportionalität vor. Dann stellt man entsprechende Wertepaare auf. Ein Wertepaar ist gegeben und bei dem anderen Wertepaar ist die gesucht Größe enthalten. Anschließend legt man eine Tabelle an und bringt die Angaben in eine übersichtliche Form. Nun wendet man den Dreisatz an und löst die Aufgabe in 3 Sätzen. Am Ende einer jeden Sachaufgabe folgt ein Antwortsatz.

    In den folgenden zwei Beispielen wird geklärt, ob eine antiproportionale oder proportionale Zuordnung vorliegt.

    • Ein Auto fährt eine Strecke mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $100~km/h$ und braucht dafür eine Stunde. Wie lange dauert die Fahrt, wenn das Auto $150~km/h$ fährt? Es gilt: Je HÖHER die Geschwindigkeit des Autos, desto WENIGER Minuten oder Stunden dauert die Fahrt. Es liegt also eine Antiproportionalität vor.
    • Ein Kassierer verdient $12~€$ pro Stunde. Wie viel verdient er in 5 Stunden? Hier gilt: Je MEHR Zeit er arbeitet, desto MEHR Geld verdient er. Es handelt sich hier also um eine Proportionalität
  • Bestimme, wie viele Gläser Erdbeermarmelade gebraucht werden.

    Tipps

    Es gilt: Je mehr Inhalt in ein Glas passt, desto weniger Gläser werden benötigt.

    Lege die Tabelle so an, dass die gesuchte Größe rechts steht. Ist ein Inhalt oder eine Anzahl Gläser gesucht?

    Bei einer Antiproportionalität wird rechts jeweils die Umkehroperation zur linken Seite angewendet.

    Lösung

    Es gilt: Je mehr Inhalt in ein Glas passt, desto weniger Gläser werden benötigt. Betrachtet wird die Zuordnung Glasinhalt $\rightarrow$ Anzahl Gläser. Die Menge an Marmelade berechnet sich so: $\text{Glasinhalt} \cdot \text{Anzahl Gläser} = \text{Gesamtmenge}$. Die Gesamtmenge an Marmelade ist konstant, egal, welche und wie viele Gläser verwendet werden. Somit gilt für die Zuordnung Produktgleichheit. Es liegt also eine Antiproportionalität vor. Die Überlegung, dass Produktgleichheit vorliegt, ist ein hinreichendes Kriterium. Das Kriterium Je mehr - desto weniger ist notwendig für eine Antiproportionalität. Es gibt jedoch auch Je mehr - desto weniger-Zuordnungen, die keine Antiproportionalitäten sind.

    Die Wertepaare zu der Zuordnung lauten $(240~|~500)$ und $(400~|~x)$. Die Erstellung der Tabelle erfolgt dann wie in der Aufgabe. Da es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, wird auf der rechten Seite einer Zeile die Umkehroperation zur linken Zeile angewendet. Es wurde gerechnet. $500 \cdot 240 : 400 =300$. Also erhalten wir ganz unten rechts 300 Marmeladengläser. Zum Schluss ist wie bei jeder Sachaufgabe ein Antwortsatz zu formulieren:

    Die Anzahl der Gläser beträgt 300.

  • Zeige, welche Fehler Henning in seinem Vortrag gemacht hat.

    Tipps

    Das gegebene Wertepaar findest du in der ersten Zeile der Tabelle wieder.

    Bei einer Proportionalität wird auf beiden Seiten die gleiche Operation angewendet. Was wird hingegen bei einer Antiproportionalität gemacht?

    Schau in die 2. und 3. Zeile der Tabelle. Links wurde gerechnet $10 ...=1$ und entsprechend rechts $25 ...=250 $.

    Lösung

    Bei folgenden Sätzen hat Henning Fehler gemacht:

    • Gegeben war das Wertepaar $(1~|~250)$.
    Dieses Wertepaar gehört zum Schluss auf die Einheit. Das gegebene Wertepaar findet sich in der ersten Zeile der Tabelle wieder. Es müsste eigentlich so lauten: $(10~|~25)$.

    • Auf beiden Seiten muss die gleiche Operation angewendet werden.
    Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung. Deswegen wird auf der rechten Seite der Tabelle stets die Umkehroperation zur linken Seite angewendet.

    • Die 25 in der ersten Zeile muss durch 10 dividiert werden.
    Links wurde durch 10 dividiert. Weil es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, muss rechts mit 10 multipliziert werden.

    • Auf der rechten Seite wird 250 durch 10 dividiert, da eine Antiproportionalität vorliegt.
    Links wurde im Schluss auf die gesuchte Größe mit 12,5 multipliziert. Die Umkehroperation dazu ist die Division durch 12,5.

  • Berechne, wie viele Pizzen Hannas Vater vorbereiten muss.

    Tipps

    Es ist eine bestimmte Anzahl von Burgern gesucht. Trage diese Größe und die entsprechenden Zahlen auf der rechten Seite ein.

    Hanna und ihre 2 Schwestern essen zusammen 6 Burger. Wie viele Personen sind das insgesamt? Wie lautet das erste Wertepaar?

    Je mehr Personen Hunger haben, desto mehr Burger werden gebraucht.

    Lösung

    Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung, denn: Je mehr Gäste kommen, desto mehr Burger muss Hannas Vater vorbereiten.

    Hanna und ihre 2 Geschwister, also 3 Personen, essen 6 Burger. Gesucht ist die Anzahl der Burger für 12 Personen. Die Wertepaare lauten also $(3~|~6)$ und $(12~|~x)$.

    In die Tabelle werden oben die Größen Personen links und Burger rechts eingetragen. Dann wird notiert, was gegeben ist. Das ist das Wertepaar $(3~|~6)$. Für den Schluss auf die Einheit wird auf beiden Seiten durch 3 dividiert. Eine einzelne Person isst also 2 Burger. Um bei dem Schluss auf die Einheit die Anzahl der Burger für 12 Personen zu erhalten, wird auf beiden Seiten mit 12 multipliziert.

    Antwort: Für 12 Personen muss Hannas Vater 24 Burger zubereiten.

  • Bestimme, wie viel $1,6~kg$ Bananen kosten.

    Tipps

    Du kannst die Tabelle nur richtig ausfüllen, wenn du weißt, welche Art der Zuordnung vorliegt.

    Um die Tabelle leichter füllen zu können, solltest du die Wertepaare notieren.

    Was wird am Ende einer jeden Sachaufgabe mit einer Frage geschrieben?

    Lösung

    Bevor die Tabelle beschriftet und gefüllt werden kann, müssen zwei Schritte gemacht werden:

    • Prüfen, welche Zuordnung vorliegt. Nur so ist klar, welche Rechenoperationen in der Tabelle durchgeführt werden müssen.
    • Aufstellen der Wertepaare. So wird klar, welche Werte in der ersten Zeile und in der linken Spalte der letzten Zeile eingetragen werden müssen.
    Bei einer proportionalen Zuordnung wird auf beiden Seiten die gleiche Operation durchgeführt. Bei dem Schluss auf die Einheit werden beiden Seiten mit $2,5$ multipliziert. Beim Schluss auf die gesuchte Größe werden dann beide Seiten mit $1,6$ multipliziert. Wir rechnen also $1,12 \cdot 2,5 \cdot 1,6 = 4,48$. Am Ende erhalten wir den Antwortsatz:
    • $1,6~kg$ Bananen kosten $4,48~€$.

  • Ermittle die Entfernung von Berlin nach München und die Fahrtzeit.

    Tipps

    Bei der ersten Teilaufgabe betrachtest du die Zuordnung Fahrtzeit $\rightarrow$ Entfernung. Ist das eine Antiproportionalität oder eine Proportionalität?

    Wie viele Stunden fährt man insgesamt von Berlin nach München? Erstelle mit dieser Information die Wertepaare.

    Welche Art der Zuordnung liegt bei Durchschnittsgeschwindigkeit $\rightarrow$ Fahrzeit vor bzw. Strecke $\rightarrow$ Fahrzeit.

    Bei $80~kmh$ dauert die Fahrt $7,5~h$.

    Lösung

    Hier findest du die Lösungen zu den beiden Teilaufgaben:

    1. Es handelt sich bei der Zuordnung Fahrtzeit $\rightarrow$ Entfernung um eine proportionale Zuordnung, denn: Je mehr Zeit man braucht, desto größer die zurückgelegte Strecke.

    Nimmt man die Fahrtzeit von Berlin nach Leipzig und von Leipzig nach München zusammen, kommt man auf eine Gesamtzeit von $2,5~h + 5~h = 7,5~h$. Zusammen mit den Angaben aus der Aufgabenstellung ergeben sich die Wertepaare $(2,5~|~200)$ und $(7,5~|~x)$. Damit kannst du die Tabelle aufstellen und in 3 Sätzen ausfüllen. Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, wird auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation angewendet.

    $\begin{array}{c|c} \text{Fahrtzeit in h} & \text{Entfernung in km}\\ \hline 2,5 & 200\\ \hline 1 & 80\\ \hline 7,5 & 600\\ \end{array}$

    Wir rechnen also $200:2,5 \cdot 7,5=600$. Die Strecke von Berlin nach München beträgt also $600~km$.

    2. Es handelt sich bei der Zuordnung Durchschnittsgeschwindigkeit $\rightarrow$ Fahrzeit um eine antiproportionale Zuordnung, denn: Je höher die Geschwindigkeit, desto weniger Fahrtzeit wird benötigt.

    In der ersten Aufgabe wurde festgestellt: Bei $80~km/h$ dauert die Fahrt von Berlin nach München $7,5~h$. Zusammen mit den Angaben aus der Aufgabenstellung ergeben sich die Wertepaare $(80~|~7,5)$ und $(120~|~x)$

    Damit kann die Tabelle aufgestellt und in 3 Sätzen ausgefüllt werden. Da es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, wird auf der rechten Seiten jeweils die Umkehroperation angewendet.

    $\begin{array}{c|c} \text{Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h} & \text{Fahrtzeit in h}\\ \hline 80 & 7,5\\ \hline 1 & 600\\ \hline 120 & 5\\ \end{array}$

    Bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $120~km/h$ dauert die Fahrt von Berlin nach München $5~h$.

    Diese 2. Aufgabe kannst du auch mit dem Ergebnis aus der Aufgabe 1 und einer anderen Zuordnung lösen. Betrachte die Zuordnung Strecke $\rightarrow$ Fahrzeit. Diese Zuordnung ist proportional, denn je größer die Strecke, desto länger braucht man auch dafür. Wir wissen, dass $120~km$ in $1~h$ zurückgelegt werden. Wie lange dauert dann die Fahrt von $600~km$? Wir erhalten die beiden Wertepaare $(120~|~1)$ und $(600~|~x)$. Wir erstellen eine Tabelle:

    $\begin{array}{c|c} \text{Strecke in km} & \text{Fahrtzeit in h}\\ \hline 120 & 1\\ \hline 1 & \frac{1}{120}\\ \hline 600 & 5\\ \end{array}$

    Wir berechnen die Lösung in 3 Sätzen $1 :120 \cdot 600=5$. Wir erhalten das gleiche Ergebnis.

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