Das vollständige Koordinatensystem (2)

Das vollständige Koordinatensystem (2) Übung

• Ergänze die Erklärung zu Punkten im Koordinatensystem.

  Tipps

  Du siehst in dem Koordinatensystem eine $x$- sowie eine $y$-Achse.

  Schau dir dieses Beispiel mit dem Punkt $P(2|{-4})$ an.

  Schaue genau hin, wo du die $2$ beziehungsweise $-4$ auf den Koordinatenachsen sehen kannst.

  Lösung

  Die Lage von Punkten im Koordinatensystem kannst du eindeutig beschreiben. Wo genau ein solcher Punkt liegt, beschreibst du durch seine Koordinaten.

  Oft reicht es nicht aus, nur zu sagen, dass ein Punkt in einem bestimmten Quadraten liegt.

  Die Koordinaten eines Punktes sind sein $x$-Wert und sein $y$-Wert:

  $P(x|y)$.

  Merke dir die Reihenfolge, genau wie im Alphabet: Zuerst kommt $x$ und dann $y$.

  Hier siehst du ein Beispiel. Der Punkt $P(3|5)$ hat die $x$-Koordinate $3$ und die $y$-Koordinate $5$.

• Beschreibe, wie du einen Punkt ablesen oder in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst.

  Tipps

  Achte darauf, dass du bei Punkten immer zunächst die $x$- und dann die $y$-Koordinate schreibst.

  Senkrecht bedeutet in diesem Zusammenhang parallel zur $y$-Achse. Waagerecht bedeutet analog dazu parallel zur $x$-Achse.

  Lösung

  In dieser Aufgabe kannst du an jeweils einem Beispiel üben, wie du die Koordinaten eines Punktes bestimmen kannst und wie du bei gegebenen Koordinaten einen Punkt in ein Koordinatensystem zeichnen kannst.

  Ablesen eines Punktes

  Wir beginnen mit dem Punkt $P$ im oberen Koordinatensystem.

  • Du zeichnest eine senkrechte Hilfslinie durch diesen Punkt. Diese schneidet die $x$-Achse bei $x=3$. Dies ist die $x$-Koordinate des Punktes.
  • Nun zeichnest du eine waagerechte Hilfslinie durch den Punkt, welche die $y$-Achse bei $y=5$ schneidet. Dies ist die $y$-Koordinate des Punktes.

  So erhältst du den Punkt $P(3|5)$. Achte darauf, immer zunächst die $x$- und dann die $y$-Koordinate zu schreiben.

  Einzeichnen eines Punktes

  Dies kannst du hier am Beispiel des Punktes $P({-3}|5)$ sehen.

  • Zeichne durch $x=-3$ eine zur $y$-Achse parallele Hilfslinie.
  • Zeichne nun eine weitere Hilfslinie durch $y=5$. Diese Hilfslinie verläuft parallel zur $x$-Achse.
  • Diese beiden Hilfslinien schneiden sich in dem gesuchten Punkt.

• Ermittle die Lage der Punkte.

  Tipps

  Schau dir als Beispiel den Punkt $P(2|0)$ an. Dieser hat die $y$-Koordinate $0$.

  Wie zeichnest du einen solchen Punkt ein?

  • Du zeichnest eine Hilfslinie parallel zur $y$-Achse durch $x=2$.
  • Zeichne eine weitere Hilfslinie parallel zur $x$-Achse durch $y=0$.

  Die beiden Hilfslinien schneiden sich in dem Punkt $P$.

  Hier siehst du einige Punkte auf der $x$-Achse. Welche $y$-Koordinate hat jeder dieser Punkte?

  Übrigens: $O$ ist der Koordinatenursprung. Hier schneiden sich die beiden Koordinatenchsen. Der Koordinatenursprung hat die Koordinaten $(0|0)$.

  Merke dir:

  • Jeder Punkt, der auf der $y$-Achse liegt, hat die $x$-Koordinate $0$.
  • Jeder Punkt, der auf der $x$-Achse liegt, hat die $y$-Koordinate $0$.

  Lösung

  In diesem Koordinatensystem siehst du die drei Punkte $P$, $Q$ und $O$. Diese Punkte haben jeweils eine besondere Lage.

  Punkte auf der $x$-Achse

  Der Punkt $P$ liegt auf der $x$-Achse. Die $x$-Koordinate dieses Punktes ist $2$. Wie sieht es mit der $y$-Koordinate aus? Wenn du eine waagerechte Hilfslinie zur $y$-Achse ziehst, landest du genau zwischen den $y$-Achsen Markierungen $-1$ und $1$, also bei $0$.

  Das gilt für alle Punkte auf der $x$-Achse. Sie haben die $y$-Koordinate $0$. Anders gesagt: Jeder Punkt mit der $y$-Koordinate $0$ liegt auf der $x$-Achse.

  Punkte auf der $y$-Achse

  Der Punkt $Q$ liegt auf der $y$-Achse. Die $y$-Koordinate ist $-3$. Ebenso wie bei $P$ kannst du auch hier mit einer Hilfslinie die $x$-Koordinate $0$ erkennen.

  Alle Punkte auf der $y$-Achse haben die $x$-Koordinate $0$.

  Der Schnittpunkt der Koordinantenachsen

  Mit der besonderen Lage von Punkten auf einer der beiden Koordinatenachsen, kannst du folgern, dass der Schnittpunkt der beiden Koordinantenachsen die $x$- und auch die $y$-Koordinate $0$ haben muss. Dies ist der Punkt $O(0|0)$.

  Übrigens hat dieser Punkt einen speziellen Namen. Er wird als Koordinatenursprung oder manchmal auch kurz als Ursprung bezeichnet.

• Bestimme die Koordinaten der eingezeichneten Punkte.

  Tipps

  Schreibe immer zuerst die $x$- und dann die $y$-Koordinate.

  In dieser Abbildung siehst du ein anderes Koordinatensystem. Der Punkt $P$ hat hier die Koordinaten $(-3|{-5})$.

  Die gestrichelten Linien sind Hilfsgeraden.

  Lösung

  Wenn du Koordinaten von Punkten aus einem Koordinatensystem ablesen sollst, gehst du so vor:

  • Du zeichnest eine Hilfslinie parallel zur $y$-Achse durch den Punkt. Dort, wo diese auf die $x$-Achse trifft, kannst du die $x$-Koordinate ablesen.
  • Ganz genauso gehst du auch bei der $y$-Koordinate vor. Dieses Mal verläuft die Hilfslinie parallel zur $x$-Achse und du liest die Koordinate an der $y$-Achse ab.

  Achte unbedingt darauf, dass in jedem Punkt $(x|y)$ zuerst die $x$- und dann die $y$-Koordinate aufgeschrieben wird.

  Du erhältst somit die folgenden Koordinaten:

  • $P({-4}|2)$,
  • $Q(1|3)$,
  • $R(3|{-2})$ und
  • $S({-2}|{-2})$.

• Gib die Koordinaten des Punktes an.

  Tipps

  Du liest die Koordinaten in der Reihenfolge, wie auch die Buchstaben $x$ und $y$ im Alphabet vorkommen.

  Orientiere dich an den Gitterlinien. „Gehe“ die entsprechenden Werte entlang der Koordinatenachsen.

  Um den Punkt $Q$ vom Punkt $(0|0)$ zu erreichen musst du beispielsweise $3$ „Schritte“ nach links gehen.

  Lösung

  Egal, ob du nun Koordinaten von Punkten ablesen oder Punkte in ein Koordinatensystem eintragen sollst, merke dir:

  Beginne immer mit der $x$-Koordinate. Anschließend kommt die $y$-Koordinate.

  Eine Merkhilfe lautet: Die Reihenfolge ist genauso, wie die Buchstaben $x$ und $y$ auch im Alphabet vorkommen. Also sieht ein Punkt allgemein so aus:

  $P(x|y)$.

  Hier in dem Bild erkennst du bereits Hilfslinien, die dir dabei helfen, die Koordinaten von Punkten abzulesen. Am Beispiel des Punktes $Q$ kannst du das noch einmal ausführlich sehen.

  • Die Hilfslinie, die parallel zur $y$-Achse durch den Punkt $Q$ verläuft, schneidet die $x$-Achse bei $x=-3$.
  • Die Hilfslinie, die parallel zur $x$-Achse durch den Punkt $Q$ verläuft, schneidet die $y$-Achse bei $y=2$.

  Damit hast du die Koordinaten gefunden:

  $Q({-3}|2)$.

  Ebenso kannst du den Punkt $S(1|{-2})$ ermitteln.

• Leite die fehlenden Punkte so her, dass ein Rechteck entsteht und berechne dessen Flächeninhalt.

  Tipps

  Hier sind die beiden Punkte $P$ und $R$ bereits in ein Koordinatensystem eingezeichnet.

  Trage die beiden fehlenden Punkte in das gleiche Koordinatensystem so ein, dass ein Rechteck entsteht.

  Die beiden fehlenden Punkte stimmen jeweils in einer Koordinate mit jeweils einem gegebenen Punkt überein.

  Verwende für den Flächeninhalt eines Rechtecks die Formel $A=a\cdot b$.

  Lösung

  Trage zunächst die gegebenen beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein.

  Daran kannst du bereits erkennen, wie die beiden Punkte $Q$ und $S$ liegen müssen, damit die vier Punkte ein Rechteck bilden.

  Lies nun die Punkte $Q(1|3)$ sowie $S({-3}|{-2})$ ab.

  Wenn du die Punkte in ein Koordinatensystem gezeichnet hast, kannst du die jeweiligen Längen durch Zählen ermitteln. Rechnerisch ergeben sich diese wie folgt:

  • Subtrahiere die $y$-Koordinaten von $Q$ und $R$. Dies führt zu der einen Rechteckseite. Das ergibt $3-({-2})=5$ [LE].
  • Auf die gleiche Weise kannst du die andere Seite des Rechtecks bestimmen. Bilde die Differenz der $x$-Koordinaten von $S$ und $R$. Das ergibt $1-({-3})=4$ [LE].

  Zuletzt multiplizierst du die beiden Längen und erhältst $A=5\cdot 4=20$ [FE].

  Hier stehen die Abkürzungen „LE“ für Längeneinheiten und „FE“ für Flächeneinheiten.