Aufbau von Vierecken

Aufbau von Vierecken Übung

• Gib die Gemeinsamkeiten jedes Vierecks an.

  Tipps

  Das ist ein Dreieck.

  Das ist ein Kreis.

  Lösung

  Es gibt unterschiedliche Arten von Vierecken. Vielleicht kennst du sogar schon von einigen Arten gehört.

  Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm,...

  Diese Vierecke haben unterschiedliche Eigenschaften, aber auch Gemeinsamkeiten.

  Alle Vierecke sind eben, sie umschließen durch vier Strecken eine Fläche. Zusätzlich haben alle Vierecke genau vier Ecken.

  Wir können einen Merksatz festhalten:

  Ein Viereck ist eine ebene, von vier Strecken eingeschlossene Figur mit vier Ecken.

• Beschreibe, wie du ein Viereck bezeichnen kannst.

  Tipps

  Die Strecke zwischen Eckpunkt A und Eckpunkt B nennen wir a. Die restlichen Seiten beschriften wir dann im mathematisch positivem Drehsinn mit b,c und d.

  Der Winkel $\alpha$ liegt bei Punkt A. Die restlichen Winkel werden entgegen dem Uhrzeigersinn eingezeichnet.

  Die Diagonalen werden mit e und f bezeichnet.

  Lösung

  Ein Viereck hat vier Ecken. Die Eckpunkte werden mit den Großbuchstaben A,B,C und D beschriftet. Dabei ist es egal, an welchem Eckpunkt wir mit A beginnen. Haben wir uns für eine Stelle entschieden, beschriften wir die anderen Eckpunkte entgegen dem Uhrzeigersinn mit B,C und D.

  Ein Viereck hat vier Seiten. Die Seiten werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Die Strecke zwischen Eckpunkt A und Eckpunkt B nennen wir a. Die restlichen Seiten beschriften wir dann wieder entgegen den Uhrzeigersinn mit b,c und d.

  Ein Viereck hat vier Innenwinkel, die mit $\alpha,\beta,\gamma$ und $\delta$ beschriftet werden. Der Winkel $\alpha$ liegt bei Punkt A. Die restlichen Winkel werden wieder entgegen dem Uhrzeigersinn eingezeichnet.

  Wenn man die Eckpunkte A und C sowie B und D miteinander verbindet, erhalten wir zwei Diagonalen. Die Diagonale zwischen A und C nennen wir e, die andere f.

  Diese Eigenschaften haben alle Vierecke gemeinsam.

• Bestimme die Unterscheidungsmerkmale eines Vierecks.

  Tipps

  Vierecke unterscheiden sich in der Lage der vier Seiten zueinander und den Größen der Innenwinkel.

  Lösung

  Ein Viereck ist eine ebene, von vier Strecken eingeschlossene Figur mit vier Ecken. Nun wollen wir uns mit den Unterscheidungsmerkmalen beschäftigen.

  Es gibt zwei wichtige Merkmale, an denen du Vierecke unterscheiden kannst:

  1. paarweise parallele Seiten
  2. rechte Winkel

  Beim ersten Merkmal kann unterschieden werden, ob entweder ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel ist (Bsp. Trapez) oder beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind (Bsp. Raute).

  Bei dem zweiten Unterscheidungsmerkmal gibt es folgende Kriterien:

  • Genau ein Innenwinkel ist rechtwinklig.

  • Genau zwei Innenwinkel sind rechtwinklig.

  • Alle vier Innenwinkel sind rechtwinklig. Beachte: Wenn drei Innenwinkel rechtwinklig sind, ist auch der vierte rechtwinklig.

  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

  Zwei Vierecke können sich in einem oder mehreren Merkmalen unterscheiden.

• Entscheide, auf wie viele der angegebenen Vierecke die Aussagen zutreffen.

  Tipps

  Bei einer Raute sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Zudem stehen die Diagonalen senkrecht zueinander.

  Bei einem Drachen stehen die Diagonalen im rechten Winkel aufeinander. Die gegenüberliegenden Seiten sind nicht parallel zueinander.

  In einem Quadrat sind beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel und die Innenwinkel sind rechte Winkel. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

  Lösung

  Es gibt zwei Merkmale, nach denen sich Vierecke unterscheiden lassen.

  1. paarweise parallele Seiten

  2. rechte Winkel

  Beim ersten Unterscheidungsmerkmal ist entweder

  • genau ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel oder

  • beide Paare gegenüberliegender Seiten sind parallel.

  Beim zweiten Merkmal gibt es insgesamt vier Unterschiede:

  • Genau ein Innenwinkel ist ein rechter Winkel,

  • genau zwei Innenwinkel sind rechte Winkel,

  • alle vier Innenwinkel sind rechte Winkel oder

  • Diagonalen stehen senkrecht zueinander.

  Bei einer Raute sind beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel. Zudem sind die Diagonalen zueinander rechtwinklig.

  Bei einem Drachen stehen nur die Diagonalen im rechten Winkel. Alle anderen Unterscheidungsmerkmale treffen auf diese Figur nicht zu.

  In einem Quadrat sind beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel und die Innenwinkel sind alle rechte Winkel. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

  Zusammenfassend:

  Das Unterscheidungsmerkmal, dass bloß ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel ist, tritt bei unseren drei Vierecken nicht auf.

  Bei zwei unserer drei Vierecke sind beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel (Raute und Quadrat).

  Bei keinem der Vierecke gibt es nur ein oder genau zwei rechte Winkel.

  Bei genau einem Viereck, dem Quadrat, sind alle Innenwinkel rechtwinklig.

  Und bei allen drei Vierecken stehen die Diagonalen im rechten Winkel zueinander.

• Bestimme Vierecke aus dem Alltag.

  Tipps

  Ein Viereck ist eine ebene, von vier Strecken eingeschlossene Figur mit vier Ecken.

  Lösung

  Vierecke kommen nicht nur im Mathematikunterricht vor. Sie gibt es auch im Alltag.

  • Fenster besitzen in der Regel viereckige Glasscheiben.

  • Spielfelder vieler Ballsportarten sind viereckig. So ist das Basketballfeld in unserem Beispiel ebenfalls ein Viereck.

  • Auch (Spiel)-Karten sind viereckig.

  • Bestimmt hast du auch schon einmal viereckige Holzbretter gesehen.

  Folgende Gegenstände sind keine Vierecke bzw. weisen keine Vierecke auf der Oberfläche auf:

  • Im Matheunterricht benutzt du häufig ein Geodreieck. Wie der Name schon sagt, handelt es sich bei dieser Figur nicht um ein Viereck, sondern um ein Dreieck. Die Figur hat drei Ecken und drei Seiten.

  • Auf einem Fußball erkennst du auch viele kleine Vielecke. Diese Figuren haben fünf Ecken. Sie heißen Fünfecke.

• Bestimme die Merkmale, die alle Trapeze gemeinsam haben.

  Tipps

  Das ist das Bild eines allgemeinen Trapez, welches nicht symmetrisch ist.

  Es trifft nur genau eine Eigenschaft auf alle Trapeze zu.

  Lösung

  In der Definition eines Trapez steckt die Lösung der Aufgabe schon drin.

  Definition: Wenn es zwei gegenüberliegende Seiten in einem Viereck gibt, die zueinander parallel sind, so nennen wir die Figur Trapez.

  In einem allgemeinen Trapez ist genau ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel.

  Die restlichen Merkmale treffen auf ein allgemeines Trapez nicht zu.