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Abschlussprüfung Klasse 10 – Länge der Normalparabel schätzen 08:42 min

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Transkript Abschlussprüfung Klasse 10 – Länge der Normalparabel schätzen

Hallo. Wir haben hier eine Parabel, eine fast Parabel, sage ich mal, also wenn man die Kette hier so hoch hält, dann hängt die fast wie eine Parabel, es ist nicht ganz exakt. Wir haben schon abgeschätzt, wie lang diese Kette ist. Also sie ist tatsächlich ungefähr 1,15m lang, hier sind die beiden Schätzwerte und die haben wir erreicht, indem wir einmal hier diese Linie gezogen haben und die beiden Linien addiert haben als Abschätzung nach unten. Und wir haben ein Rechteck hier quasi umbeschrieben, ich kann das eben noch vervollständigen, so. Und haben das hier als Abschätzung nach oben verwendet. Daran anschließen kann sich jetzt also folgende Aufgabe: Gegeben sei die Parabel mit der Funktionsgleichung y = x² - 1. Schätze die Länge der Parabel unterhalb der x-Achse. Verwende zur Abschätzung nach oben, also zur Abschätzung der Länge dieses Kurvenstücks nach oben, eine genauere Konstruktion, als die des umbeschriebenen Rechtecks. Ja, das sind natürlich Formulierungen, die ich jetzt hier zeige, die schon so ein bisschen verquast sind, sage ich mal. Das kann manchmal vorkommen, manchmal ist es aber auch so, dass die Formulierungen eigentlich korrekt sind und Schüler das als komisch empfinden. Ich zeige hier wirklich auch Formulierungen, die, ja, die vielleicht als Negativbeispiele dienen können, allein deshalb, um Dich abzuhärten, damit Du nicht-, also es ist besser, wenn Du hier, in den Filmen die blöden Formulierungen siehst und hörst und damit zurecht kommst und siehst, wie man da raus kommt aus diesen Formulierungen, was man da lösen kann, als wenn Du das in Deiner Abschlussprüfung zum ersten Mal liest und vielleicht auch hörst. Also wir sollen den Teil der Parabel, der unterhalb der x-Achse verläuft, also dessen Länge sollen wir abschätzen, und zwar dann hier mit einer genaueren Konstruktion als der hier. Nämlich hier haben wir einfach ein Rechteck umbeschrieben und das ist also damit gemeint, mit dieser Formulierung. Was machen wir da? Wir gucken uns das einmal an, vielleicht mit einer kleinen Zeichnung, wie das hier aussehen könnte. Wir haben die Parabel x², also mit der Funktionsgleichung y = x² - 1. Dann wissen wir, der Scheitelpunkt ist hier bei -1. Und dann brauchen wir auch noch die Nullstellen, denn das wird ja hier irgendwie durch die x-Achse gehen. Das ist bei -1 und 1 der Fall. Ich denke, das siehst Du so, wenn Du das hier gleich 0 setzt. Ja. Und vielleicht weißt Du es auch einfach so, aus Erfahrung. So und dann haben wir hier so eine Parabel. So ungefähr sieht die aus, ja hier ist sie ein bisschen runder, so. Ja. Und einmal können wir die jetzt wieder abschätzen mit diesem Strich hier, mit dieser Verbindungslinie, dieser beiden Punkte. Und wir sollen sie halt, also die Länge nach oben abschätzen, aber mit etwas genauerem als das, dieses Rechteck hier. Ich fang mal hiermit an, da können wir das Gleiche wieder verwenden. Und ich glaube wir sind uns einig, das hier ist ein rechtwinkliges Dreieck. Diese Kathete hat die Länge 1, diese Kathete hat ebenfalls die Länge 1, wir müssen also rechnen 1 + 1, also 1² + 1², 1²=1, deshalb müssen wir rechnen 1 + 1, daraus die Wurzel und das Ganze selbstverständlich mal 2. Also haben wir 2√2 stehen und das ist ungefähr 1,8, die √2, die Wurzel aus 2 kann man auch sagen, ist ja ungefähr 1,414213 und so weiter. Also mal zwei 1,8, 2,8 meine ich natürlich. Tschuldigung, 2,8. Ja, so kann das gehen, wenn man sich zu sicher fühlt, dann kann man das ruhig nochmal nachprüfen, mir geht es auch so. Also 1,4 + 1,4 = 2,8. So ungefähr 2,8, das ist also die Länge, die nach unten abgeschätzt ist hier, ich sage mal Länge „min“, Minimum oder so. Minimal, wie auch immer. So und was machen wir jetzt mit der Abschätzung nach oben? Lmax. Ja, da soll man halt drauf kommen. Und deshalb auch hier der Anforderungsbereich drei, da muss man jetzt wirklich eine Idee haben, wir können nämlich einen Halbkreis hier drum ziehen. Ich zeichne den jetzt mal so ein bisschen ausgebeult so nach außen, das ist nicht ganz ein Halbkreis, nur um die Kontraste hier ein bisschen zu erhöhen. Das konnten wir hier nicht machen übrigens. Also auch, wenn ich das ein bisschen so gezeichnet habe, als sei das ein Halbkreis. Wir haben hier den Radius von 50 und wenn wir den weiterzeichnen würden, dann würden wir hier bei +50 und bei -50 ankommen und deshalb kann man das hier mit dem Halbkreis nicht machen. Aber man kann das bei dieser Funktion machen, denn wenn wir das als Radius sehen, dann ist die Strecke gleich, und die und die und dann können wir hier den Halbkreis drum herum ziehen. Wie lang ist diese Linie? Ja, da muss ich den Umfang nehmen eines Kreises, das ist 2 * π * r. r ist bei uns 1. 2 * π * r brauche ich für den gesamten Umfang, ich möchte hier nur die Hälfte haben, deshalb lasse ich die 2 weg, also mal π. 1 x π, also die Schätzung ist π. Das ist die Länge mit dem Maximum hier, dann ist das ganz einfach, π ist ungefähr 3,14. Und ich würde sagen, dann kann man noch das arithmetische Mittel bilden. Hier habe ich die Situation übrigens nochmal in schön vorbereitet. So kann man das zeichnen lassen von einem Computerprogramm, Geogebra verwende ich dafür, das ist ein freies Programm, kann man immer laden, man erhält schöne Zeichnungen. Also wir können noch das arithmetische Mittel bilden von 2,8 und 3,14, dazu muss ich eben 2,8 und 3,14 addieren und durch 2 teilen. Ich mache mir das einfach und denke nicht weiter drüber nach, hier habe ich jetzt völligen Blödsinn gerechnet, also nochmal von vorne, 2,8 + 3,14, also man kann Blödsinn rechnen, es ist aber wichtig, dass man es merkt und deshalb muss man immer, auch wenn man in den Taschenrechner was eintippt, mitdenken. Und ich bekomme hier 2,97 raus, die Frage ist, ist das irgendwie verständlich, dass es also ganz knapp unter 3 liegt. Ich kann es ja mal eben so im Kopf ausrechnen. Ich habe eine Zahl, die ist etwas kleiner als 3, ich habe eine Zahl, die ist etwas größer als 3, wenn ich die beiden addiere und durch zwei teile, dann muss natürlich etwas rauskommen, was ungefähr bei 3 ist und so ist es dann auch mit den 2,97. Ja, wie der exakte Wert ist, das kann man auch berechnen, dazu braucht man die Integralrechnung, das darfst Du noch nicht wissen, aber das kommt dann später in deiner Schullaufbahn, also kannst Du dich schonmal drauf freuen. Viel Spaß damit, tschüss.