30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Ableitungen der Hyperbelfunktionen 10:18 min

Textversion des Videos

Transkript Ableitungen der Hyperbelfunktionen

Hallo, ich bin Anne. Und ich erkläre Dir heute wie man die Hyperbelfunktion ableitet. Dazu werden wir benutzen, wie man die Hyperbelfunktion über die e-Funktion definiert und sie dann mithilfe der Ketten-Regel und der Quotienten-Regel ableiten. Als erste Funktion haben wir den Cosinus Hyperbolikus gegeben. Da haben wir bereits kennengelernt, dass man den definiert wie die e-Funktion und zwar: (ex + e-x)/2. So, die Ableitung von f(x) ist dann - diese zwei im Nenner ist quasi nur so ein Vorfaktor und wir müssen überlegen, was ist die Ableitung von ex - ist wieder ex selbst. Und dann brauchen wir die Ableitung von e-x. Das macht man über die Kettenregel. Also wir haben eine äußere und innere Funktion gegeben. Dann ist die Ableitung von y gleich die Ableitung von der äußeren Funktion von der inneren Funktion mal der inneren Ableitung. Für unser Beispiel y = e-x ist jetzt die äußere Ableitung e-x und die innere Funktion ist -x, die Ableitung von -x ist -1, also multiplizieren wir damit und dann kommt man insgesamt auf -e-x. Das heißt wir haben (ex - e-x)/2. Und das ist ja genau die Definition des Sinus-Hyperbolikus von x. Also Sinus-Hyperbolikus von x. Das heißt, die Ableitung vom Cosinus-Hyperbolikus von x ist der Sinus-Hyperbolikus von x. Ja und jetzt machen wir das nochmal für den Sinus-Hyperbolikus. Also g(x) = Sinus-Hyperbolikus von x. Der ist definiert über (ex - e-x)/2. Wir leiten wieder ab. Ableitung von ex ist wieder ex, -e-x ist +e-x, wieder mit der Kettenregel, durch zwei. Und das ist jetzt wieder der Cosinus-Hyperbolikus von x. Und das bedeutet, dass die Ableitung von Sinus-Hyperbolikus von x gleich der Cosinus-Hyperbolikus von x ist. Ja, gleich werde ich Dir noch zeigen, wie man den Tangens-Hyperbolikus von x ableitet. Wir wollen jetzt noch die Ableitung vom Tangens-Hyperbolikus berechnen. Und der ist ja definiert über den Sinus-Hyperbolikus von x durch den Cosinus-Hyperbolikus von x. Das heißt, das ist ein Quotient und den müssen wir mit der Quotienten-Regel ableiten. Also wir haben diesen Aufbau u/v. Hier links haben wir nochmal die Quotienten-Regel. Und da wir jetzt die Ableitung vom Sinus-Hyperbolikus und vom Cosinus-Hyperbolikus brauchen, stehen die hier auch nochmal dran. Also, wir berechnen jetzt die Ableitung von h(x). Dann geht es los mit u’v. Also die Ableitung vom Sinus-Hyperbolikus ist der Cosinus-Hyperbolikus von x * v. Das ist wieder der Cosinus-Hyperbolikus von x - uv’. u ist der Sinus-Hyperbolikus von x. Und v’, die Ableitung vom Cosinus-Hyperbolikus, ist auch wieder der Sinus-Hyperbolikus von x durch das Quadrat des Nenners. Also (Cosinus-Hyperbolikus von x)². Jetzt können wir das noch einmal ein bisschen kürzer hinschreiben. Cosinus-Hyperbolikus * Cosinus-Hyperbolikus ist natürlich (Cosinus-Hyperbolikus x)² - (Sinus-Hyperbolikus von x)². Und der Nenner bleibt stehen mit (Cosinus-Hyperbolikus von x)². Jetzt kann man das kürzen, weil hier jeweils (Cosinus-Hyperbolikus)² steht, ist das 1 - (Sinus-Hyperbolikus / Cosinus-Hyperbolikus) ist ja der Tangens-Hyperbolikus, also ist das - (Tangenz-Hyperbolikus von x)². Jetzt kann man noch einmal überlegen, ob man diesen Zähler anders zusammenfassen kann, also ob es quasi für diesen Bruch noch eine andere Darstellung gibt. Und dafür machen wir jetzt eine Nebenrechnung, wo wir diesen Zähler nochmal berechnen wollen. Also (Cosinus-Hyperbolikus)² - (Sinus-Hyperbolikus)². Und das ist jetzt die Idee, ich setze jeweils die Definition über die e-Funktion ein und rechne dann mal aus und gucke, was dann raus kommt. Also der Cosinus-Hyperbolikus war ja ((ex + e-x)/2)² - der Sinus-Hyperbolikus war ((ex - e-x)/2)². Ja, jetzt quadrieren wir diese Brüche. Für den Zähler brauchen wir dann die binomische Formel. Also brauchen wir (ex)². Da multiplizieren sich die Exponenten. Also kommt man auf e2x. Dann brauche ich 2 * ex * e-x. Hier addieren sich die Exponenten. Also x - x = 0, e0 = 1, also steht dann da 2. Und dann braucht man noch e-x². Da multiplizieren sich die Exponenten wieder. Also haben wir e-2x. Und das Ganze durch 4. Minus, jetzt für den zweiten Bruch ist das im Prinzip ist Gleiche, nur, dass wir hier jetzt das Minus haben. Also (e2x - 2 + e-2x)/4. Jetzt bilde ich einen gemeinsamen Nenner. e2x + 2 + e-2x. Dann drehen sich hier diese Vorzeichen um. Also habe jetzt hier - e2x + 2 - e-2x und das Ganze durch 4. Und jetzt kann man kürzen, also, zusammenfassen den Zähler: e2x geht weg mit -e2x und e-2x - e-2x. Dann haben wir nur noch 2 + 2 oben stehen im Zähler. Das ist 4/4 und das ist 1. Jetzt kann ich also diesen Bruch umschreiben in 1 / (Cosinus-Hyperbolikus von x)². Ja, zum Schluss möchte ich nochmal zusammenfassen, was Du heute gelernt hast: Wir haben die Ableitungen der Hyperbelfunktionen gebildet und zwar über die Definition der e-Funktion. Und da haben wir erst rausgekriegt, dass die Ableitung vom Cosinus-Hyperbolikus der Sinus-Hyperbolikus ist und die Ableitung vom Sinus-Hyperbolikus ist der Cosinus-Hyperbolikus. Die Ableitung vom Tangens-Hyperbolikus haben wir gebildet, in dem wir diesen Quotienten Sinus-Hyperbolikus / Cosinus-Hyperbolikus uns angeguckt haben. Und zum Schluss haben wir nochmal so eine Nebenrechnung gemacht, um diesen Zähler noch einmal zu vereinfachen. Ja, ich hoffe Du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video. Deine Anne.