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Rechnen mit komplexen Zahlen 2 - Multiplikation 07:37 min

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Transkript Rechnen mit komplexen Zahlen 2 - Multiplikation

Hallo liebe Schüler, liebe Studenten. Hier ist Dr. Vodopivec. Heute werden wir zeigen, wie man die komplexen Zahlen multipliziert und geben wir drei rechnerische Beispiele an. Dabei betrachten wir sowohl alle Faktoren, als auch das Produkt in der arithmetischen Darstellung. Also stellen wir im Folgenden eine komplexe Zahl z in der Form z=a+bi dar. Dabei sind a und b reelle Zahlen. Die Zahl a heißt Realteil von z und die Zahl b Imaginärteil. Das i wird als Wurzel aus -1 definiert. Im Folgenden zeigen wir, wie man zwei komplexe Zahlen z1 und z2 multipliziert. Wir definieren z1=a+bi und z2=c+di in der arithmetischen Darstellung. Das heißt a, b, c und d sind Elemente von R. Dann gilt z1×z2=(a+bi)×(c+di). Das Produkt der beiden Zahlen ist nun definiert als (ac-bd)+(ad+bc)i. Da ac-bd und ad+bc reelle Zahlen sind, ist dies die arithmetische Darstellung des Produkts. Für das Rechnen in der Praxis könnt ihr euch aber einfach merken, das man wie bei den reellen Zahlen eine Art Distributivgesetz anwendet. Also: a×c=ac, plus a×di=adi, plus bi×c=bci, plus bi×di=bdi², wobei i²=-1 ist. Weiter ergibt sich =ac-bd+adi+bci=ac-bd+(ad+bc)i. Nun haben wir wieder die arithmetische Form des Produkts da stehen. Beispiel 1: Seien z1=2-3i und z2=1-i. Wir berechnen das Produkt z1×z2. Es gilt z1×z2=(2-3i)(1-i). 2×1=2, 2×(-i)=-2i, -3i×1=-3i und -3i×(-i)=+3i², wobei i²=-1 ist. Weiter gilt 2-3=-1 und -2i-3i=-5i. Also ist das Produkt z1×z2=-1-5i. Beispiel 2: Seien z1=/sqrt2-i und z2=/sqrt2+i. Dann gilt z1×z2=(/sqrt2-i)(/sqrt2+i). Nach der dritten binomischen Formel gilt =(/sqrt2)²-i². Und mit i²=-1 gilt weiter =2+1=3. Also ist z1×z2=3. Beispiel 3: Seien z1=½+i, z2=-2+4i und z3=-1-i. Wir berechnen z1×(z2)²+z2×z3. Zuerst klammern wir z2 aus. Es gilt weiter (½+i)(-2+4i)+(-1-i). Weiter gilt ½×(-2)=-1, ½×4i=2i, i×(-2)=-2i und i×4i=4i², dann -1-i und alles mal (-2+4i), wobei i²=-1 gilt. Nun fassen wir zusammen: -1-4-1=-6, 2i-2i-i=-i und alles mal (-2+4i). Weiter -6×(-2)=12, -6×4i=-24i, -i×(-2)=+2i und -i×4i=-4i², wobei i²=-1 ist. Es ergibt sich 16-22i. Heute haben wir gelernt wie man zwei komplexe Zahlen z1 und z2 multipliziert. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit und viel Spaß beim Lernen! Euer Dr. Vodopivec