Ohmsches Gesetz – elektrischer Widerstand

Ohmsches Gesetz – einfach erklärt

Die meisten Metalle sind bei konstanter Temperatur ohmsche Widerstände.

Georg Simon Ohm führte Anfang des 19. Jahrhunderts verschiedene Experimente durch. Er stellte so fest, dass unter bestimmten Bedingungen Spannung und Stromstärke direkt proportional zueinander sind. Das bedeutet, dass man eine Ursprungsgerade erhält, wenn man sie in einem Koordinatensystem übereinander aufträgt. Im folgenden Bild kannst du eine solche Ursprungsgerade sehen. Hier ist die Spannung $U$ auf der y-Achse aufgetragen und die Stromstärke $I$ auf der x-Achse. Ein solches $U$-$I$-Diagramm nennt man Kennlinie.

Ohmsches Gesetz – Diagramm

Wir betrachten zunächst den Schaltplan. Dabei fällt auf, dass das Amperemeter in Reihe mit dem Widerstand geschaltet ist und das Voltmeter parallel zu ihm. Amperemeter haben einen sehr kleinen eigenen Widerstand, den sog. Innenwiderstand, sodass sie die Messung möglichst wenig beeinflussen. Voltmeter haben aus demselben Grund einen sehr hohen Innenwiderstand. Dennoch kann man nicht beide Größen gleichzeitig genau messen. Bei dieser Variante misst das Voltmeter zwar die Spannung, die tatsächlich an dem Widerstand liegt, das Amperemeter aber eigentlich eine etwas zu hohe Stromstärke, da diese sich noch in einen Teilstromstärke durch das Voltmeter und eine durch den Widerstand aufteilt. Aufgrund des hohen Innenwiderstands des Voltmeter ist der Teilstrom durch das Voltmeter allerdings sehr gering, sodass die Abweichung recht gering ist. Man spricht bei dieser Schaltung vom spannungsrichtigen Messen.

Wenn wir jetzt das $U$-$I$-Diagramm betrachten, sehen wir, dass der Graph eine Ursprungsgerade ist. Je höher die Spannung $U$ ist, desto höher ist auch die Stromstärke $I$.

Widerstandskennlinie

Widerstandskennlinien oder auch nur Kennlinien sind allgemein die Graphen im $U$-$I$-Diagramm bei einer Messung, bei der die Spannung $U$ variiert und die Stromstärke $I$ gemessen wird. Handelt es sich dabei um eine Ursprungsgerade, so handelt es sich bei dem untersuchten Bauteil um einen ohmschen Widerstand. Je steiler diese Gerade ist, desto größer ist der elektrische Widerstand $R$ dieses Bauteils.

Ohmsches Gesetz – Formel

Eine Ursprungsgerade kann man mathematisch durch eine Geradengleichung beschreiben, bei der der y-Achsenabschnitt den Wert null hat. Die Gleichung hat also die Form:

$y = m\cdot x$

In unserem U-I-Diagramm betrachten wir $U$ in Abhängigkeit von $I$. Die Steigung können wir durch das Verhältnis aus $U$ und $I$ ausdrücken. Wir geben ihr das Formelzeichen $R$ für resistance, was das englische Wort für Widerstand ist:

$m=\frac{U}{I}=R$

Es gilt also:

$R=\frac{U}{I}$

Wenn du magst, kannst du dir diesen Zusammenhang mit dem Wort Rudi merken: $R$ ist gleich $U$ durch $I$.

Setzt du alle Größen in die Geradengleichung ein, erhältst du die sogenannte URI-Formel für das ohmsche Gesetz:

$U = R\cdot I$

Daran erkennst du auch direkt die Kernaussage des ohmschen Gesetzes. Die Stromstärke ist proportional zur angelegten Spannung: Wenn wir die Spannung erhöhen, wird auch die Stromstärke größer. Das genaue Verhältnis von Stromstärke und Spannung wird durch den elektrischen Widerstand $R$ bestimmt.

Je größer der Widerstand bei gleicher Spannung ist, desto geringer ist die Stromstärke. In unserem U-I-Diagramm äußert sich ein höherer Widerstand durch eine größere Steigung der Geraden.

Du kannst die Gleichung auch nach $I$ auflösen:

$I=\frac{U}{R}$.

Ohmsches Gesetz – Merksatz

Ohmsches Gesetz – Einheiten

Die Einheit des elektrischen Widerstands $R$ ist nach seinem Entdecker Ohm benannt und wird durch den griechischen Buchstaben $\Omega$ ausgedrückt. Ein Ohm ist ein Volt pro Ampere, also:

$[R] = 1~ \Omega =1~ \frac{\text{V}}{\text{A}}$

Ohmsches Gesetz – Dreieck

Ohmsches Gesetz – Formel umstellen: Wie bei jeder anderen Gleichung, hast du auch bei Aufgaben zum ohmschen Gesetz nicht immer die gleichen Größen gegeben. Dann musst du die Formel entsprechend umstellen. Eine Hilfe ist das ohmsche Dreieck oder magische Dreieck:

Eine horizontale Trennlinie bedeutet, dass die Werte geteilt werden, eine senkrechte, dass sie multipliziert werden. So werden immer zwei Größen miteinander kombiniert und ergeben so die dritte. So ergibt sich auch die URI-Formel: $R$ und $I$ sind durch eine senkrechte Linie getrennt. Sie werden also multipliziert und ergeben dann die übrig bleibende Größe, also $U$. Am einfachsten kannst du mit dem Formeldreieck arbeiten, indem du die jeweils gesuchte Größe verdeckst.

$U$ verdecken: $U=R \cdot I$

$I$ verdecken: $I=\dfrac{U}{R}$

$R$ verdecken: $R=\dfrac{U}{I}$

Ohmsches Gesetz – Beispiele

Konstantan ist eine Legierung aus Kupfer, Nickel und Mangan. Der Name verrät es dir vielleicht schon: Der elektrische Widerstand von Konstantan bleibt für große Spannungs- und Temperaturbereiche konstant. Deswegen nennt man ein Bauteil aus Konstantan auch ohmschen Widerstand. Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung heißt dann ohmsches Gesetz.

Ohmsches Gesetz – Beispielrechnung Messreihe

Zur Veranschaulichung betrachten wir drei verschiedene Messreihen:

Messung 1

Gegeben: $U=10~\text{V}$

$I=0,4~\text{A}$

Gesucht: $R=?$

Formel: $R=\frac{U}{I}$

Rechnung: $R=\frac{U}{I}=\frac{10~\text{V}}{0,4~\text{A}}=25~\Omega$

Der gesuchte Widerstand beträgt $R=25~\Omega$.

Messung 2

Gegeben: $U=40~\text{V}$

$R=2~\text{k}\Omega$

Gesucht: $I=?$

Formel: $I=\frac{U}{R}$

Rechnung: $I=\frac{U}{R}=\frac{40~\text{V}}{2~\text{k}\Omega}=0,02~\text{A}=20~\text{mA}$

Die gesuchte Stromstärke beträgt $I=20~\text{mA}$.

Messung 3

Gegeben:

$I=2~\text{mA}$

$R=500~\Omega$

Gesucht: $U=?$

Formel: $U=RI$

Rechnung: Rechnung: $U=RI=500~\Omega \cdot 2~\text{mA} = 500~\Omega \cdot 0,002~\text{A}=1~\text{V}$

Die gesuchte Spannung beträgt $U=1~\text{V}$.

Beobachtungen an einer Glühlampe

Glühlampen sind in der Regel aus Wolfram und keine ohmschen Widerstände. Das Verhältnis von Stromstärke und angelegter Spannung ist hier nicht konstant. Also hängt auch der Widerstand davon ab, wie groß die angelegte Spannung ist.

In diesem $U$-I-Diagramm sieht man, dass $U$ und $I$ nicht mehr proportional zueinander liegt. Es handelt sich bei der gezeigten Kurve um eine Kennlinie, deren Steigung mit wachsender Stromstärke bzw. Spannung zunimmt. Wie wir aus unseren Überlegungen zur Steilheit der Ursprungsgeraden leicht schlussfolgern können, gilt:

Die Steigung einer Kennlinie im $U$-$I$-Diagramm entspricht dem elektrischen Widerstand.

Der elektrische Widerstand des Drahtes der Glühlampe nimmt mit zunehmender Spannung $U$ zu. Dies liegt daran, dass der Draht durch den fließenden Strom erwärmt wird.

Zusammenhang zwischen Temperatur und Widerstand

Um zu verstehen, warum der Widerstand von der Temperatur abhängt, schauen wir uns einmal eine Abbildung zur elektrischen Leitung an.

Hier sehen wir die freien Elektronen als Ladungsträger und die Gitteratome des Metalls. Diese sind zwar nicht frei, sondern an ihren Gitterplatz gebunden, können aber um diesen Platz herum schwingen. Diese Schwingungen stören die freien Elektronen und sorgen so für den elektrischen Widerstand. Denn die Elektronen können mit den schwingenden Gitteratomen zusammenstoßen und Energie an sie abgeben. Dadurch erwärmt sich das Metall. Wenn das Metall wärmer wird, fangen die Gitteratome an, immer stärker zu schwingen. Dadurch stören sie dann auch die freien Elektronen immer stärker und der Widerstand wird größer.

In einer Glühlampe ist das sogar gewollt: Der Wolframdraht wird immer heißer, bis er beginnt, zu glühen. Der glühende Draht spendet uns dann Licht. Daher kommt auch der Name Glühlampe oder Glühbirne. Der gleiche Effekt kann andererseits dazu führen, dass die Isolierung eines Kabels in Brand gerät, was als Kabelbrand bezeichnet wird und zu großen und gefährlichen Bränden führen kann.

Ohmsches Gesetz: Reihen- und Parallelschaltung

Mithilfe des ohmschen Gesetzes und den Gesetzen für Stromstärke und Spannung bei Reihenschaltung und bei Parallelschaltung können wir auch die entsprechenden Gesetze für ohmsche Widerstände, also Bauteile, für die das ohmsche Gesetz gilt, aufstellen.

Reihenschaltung – Herleitung

Bei der Reihenschaltung fließt durch alle Bauteile der gleiche Strom $I_0$. Die Gesamtspannung $U_0$ teilt sich an den Widerständen $R_1$ und $R_2$ auf.

Es gelten folgende Zusammenhänge:

$U_0=U_1+U_2$

$I_0=I_1=I_2$

Wir interessieren uns nun für den Zusammenhang zwischen dem Gesamtwiderstand $R_0$ und den Einzelwiderständen $R_1$ und $R_2$.

Nach dem ohmschen Gesetz gilt:

$R_0=\dfrac{U_0}{I_0}=\dfrac{U_1+U_2}{I_0}=\dfrac{U_1}{I_0}+\dfrac{U_2}{I_0}$

Da die Stromstärke überall gleich ist, können wir zur besseren Übersicht das erste $I_0$ durch $I_1$ ersetzen und das zweite durch $I_2$.

Dann ergibt sich: $R_0=\dfrac{U_1}{I_1}+\dfrac{U_2}{I_2}=R_1+R_2$

Parallelschaltung – Herleitung

Bei der Parallelschaltung sind die Spannungen, die an den Bauteilen anliegen gleich, dafür teilen sich die Stromstärke auf.

Es gilt:

$U_0=U_1=U_2$

$I_0=I_1+I_2$

Wieder gilt:

$R_0=\dfrac{U_0}{I_0}=\dfrac{U_0}{I_1+I_2}$

Nur können wir hier die Summe nicht aufteilen, da sie im Nenner steht und nicht im Zähler.

Damit wir dies tun können, bilden wir den Kehrwert.

$\dfrac{1}{R_0}=\dfrac{I_1+I_2}{U_0}=\dfrac{I_1}{U_0}+\dfrac{I_2}{U_0}$

Jetzt ersetzen wir wegen der Gleichheit aller Spannungen in der Parallelschaltung das erste $U_0$ durch $U_1$ und das zweite durch $U_2$.

$\dfrac{1}{R_0}=\dfrac{I_1}{U_1}+\dfrac{I_2}{U_2}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$

Der Gesamtwiderstand ist stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

Für $n$ verschiedene Widerstände gilt also:

$\dfrac{1}{R_0}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+ \ldots + \dfrac{1}{R_{n}}$

Bei $n$ gleichen Widerständen der Größe $R$ gilt:

$R_0=\dfrac{R}{n}$

Für zwei Widerstände lässt sich der Gesamtwiderstand auch mit der Produkt-durch-Summe-Formel berechnen.

$R_0=\dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}$

Aufgabe zur Reihenschaltung

Zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$ sind in Reihe geschaltet. $R_1$ beträgt $6~\Omega$ und $R_2$ beträgt $18~\Omega$. Die Gesamtspannung $U_G$ beträgt $12~V$. Berechne die Stromstärke $I_G$ und die Teilspannungen $U_1$ und $U_2$ sowie den Gesamtwiderstand $R_G$.

1. Berechne den Gesamtwiderstand $R_G$:

$R_G = R_1 + R_2 = 6~\Omega + 18~\Omega = 24~\Omega$

1. Berechne die Stromstärke $I_G$:

$I_G = \dfrac{U_G}{R_G} = \dfrac{12~V}{24~\Omega} = 0{,}5~A$

1. Berechne die Teilspannungen $U_1$ und $U_2$:

$U_1 = R_1 \cdot I_G = 6~\Omega \cdot 0{,}5~A = 3~V$

$U_2 = R_2 \cdot I_G = 18~\Omega \cdot 0{,}5~A = 9~V$

Die Stromstärke $I_G$ beträgt $0{,}5~A$, die Teilspannungen $U_1$ und $U_2$ betragen $3~V$ bzw. $9~V$ und der Gesamtwiderstand $R_G$ beträgt $24~\Omega$.

Ohmsches Gesetz Zusammenfassung

Häufig gestellte Fragen zu Thema Ohmsches Gesetz