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Der Rang einer Matrix 04:01 min

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Transkript Der Rang einer Matrix

Also, der Rang einer Matrix. Die Definition davon ist: Anzahl der linear unabhängigen Zeilen - beziehungsweise Spaltenvektoren. Formal heißt das: a1 bis an sind linear abhängig voneinander, wenn Folgendes gilt: 0 ist gleich die Summe Lambda ai, i = 1 bis n. Wobei nicht alle Lambda zusammen 0 sein können, als die müssen unterschiedlich 0 sein. Zur Bestimmung des Rangs einer Matrix. Nehmen wir einfach die Matrix A: 1, 3, 2. 2, 1, 4. 4, 6, 7. Mit der Definition,von vorhin die wir hatten,. Ich schreibe sie noch mal daneben. Für die Abhängigkeit von den Vektoren würde das jetzt hier angewandt darauf heißen, dass 0 gleich 1 Lambda 1 + 3 Lambda 2 + 2 Lambda 3 für die erste Gleichung. Dann 0 = 2 Lambda 1 + 1 Lambda 2 + 4 Lambda 3 für die zweite Gleichung. Dann 4 Lambda 1 + 6 Lambda 2 + 7 Lambda 3 für die dritte Gleichung. Wenn man das dann ausrechnet, wird man erkennen, dass Lambda 1, Lambda 2 und Lambda 3 gleich 0 sein müssen, damit das vorhin aufgestellte Gleichungssystem - das hier - lösbar ist. Es wird keine andere Lösung geben, außer der. Daraus folgt, aus der vorherigen Definition, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Das heißt, sie lassen sich nicht als ein Vielfaches von den anderen darstellen. Nun kann man aber die Matrix von vorhin aber auch so verändern, dass man unten anstatt der 7 eine 8 schreibt. Wenn man darauf schaut wird man dann sehen, dass 1, 2, 4 × Lambda = 2, 4, 8 lösbar ist, wenn Lambda gleich 2 ist. Das heißt, dass der Vektor 1 ein Vielfaches ist von dem Vektor 2. Daraus folgt, dass der Rang von der ganzen Matrix A nun 2 ist und nicht 3. Im Allgemeinen müsst Ihr immer daran denken, wenn Ihr Matrizen habt, zum Beispiel eine Matrix A, die 3 Kreuz 4 ist, dass der Rang maximal nur 3 sein kann, und nicht 4. Das heißt, der Rang von A wäre dann kleiner gleich dem Minimum von n oder m, wenn hier n und m ist.