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Grundbegriffe der Geometrie – Einführung

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Mathe-Team
Grundbegriffe der Geometrie – Einführung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Grundbegriffe der Geometrie – Einführung

Zu Beginn lernst du wichtige Grundbegriffe der Geometrie, wie den Punkt, die Gerade, den Strahl, die Strecke kennen. Du lernst auch, was für Bedeutung diese Begriffe außerhalb der Mathematik haben. Danach erfährst Du etwas über Abstände zwischen verschiedenen Objekten. Du wirst zum Beispiel lernen, was ein Abstand zwischen zwei Punkten, zwischen einem Punkt und einer Gerade, oder zwischen zwei parallelen Geraden ist und wie man solchen Abstand bestimmt.

Transkript Grundbegriffe der Geometrie – Einführung

Hallo, außerhalb der Mathematik hast du vielleicht solche Begriffe, wie Punkt, Gerade, Strecke oder Strahl gehört. Einen kleinen, kreisrunden Fleck hast du bestimmt schon mal als Punkt bezeichnet und du weißt auch, dass im Sport eine für einen Lauf festgelegte Entfernung eine Laufstrecke heißt.

Vielleicht hast du beim Sport gucken eimal die Aussage gehört, dass “der Läufer auf die Zielgerade einbiegt”, wobei mit der Zielgerade eine Teilgerade einer Rennstrecke gemeint ist.

Die Bedeutung des Begriffs Lichtstrahl kennst du sicher auch, oder? Ein Lichtstrahl ist ein von einer Lichtquelle ausgehendes Licht.

Alle diese Begriffe findest du auch in der Mathematik und heute wirst du als erstes lernen, wie diese Begriffe und zwar ein Punkt, eine Strecke, eine Gerade und ein Strahl in der Geometrie definiert sind.

Zum Schluss erfährst du etwas über Abstände zwischen verschiedenen Objekten. Du wirst zum Beispiel lernen, was ein Abstand zwischen zwei Punkten, zwischen einem Punkt und einer Gerade sowie zwischen zwei parallelen Geraden ist. Ich wünsche dir viel Spaß!

Punkt

Das erste und einfachste Objekt der Geometrie, das du heute kennenlernen wirst, ist ein Punkt. Ein Punkt ist ein fester Ort der Zeichenebene ohne jede Ausdehnung.

Ein Punkt kannst du als ein Kreuz, dann ist genau der Kreuzungspunkt gemeint, oder als kleinen Kreis zeichnen, dann ist genau dessen Mittelpunkt gemeint.

Punkte benennt man mit Großbuchstaben.

Strecke

Eine Strecke ist die Menge aller Punkte, die auf der kürzesten Verbindung zweier Punkte A und B liegen. A und B heißen Anfangspunkt und Endpunkt der Strecke.

Eine Strecke AB wird wie folgt bezeichnet.

Die Länge einer Strecke kann man messen und wird in Betragsstriche geschrieben. Das Ergebnis dieser Messung gibt man mit einer Maßzahl und einer Maßeinheit an z.B. 7 cm. Die Strecke BA hat dieselbe Länge, weil es egal ist, ob wir von B nach A oder von A nach B messen.

Gerade

Um eine Gerade zu zeichnen benötigst du zwei Punkte. Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig definiert, ist in beiden Richtungen unbegrenzt und besitzt folglich weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.

Geraden werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, zum Beispiel mit einem kleinem g.

Strahl

Was versteht man in der Mathematik nun unter einem Strahl? Ein Strahl ist eine Halbgerade. Jeder Punkt auf einer Geraden teilt die Gerade in zwei Halbgeraden. Jede von ihnen heißt "Strahl".

Ein Strahl hat einen Anfangspunkt, aber keinen Endpunkt und wird wie eine Gerade auch mit Kleinbuchstaben bezeichnet.

Abstand

Zum Schluss noch ein wichtiger Begriff der Geometrie, der Abstand. Der Abstand zwischen zwei Objekten ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen diesen Objekten.

Du kannst zum Beispiel den Abstand zwischen 2 Punkten messen. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist die kürzeste Verbindung zwischen diesen.

Erinnerst du dich noch was wir genauso definiert haben? Richtig, so haben wir eine Strecke definiert. Das heißt der Abstand zwischen 2 Punkten A und B ist gleich der Länge der Strecke AB.

Ein Abstand zwischen 2 Punkten A und B kann auch mit d von AB bezeichnet werden. Der Buchstabe d steht hierbei für das englische Wort “ distance” und bedeutet übersetzt Abstand.

Du kannst auch den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade bestimmen. Auch in diesem Fall ist ein Abstand als die kürzeste Verbindung definiert, diesmal aber zwischen einem Punkt und einer Gerade. Die kürzeste Verbindungsstrecke ist eine Strecke, die im rechten Winkel zur Geraden steht. Man sagt die Verbindungsstrecke ist senkrecht, oder orthogonal zur Geraden.

Ein Abstand zwischen einem Punkt A und einer Gerade g wird mit d von A und g bezeichnet.

Auch zwischen zwei parallelen Geraden kannst du den Abstand messen. Zwei Geraden heißen "parallel", wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben.

Der Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden, ist die Länge der zu den beiden Geraden orthogonalen Verbindungsstrecken. Diese Verbindungsstrecken sind die kürzesten von allen Verbindungsstrecken der beiden Geraden und sie sind alle gleich lang.

Ein Abstand zwischen zwei parallelen Geraden p und g wird erneut mit d von p und g bezeichnet.

Zusammenfassung

Du hast heute viel gelernt. Du weißt jetzt, was man in der Mathematik unter einem Punkt, einer Geraden, einem Strahl und einer Strecke versteht.

Erinnerst du dich noch, was für unterschiedliche Bedeutung diese Begriffe außerhalb der Mathematik haben? Am Anfang hast du dir einen Punkt als einen Fleck vorgestellt. Wir haben auch von einem Lichtstrahl und einer Laufstrecke gesprochen.

Kannst du jetzt vielleicht die Zusammenhänge zwischen diesen Begriffen und den mathematischen Definitionen eines Punktes, eines Strahls oder einer Strecke sehen? Oder kennst du vielleicht noch weitere Beispiele für diese Begriffe außerhalb der Mathematik?

Am Ende hast du noch gelernt, dass ein Abstand zwischen zwei Objekten die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen ihnen ist. Und du kannst den Abstand zwischen 2 Punkten, einem Punkt und einer Gerade oder von zwei parallelen Geraden bestimmen.

Ich hoffe es hat dir heute Spaß gemacht, und ich freue mich, dich wieder zu sehen. Tschüss!

77 Kommentare

77 Kommentare
  1. tollt ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️t ☺️☺️

    Von Dianachyk, vor etwa einem Monat
  2. Gut

    Von 01796749073post, vor etwa einem Monat
  3. Super Erklärt

    Von Franzkefranziska, vor etwa 2 Monaten
  4. Gutes Vidio

    Von Maanzulaa, vor 2 Monaten
  5. :)

    Von Lezius, vor 2 Monaten
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Grundbegriffe der Geometrie – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grundbegriffe der Geometrie – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die geometrischen Grundbegriffe an.

    Tipps

    Überlege dir, ob ein Punkt, eine Strecke, ein Strahl und eine Gerade Anfangs- und Endpunkte haben.

    Eine Strecke hat einen Anfangs- und einen Endpunkt.

    Eine Gerade hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.

    Ein Strahl hat nur einen Anfangs- und keinen Endpunkt.

    Ein Punkt ist ein fester Punkt der Zeichenebene.

    Lösung

    Ordne zunächst die Begriffe zu, die dir klar sind, weil sie dir aus dem Alltag bekannt sind.

    Sicherlich ist dir klar, dass von einer Glühbirne Lichtstrahlen ausgehen, wenn du das Licht einschaltest. Dann kannst du schon einmal Lichtstahl mit Strahl verknüpfen. Wie du schon weißt, hat so ein Lichtstrahl zwar einen Anfangs- aber keinen Endpunkt. Die gleichen Eigenschaften hat auch der Strahl als mathematisches Objekt. Für die anderen Begrifflichkeiten kann man ähnliche Zusammenhänge herstellen:

    • Wenn du mit deinem Füller einen Tintenklecks in dein Heft machst, entsteht ein Punkt. Er ist ein fester Punkt in der Zahlenebene und hat keine Ausdehnung.
    • Wenn du im Stadion mit deinen Mitschülern ein Wettrennen machst, läufst du vom Start bis zum Ziel eine Strecke. Eine Strecke hat einen Anfangs- und einen Endpunkt und ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.
    • Ein Läufer biegt auf die Zielgerade ein. Eine Gerade ist wird durch zwei Punkte eindeutig definiert, ist unbegrenzt und hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.
  • Nenne die Eigenschaften der geometrischen Objekte.

    Tipps

    Überlege dir, was die Eigenschaften von einem Punkt, einem Strahl, einer Strecke und einer Geraden sind. Stelle Bezüge zu den Begriffen Fleck, Laufstrecke, Zielgerade und Lichtstrahl her.

    Eine Strecke ist die Menge aller Punkte auf der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten.

    Ein Punkt teilt eine Gerade in zwei Halbgeraden, die sogenannten Strahlen.

    Lösung

    Überlege dir zuerst, welche verschiedenen Eigenschaften es bei den geometrischen Objekten gibt und entscheide dann, wie diese bezeichnet werden.

    Ein Punkt ist ein fester Ort auf der Zeichenebene und hat aber keine Ausdehnung wie z.B. ein kleiner Fleck auf deinem T-Shirt. Er wird immer mit einem großen Buchstaben bezeichnet.

    Eine Strecke hat einen Anfangs- und Endpunkt wie zum Beispiel eine Laufstrecke, die einen Startpunkt und ein Ziel hat. Du kennzeichnest sie mit zwei großen Buchstaben und einem Strich darüber.

    Ein Strahl hat einen Anfangs- aber keinen Endpunkt wie beispielsweise der Lichtstrahl oder der Sonnenstrahl. Mit einem kleinen Buchstaben wird der Strahl bezeichnet.

    Eine Gerade hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt. Sie wird aber eindeutig durch zwei Punkte festgelegt; wie z.B. eine Ziellinie in einem Stadion. Du kennzeichnest sie mit einem kleinen Buchstaben. Meistens wählt man ein g.

  • Bestimme die Maßzahl und die Maßeinheit.

    Tipps

    In dem Begriff "Maßzahl" steckt der Begriff "Zahl".

    Eine Einheit ist zum Beispiel Meter. Was ist das dazugehörige Einheitenzeichen?

    Lösung

    In dem Begriff "Maßzahl" steckt der Begriff "Zahl".

    Eine Maßeinheit wird manchmal auch kurz "Einheit" genannt. Um Streckenlängen anzugeben, werden die Einheiten km, m, dm, cm und mm genutzt.

    5 cm kannst du zum Beispiel auf deinem Lineal abmessen. 4 km aber nicht. Diese kannst du aber zum Beispiel im Stadion laufen. Das sind 10 Runden.

    Beim Sprungturm kann man von verschiedenen Höhen ins Wasser springen. Aus der Höhe von 1 m springen noch die meisten Kinder. Aus 10 m ist es den meisten schon eher zu hoch.

    Einen Schlüssel kannst du gut in deine Hosentasche stecken. Er ist nur ungefähr 6 cm lang. Ein Kugelschreiber hingegen ist mit 14 cm jedoch sehr lang und passt nicht gut in deine Hosentasche.

  • Setze die Begriffe mit den geometrischen Figuren in Beziehung.

    Tipps

    Ordne immer zuerst das Objekt zu, was du ganz sicher kennst.

    Orientiere dich an Begriffen aus dem Alltag und ihren Eigenschaften. Denke z.B. an eine Zielgerade. Diese ist festgelegt durch zwei Punkte.

    Beachte auch die Bezeichnungen A, b, g und $\overline{AB}$.

    Lösung

    Ordne immer zuerst das Objekt zu, was du ganz sicher kennst. Dann wird deine Auswahl weniger und du kannst die anderen Begriffe besser zuordnen.

    Der Punkt sieht anders aus als eine Gerade, eine Strecke oder ein Strahl. Er sieht dem Buchstaben X oder einem Kreuz auf einem Lottoschein sehr ähnlich. In der Mathematik wird er mit einem großen Buchstaben bezeichnet.

    Die anderen geometrischen Figuren mögen auf den ersten Blick ähnlich aussehen. Überlege dir noch einmal die Eigenschaften einer Strecke, eines Strahls und einer Gerade.

    Am besten merkst du dir die Eselsbrücke zu den Alltags-Objekten:

    • Eine Strecke ist wie eine Laufstrecke. Sie hat einenn Ziel- und einen Startpunkt. In der Mathematik bezeichnest du sie mit zwei großen Buchstaben und einem Strich darüber.
    • Ein Strahl ist wie ein Lichtstrahl. Er beginnt in der Glühbirne, aber er hat kein Ende. In der Mathematik wird er mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet. Zum Beispiel mit einem b.
    • Eine Gerade ist wie eine Zielgerade. Sie wird durch zwei Punkte festgelegt. Aber sie hat keinen Anfang und kein Ende. Sie wird in der Mathematik mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet, z.B. mit einem g.

  • Beschreibe den Begriff Abstand.

    Tipps

    Die Abkürzung für den Abstand kommt aus dem Englischen und heißt „distance“.

    Geometrische Objekte, zwischen denen man Abstände messen kann, sind Punkte und Geraden.

    Lösung

    Ein Abstand kann immer nur zwischen zwei geometrischen Objekten bestimmt werden. Er ist messbar. Daher kann man ihn mit einem Messgerät wie zum Beispiel dem Geodreieck oder einem Lineal messen. Dabei misst man immer die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den Objekten.

    Möchtest du zum Beispiel den Abstand zwischen zwei Punkten messen, legst du dein Lineal so an, dass du die beiden Punkten direkt miteinander verbindest, so dass ein gerader Strich entsteht.

    Versuche es mal mit einem A4-Papier im Hochformat. Lege das Lineal an die Kante des Papiers und miss von einer Ecke zur anderen Ecke. Der Abstand zwischen den beiden oberen Ecken ist 21 cm lang. Der Abstand zwischen der oberen und der unteren Ecke ist 29,7 cm.

    Du kannst auch den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden oder zwischen zwei parallelen Geraden messen. Auch hier musst du immer eine gerade Linie zwischen den Objekten ziehen. Damit es die kürzeste Verbindung wird, musst du einen 90°-Winkel einzeichnen.

  • Erkläre, wie du den Abstand zwischen zwei parallen Geraden mit einem Geodreieck messen kannst.

    Tipps

    Um einen Abstand zwischen zwei parallelen Geraden zu zeichnen, musst du erst einmal beide Geraden einzeichnen. Das sollte auch der Ausgangspunkt deiner Konstruktion sein.

    Versuche, die Schritte selber einmal mit einer Skizze nachzuvollziehen.

    Die Verbindungsstrecke steht senkrecht zu den Geraden.

    Lösung

    Wenn du den Abstand zweier paralleler Geraden bestimmen willst, dann gehst du am besten folgendermaßen vor. Dabei ist es sinnvoll, wenn du versuchst, die Schritte selber einmal mit einer Skizze nachzuvollziehen.

    • Zunächst musst du natürlich eine Gerade g einzeichnen und eine zu dieser Geraden g parallele Gerade h. Vergiss nicht, die Gerade mit einem kleinen Buchstaben zu bezeichnen.
    • Markiere einen Punkt auf der Geraden g.
    • Lege das Geodreieck in einem 90°-Winkel an diesen Punkt.
    • Ziehe eine Linie bis zur Geraden h. Achte darauf, dass du das Geodreieck festhältst und es nicht verrutschen kann. Wenn du willst, kannst du noch den 90°-Winkel einzeichnen.
    • Miss die Länge der eingezeichneten Strecke. Das ist dein Abstand.
    • Schreibe den Abstand noch auf. Denke daran, dass er mit einem d abgekürzt wird. In unserem Fall schreibst du d(g;h).
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