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Skalarprodukt – Winkel zwischen zwei Vektoren 09:34 min

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Transkript Skalarprodukt – Winkel zwischen zwei Vektoren

Hallo. Ich bin Giuliano. Und ich möchte dir heute erklären, wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts berechnet. Hier seht ihr ein Dreieck. Dieses Dreieck besitzt einen Winkel α, der von den Vektoren AC und AB aufgespannt wird. Um diesen Winkel α zu berechnen, brauchen wir die Definition des Skalarprodukts und den Betrag. Beginnen wir mit der Definition des Skalarprodukts. Hier seht ihr Sebastian, der von seinem Pferd Michael gezogen wird. Michael zieht den Sebastian entlang eines Weges, den ich mit dem Vektor S darstelle, mit konstanter Geschwindigkeit. Nun gibt es eine Kraft FS, also eine Kraft, die Michael entlang des Weges auswirkt. Und eine Kraft, die Michael entlang der Deichsel ausübt. Diese beiden Vektoren lassen ein rechtwinkliges Dreieck entstehen, mit dem Winkel α. In diesem rechtwinkligen Dreieck gelten die trigonometrischen Beziehungen Sinus und Cosinus und sogar Tangens. Wir nehmen den cos(α), der ist gleich Ankathete durch Hypotenuse. Ankathete und Hypotenuse sind Streckenangaben, wir haben aber hier Vektoren. Und die Strecke eines Vektors, beziehungsweise die Länge eines Vektors, wird durch den Betrag definiert. Das heißt, die Ankathete entspricht dem Betrag von dem Vektor FS und die Hypotenuse, die längste Seite im Dreieck, ist die Länge des Vektors F. Nun kann man die Arbeit ausrechnen, die Michael beim Ziehen des Wagens ausübt. Ja, und Arbeit verrichten muss, die Arbeit, die er verrichten muss. Die entspricht der Multiplikation zwischen der Kraft, die in Wegrichtung ausgeübt wird, und der Länge des Weges. Also in dem Falle die Beträge von FS und S. Nun kann man FS mithilfe dieser Formel hier oben umformen in |F| * cos(α). Ich vertausche cos(α) und S an dieser Stelle. Das kann ich machen, weil ich mit reellen Zahlen hantiere. Diese Gleichung definieren wir jetzt als Skalarprodukt. Das möchte ich einmal hier vorführen. Also, die Definition des Skalarprodukts. Dazu machen wir uns eine kleine Zeichnung, und zwar nehmen wir hier den Vektor a und hier den Vektor b und dann wird hier ein Winkel α aufgespannt und dann gilt das Skalarprodukt von a und b, man macht einfach einen normalen Punkt dazwischen. Das Skalarprodukt ist eben cos(α) * |a| * |b|. Da hier ein Cosinus in der Formel vorkommt, nennt man das auch Cosinusform. Um den Winkel α jetzt zu berechnen, müssen wir also nur noch wissen, wie der Betrag eines Vektors definiert ist und wie man das Skalarprodukt noch anders schreiben kann. Und das geht wie folgt. Man kann das Skalarprodukt auch nur mithilfe der Koordinaten von a und b berechnen. Und die Definition sieht so aus: a * b, beziehungsweise das Skalarprodukt, ist a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3. Weil hier lediglich die Koordinaten benutzt werden, nennt man diese eben Koordinatenform. Um jetzt den Winkel α zu berechnen, muss man nur diese Gleichung hier umstellen und diese beiden Zahlen dividieren. Also a * b geteilt durch die Beträge. Und das möchte ich dir gleich zeigen. Jetzt möchte ich mit dir zusammen den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen. Dazu brauchen wir folgende Formel: cos(α) = , das einzige was wir machen müssen, ist diese Beträge auf die andere Seiten holen und das geht ganz einfach durch die Division, das heißt cos(α) = (a * b)/(|a| * |b|). Das einzige, was wir jetzt noch brauchen, ist der Betrag von einem Vektor. Weil, wir wissen schon, wie wir das Skalarprodukt mithilfe der Koordinatenform bilden können. Das möchte ich einmal noch kurz hier wiederholen. Definition vom Betrag. Dazu nehmen wir einen Vektor (a1 a2 a3). Dann gilt: |a| = Wurzel(a1² + a2² + a3²). Jetzt haben wir alles zusammen, um diesen Winkel α zu berechnen. Ich möchte jetzt mit dir zusammen ein konkretes Beispiel durchrechnen, um dir zu zeigen wie man diese Formel anwendet. Wir nehmen den Vektor a (1 2 1) und den Vektor b (1 -2 4). Dann gilt für den Winkel α, der zwischen diesen beiden Vektoren aufgespannt wird: cos(α) = ((1 2 1) * (1 -2 4))/(|(1 2 1)| * |(1 -2 4|). So. Wenn wir das einmal ausrechnen, wir machen einen Äquivalenzpfeil, weil das zwei Gleichungen sind, dann kommt hier oben nach der Koordinatenform 1 * 1 + 2 * (-2) + 1 * 4 = 1. 1 - 4 + 4. Und nach der Definition, die wir hier vorne hingeschrieben haben, gilt jetzt also hierfür: Das ist Wurzel(6) * Wurzel(21), ergibt insgesamt 126. So, gleich 1/Wurzel(126). Und als letzten Schritt müssen wir nur noch den cos-1, beziehungsweise arccos bilden und dann erhalten wir schließlich den Winkel α. Das macht ihr einfach mit einem Taschenrechner. Und dann kommt da raus 84,9°. Als letztes möchte ich mit dir einen Spezialfall des Skalarprodukts besprechen. Als letztes wollen wir uns den Spezialfall betrachten. Und zwar nehmen wir zwei Vektoren a und b und der Winkel zwischen den beiden, wir ihr es wahrscheinlich schon ahnen werdet, ist 90°. Wenn ihr cos(90°) in euren Taschenrechner eingebt, dann kommt 0 heraus. Das hat eine besondere Funktion bei der Cosinusform, beziehungsweise beim Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren a und b. Wenn man jetzt also das Skalarprodukt von a und b berechnet, ist das jetzt also nach Definition cos(90°) * |a| * |b|. Und jetzt wissen wir, dass das hier schon null ist, dann ist die Länge der beiden Vektoren a und b völlig egal. Das Skalarprodukt von beiden ist also null. Das gibt eine besondere Eigenschaft, die man Orthogonalität nennt. Ihr werdet den Begriff "senkrecht“ wahrscheinlich schon kennen. Das bedeutet, die beiden Vektoren a und b sind senkrecht, beziehungsweise orthogonal zueinander, genau dann, wenn das Skalarprodukt gleich null ist. Jetzt möchte ich nochmal mit dir wiederholen, was du heute alles gelernt hast: Wir haben am Anfang die Fragestellung gehabt, wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kann. Dazu brauchten wir die Definition des Skalarprodukts, die wir anhand von Sebastian und Michael kennengelernt haben. Die Formel sehr ihr dort oben. Danach haben wir gesehen, dass man das Skalarprodukt auch in der Koordinatenform schreiben kann und als nächstes haben wir dann die Formel, die Cosinusform umgewandelt und gesehen, dass man den Winkel α mithilfe des Skalarprodukts und den Beträgen darstellen kann. Wir haben die Definition des Betrags wiederholt und so kann man den Winkel α eben bestimmen. Als letztes haben wir uns gerade den Spezialfall Orthogonalität angeguckt, wo der Winkel zwischen den beiden Vektoren 90° ist und da ist das Skalarprodukt ganz einfach null. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Sebastian, Michael und ich sagen ciao und bis zum nächsten Mal. Euer Giuliano.

8 Kommentare
  1. Default

    Das "Mysterium" mit der Glasscheibe ist doch gar nicht so schwer! Giuliano steht hinter der Scheibe und schreibt ganz normal von links nach rechts - aus unserer Sicht von rechts nach links. Wir würden somit alle Aufzeichnungen spiegelverkehrt sehen. Das Video wird bei der Produktion einfach an der Senkrechten gespiegelt. Somit sehen wir Giuliano zwar seitenverkehrt (was aber bei jemandem, den man nicht gut kennt, nicht weiter auffällt), den Text aber richtig herum.
    So sieht es aber voll cool aus, wie er anscheinend ganz flüssig spiegelverkehrt schreibt.

    Von Ma.R, vor etwa 2 Jahren
  2. Img 20151011 002133

    sehr toll gemacht! Aber könnte bitte mal jemand das Mysterium mit der Glasscheibe etc. aufklären? ;)

    Von Juliane G., vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Wirklich prima erklärt! Sehr anschaulich und übersichtlich. Hier merkt man deutlich, dass das video didaktisch geplant wurde.

    Von H Kunkel, vor fast 3 Jahren
  4. Giuliano test

    @C Weber2:
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    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Bei mir hängt das Video ab 2:17

    Von C Weber2, vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    super gut! Hat mir sehr geholfen.

    Von Kartoffel007, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Wie haben Sie das Video gedreht? Haben Sie auf einem Tafel Glas von rechts nach links geschrieben ? oder Haben Sie einen Spiegel vor Ihnen gestellt? Ich freue mich auf Ihre Antwort.

    Von Gar Ga Jos, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    wunderbar erklärt ! (-:

    Von N Schaefer92, vor fast 4 Jahren
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