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Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken

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Giuliano Murgo
Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken

Hallo! Iin diesem Video zeige ich dir, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum (R³) mit Hilfe des Skalarprodukts ausrechnen kann. Die Idee ist, dass man das Dreieck zu einem Parallellogramm erweitert. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms im Raum ist einfach mit der Höhe und einer Seite des Parallellogramms auszurechnen. Diese Formel formen wir mittels des Skalarprodukts um. Außerdem brauchen wir für die Umformung die trigonometrischen Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck, wie z.B. cos(φ)²+sin(φ)²=1 für einen beliebigen Winkel φ. Am Ende erhalten wir eine einfache Formel ohne die Höhe, sondern nur mit dem Skalarprodukt und den Beträgen der beiden Vektoren, die das Dreieck aufspannen. Viel Spaß und Erfolg beim Lernen!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Ich muss mich da leider Gesine anschließen, fachliche Fehler in einem Lernvideo für die Oberstufe - auch wenn es sich um einen kleinen handeln mag - sind nicht akzeptabel, zumal wenn man von den Schüler*innen dafür Geld haben möchte.

    Außerdem ist die Art, wie 1-cos²(α)=sin²(α) den Schüler*innen präsentiert wird, nicht hilfreich, wenn das Ziel ein wirkliches Verständnis für die Zusammenhänge ist. Vielleicht ließe sich noch ein Link auf ein weiteres Video einbauen, das den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und Satz des Pythagoras am Einheitskreis erklärt.

    Von Christian Requardt, vor etwa einem Jahr
  2. Fänt ja schon falsch an: der Punkt wird nicht an der gegenüberliegenden Dreieckseite gespiegelt, dann würde man nämlich einen Drachen erhalten und kein parallelogramm, sondern man muss den Punkt am Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite spiegeln...
    hab dann nicht mehr alles angeschaut, weil der Anfang schon enttäuschend war.

    Von Gesine 9, vor etwa einem Jahr
  3. @Ursusglinski: Das geht leider nicht so einfach. Wenn du das Skalarprodukt von Vektor(a) und Vektor(h) betrachtest, bekommst du Null heraus, weil beide Vektoren orthogonal zueinander sind.
    Wenn du die Längen dieser beiden Vektoren kennst, dann kannst du den Flächeninhalt folgendermaßen berechnen: 1/2*Grundseite*Höhe. Leider ist hier die Höhe nicht gegeben; deshalb ist der Lösungsweg etwas komplizierter.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 5 Jahren
  4. Kann man nicht einfach die vektoren für a und h miteinander multiplizieren? das hier ist so kompliziert... Aber super erklärt und voll die angenehme Stimme :)

    Von Juliane G., vor mehr als 5 Jahren
  5. Danke. Sehr gutes Video

    Von N Huettemann, vor etwa 6 Jahren
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Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms an.

    Tipps

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

    Es gilt der trigonometrische Pythagoras: $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

    Ein Spezialfall wäre der, in welchem die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht stehen. Das heißt $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.

    Ein weiterer Spezialfall sind kollineare Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Dann hat das Parallelogramm den Flächeninhalt $0$.

    Es gilt $|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2=(\vec{a}\cdot \vec{b})^2$.

    Lösung

    Die Fläche eines Parallelogramms ist gegeben durch das Produkt einer Seite und der dazugehörigen Höhe.

    $A_P=|\vec{a}|\cdot |\vec{h}|$.

    Da der Sinus des spitzen Winkels $\alpha$ gegeben ist durch $\sin(\alpha)=\frac{|\vec{h}|}{|\vec{b}|}$ gilt:

    $A_P=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\alpha)=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2 \cdot \sin^2(\alpha)}$.

    Es gilt der trigonometrische Pythagoras: $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$:

    $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2 \cdot (1-\cos^2(\alpha))}$.

    Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist $\vec{a}\cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$. Dies ist äquivalent zu

    $\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$. Dies kann in den obigen Term eingesetzt werden:

    $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2 \cdot \left(1-\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\right)^2\right)}$

    und damit ist die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms ($ABDC$), welches durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet wird, bewiesen. Sie lautet also:

    $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

    Man kann sich die Reihenfolge der Subtraktion dadurch einprägen, dass im Falle der Orthogonalität der beiden Vektoren der Subtrahend $0$ wäre. Somit würde unter der Wurzel bei umgekehrter Subtraktion ein negativer Term stehen.

    Die Klammersetzung bei dem Skalarprodukt ist wichtig, da

    $(\vec{a})^2\cdot (\vec{b})^2=|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2$,

    das heißt, unter der Wurzel $\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a})^2\cdot (\vec{b})^2}$ steht $0$.

  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

    Tipps

    Zur Berechnung des Verbindungsvektors bildest du die Differenz des Endvektors und des Anfangsvektors.

    Vektoren werden subtrahiert, indem sie koordinatenweise subtrahiert werden.

    Für die Länge eines Vektors im dreidimensionalen Raum gilt:

    $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

    Somit lässt sich $|\vec{a}|^2$ berechnen durch $|\vec{a}|^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2$.

    Für ein Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ im $\mathbb{R}^3$ gilt:

    $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$.

    Lösung

    Um die oben angegebene Formel

    $A_{ABC}= \frac12 \sqrt{|\vec{AB}|^2\cdot |\vec{AC}|^2-(\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$

    verwenden zu können, müssen zunächst die entsprechenden Verbindungsvektoren berechnet werden.

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 5\\5\\0 \end{pmatrix};~\vec{AC}=\begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}$

    Dabei wird koordinatenweise die Differenz von Endvektor und Anfangsvektor berechnet.

    Nun kann man die Länge der jeweiligen Vektoren im Quadrat und auch das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen:

    $|\vec{AB}|^2=\left|\begin{pmatrix} 5\\5\\0 \end{pmatrix}\right|^2=5^2+5^2+0^2=50;~|\vec{AC}|^2=\left|\begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}\right|^2=2^2+5^2+2^2=33$

    $\vec{AB} \cdot \vec{AC}=\begin{pmatrix} 5\\5\\0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}=5 \cdot 2+5\cdot5+0\cdot2=35$

    Somit ist der gesuchte Flächeninhalt

    $A_{ABC}=\frac12\sqrt{50 \cdot 33-35^2}≈10,3$ [FE].

    „[FE]“ steht dabei für Flächeneinheiten. Diese Angabe wird verwendet, wenn in der Aufgabenstellung keine Maßangaben vorgegeben sind.

  • Berechne das Skalarprodukt und die Länge der Vektoren.

    Tipps

    Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte der jeweiligen Koordinaten der beiden Vektoren.

    Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten.

    Vergiss bitte nicht die Klammern beim Quadrieren negativer Zahlen, denn $(-1)^2=1$ aber $-1^2=-1$.

    Lösung

    Skalarprodukt und Länge sind wie folgt definiert:

    $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$ und

    $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

    Somit ist

    $\left|\begin{pmatrix} -4\\0\\-3 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{(-4)^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5$

    $\left|\begin{pmatrix} 8\\0\\-6 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{8^2+0^2+(-6)^2}=\sqrt{100}=10$

    $\begin{pmatrix} -4\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\0\\-6 \end{pmatrix}=(-4)\cdot 8+0\cdot0+(-3)\cdot(-6)=-14$.

  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

    Tipps

    Zur Berechnung des Verbindungsvektors zweier Punkte bildest du die Differenz aus dem Ortsvektor des Endpunktes und dem des Anfangspunktes.

    Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks lautet:

    $A=\frac12\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$.

    Lösung

    Zur Berechnung des Flächeninhaltes benötigt man die Formel

    $A=\frac12\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$.

    Also müssen

    1. zwei Verbindungsvektoren und
    2. von diesen beiden Verbindungsvektoren jeweils die Länge im Quadrat sowie
    3. das Skalarprodukt berechnet werden.
    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} -3\\2\\2 \end{pmatrix}$ und

    $\vec{AC}=\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$.

    Dabei wird jeweils von dem Ortsvektor des Endpunktes der des Anfangspunktes subtrahiert. Die Längen dieser Vektoren (jeweils quadriert) sind:

    $\left|\begin{pmatrix} -3\\2\\2 \end{pmatrix}\right|^2=(-3)^2+2^2+2^2=17$

    $\left|\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}\right|^2=(-1)^2+1^2+0^2=2$.

    Das Skalarprodukt ergibt sich wie folgt:

    $\begin{pmatrix} -3\\2\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}=-3\cdot(-1)+2\cdot1+2\cdot0=5$.

    Damit kann die Formel angewendet werden

    $A_{ABC}=\frac12 \sqrt{17\cdot2-5^2}=\frac12 \sqrt{9}=1,5$ [FE].

  • Stelle die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks auf.

    Tipps

    Spezialfälle bei der Formel sind

    • die Orthogonalität und
    • die Kollinearität der Vektoren.

    Sind die Vektoren orthogonal, gilt $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.

    Sind die Vektoren kollinear, gilt $|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2=(\vec{a} \cdot \vec{b})^2$.

    Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms $(ABDC)$, welches durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet wird, lautet $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms $(ABDC)$, welches durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet wird, lautet

    $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

    Da das Dreieck den halben Flächeninhalt des Parallelogramms hat, ist der Flächeninhalt gegeben durch

    $A_{ABC}=\frac12 A_P=\frac12 \sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

  • Wende anhand des Dreiecks $ABC$ eine andere Formel zur Berechnung des Flächeninhalts an.

    Tipps

    $\vec{a}=\vec{AB}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}$

    und

    $\vec{b}=\vec{AC}= \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix}$.

    Die Länge eines Vektor ist

    $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

    Lösung

    $\vec{a}=\vec{AB}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}$

    und

    $\vec{b}=\vec{AC}= \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix}$.

    Die Berechnung des Vektorproduktes ist, mit etwas Übung, gut durchzuführen:

    $\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot 1-(-1)\cdot(-1)\\(-1)\cdot (-2)-1\cdot1\\1\cdot(-1)-1\cdot (-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1 \\1 \end{pmatrix}$

    Die Länge dieses Vektors ist

    $\left|\begin{pmatrix}0\\1 \\1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}≈1,4$.

    Damit ist der Flächeninhalt des betrachteten Dreiecks $0,7$ [FE].

    Dieses Ergebnis überprüfen wir mit der Formel $A=\frac12\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$:

    • $|\vec{a}|^2=3$ und $|\vec{b}|^2=6$,
    • $(\vec{a}\cdot \vec{b})^2=(-4)^2=16$.
    • Somit ist $A=\frac12\sqrt{3 \cdot6-16}=\frac12\sqrt{2}\approx 0,7$.

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