Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.6 / 43 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Giuliano Murgo
Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms an.

    Tipps

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

    Es gilt der trigonometrische Pythagoras: $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

    Ein Spezialfall wäre der, in welchem die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht stehen. Das heißt $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.

    Ein weiterer Spezialfall sind kollineare Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Dann hat das Parallelogramm den Flächeninhalt $0$.

    Es gilt $|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2=(\vec{a}\cdot \vec{b})^2$.

    Lösung

    Die Fläche eines Parallelogramms ist gegeben durch das Produkt einer Seite und der dazugehörigen Höhe.

    $A_P=|\vec{a}|\cdot |\vec{h}|$.

    Da der Sinus des spitzen Winkels $\alpha$ gegeben ist durch $\sin(\alpha)=\frac{|\vec{h}|}{|\vec{b}|}$ gilt:

    $A_P=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\alpha)=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2 \cdot \sin^2(\alpha)}$.

    Es gilt der trigonometrische Pythagoras: $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$:

    $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2 \cdot (1-\cos^2(\alpha))}$.

    Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist $\vec{a}\cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$. Dies ist äquivalent zu

    $\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$. Dies kann in den obigen Term eingesetzt werden:

    $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2 \cdot \left(1-\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\right)^2\right)}$

    und damit ist die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms ($ABDC$), welches durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet wird, bewiesen. Sie lautet also:

    $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

    Man kann sich die Reihenfolge der Subtraktion dadurch einprägen, dass im Falle der Orthogonalität der beiden Vektoren der Subtrahend $0$ wäre. Somit würde unter der Wurzel bei umgekehrter Subtraktion ein negativer Term stehen.

    Die Klammersetzung bei dem Skalarprodukt ist wichtig, da

    $(\vec{a})^2\cdot (\vec{b})^2=|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2$,

    das heißt, unter der Wurzel $\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a})^2\cdot (\vec{b})^2}$ steht $0$.

  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

    Tipps

    Zur Berechnung des Verbindungsvektors bildest du die Differenz des Endvektors und des Anfangsvektors.

    Vektoren werden subtrahiert, indem sie koordinatenweise subtrahiert werden.

    Für die Länge eines Vektors im dreidimensionalen Raum gilt:

    $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

    Somit lässt sich $|\vec{a}|^2$ berechnen durch $|\vec{a}|^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2$.

    Für ein Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ im $\mathbb{R}^3$ gilt:

    $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$.

    Lösung

    Um die oben angegebene Formel

    $A_{ABC}= \frac12 \sqrt{|\vec{AB}|^2\cdot |\vec{AC}|^2-(\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$

    verwenden zu können, müssen zunächst die entsprechenden Verbindungsvektoren berechnet werden.

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 5\\5\\0 \end{pmatrix};~\vec{AC}=\begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}$

    Dabei wird koordinatenweise die Differenz von Endvektor und Anfangsvektor berechnet.

    Nun kann man die Länge der jeweiligen Vektoren im Quadrat und auch das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen:

    $|\vec{AB}|^2=\left|\begin{pmatrix} 5\\5\\0 \end{pmatrix}\right|^2=5^2+5^2+0^2=50;~|\vec{AC}|^2=\left|\begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}\right|^2=2^2+5^2+2^2=33$

    $\vec{AB} \cdot \vec{AC}=\begin{pmatrix} 5\\5\\0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}=5 \cdot 2+5\cdot5+0\cdot2=35$

    Somit ist der gesuchte Flächeninhalt

    $A_{ABC}=\frac12\sqrt{50 \cdot 33-35^2}≈10,3$ [FE].

    „[FE]“ steht dabei für Flächeneinheiten. Diese Angabe wird verwendet, wenn in der Aufgabenstellung keine Maßangaben vorgegeben sind.

  • Berechne das Skalarprodukt und die Länge der Vektoren.

    Tipps

    Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte der jeweiligen Koordinaten der beiden Vektoren.

    Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten.

    Vergiss bitte nicht die Klammern beim Quadrieren negativer Zahlen, denn $(-1)^2=1$ aber $-1^2=-1$.

    Lösung

    Skalarprodukt und Länge sind wie folgt definiert:

    $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$ und

    $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

    Somit ist

    $\left|\begin{pmatrix} -4\\0\\-3 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{(-4)^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5$

    $\left|\begin{pmatrix} 8\\0\\-6 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{8^2+0^2+(-6)^2}=\sqrt{100}=10$

    $\begin{pmatrix} -4\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\0\\-6 \end{pmatrix}=(-4)\cdot 8+0\cdot0+(-3)\cdot(-6)=-14$.

  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

    Tipps

    Zur Berechnung des Verbindungsvektors zweier Punkte bildest du die Differenz aus dem Ortsvektor des Endpunktes und dem des Anfangspunktes.

    Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks lautet:

    $A=\frac12\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$.

    Lösung

    Zur Berechnung des Flächeninhaltes benötigt man die Formel

    $A=\frac12\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$.

    Also müssen

    1. zwei Verbindungsvektoren und
    2. von diesen beiden Verbindungsvektoren jeweils die Länge im Quadrat sowie
    3. das Skalarprodukt berechnet werden.
    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} -3\\2\\2 \end{pmatrix}$ und

    $\vec{AC}=\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$.

    Dabei wird jeweils von dem Ortsvektor des Endpunktes der des Anfangspunktes subtrahiert. Die Längen dieser Vektoren (jeweils quadriert) sind:

    $\left|\begin{pmatrix} -3\\2\\2 \end{pmatrix}\right|^2=(-3)^2+2^2+2^2=17$

    $\left|\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}\right|^2=(-1)^2+1^2+0^2=2$.

    Das Skalarprodukt ergibt sich wie folgt:

    $\begin{pmatrix} -3\\2\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}=-3\cdot(-1)+2\cdot1+2\cdot0=5$.

    Damit kann die Formel angewendet werden

    $A_{ABC}=\frac12 \sqrt{17\cdot2-5^2}=\frac12 \sqrt{9}=1,5$ [FE].

  • Stelle die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks auf.

    Tipps

    Spezialfälle bei der Formel sind

    • die Orthogonalität und
    • die Kollinearität der Vektoren.

    Sind die Vektoren orthogonal, gilt $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.

    Sind die Vektoren kollinear, gilt $|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2=(\vec{a} \cdot \vec{b})^2$.

    Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms $(ABDC)$, welches durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet wird, lautet $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms $(ABDC)$, welches durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet wird, lautet

    $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

    Da das Dreieck den halben Flächeninhalt des Parallelogramms hat, ist der Flächeninhalt gegeben durch

    $A_{ABC}=\frac12 A_P=\frac12 \sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

  • Wende anhand des Dreiecks $ABC$ eine andere Formel zur Berechnung des Flächeninhalts an.

    Tipps

    $\vec{a}=\vec{AB}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}$

    und

    $\vec{b}=\vec{AC}= \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix}$.

    Die Länge eines Vektor ist

    $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

    Lösung

    $\vec{a}=\vec{AB}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}$

    und

    $\vec{b}=\vec{AC}= \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix}$.

    Die Berechnung des Vektorproduktes ist, mit etwas Übung, gut durchzuführen:

    $\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot 1-(-1)\cdot(-1)\\(-1)\cdot (-2)-1\cdot1\\1\cdot(-1)-1\cdot (-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1 \\1 \end{pmatrix}$

    Die Länge dieses Vektors ist

    $\left|\begin{pmatrix}0\\1 \\1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}≈1,4$.

    Damit ist der Flächeninhalt des betrachteten Dreiecks $0,7$ [FE].

    Dieses Ergebnis überprüfen wir mit der Formel $A=\frac12\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$:

    • $|\vec{a}|^2=3$ und $|\vec{b}|^2=6$,
    • $(\vec{a}\cdot \vec{b})^2=(-4)^2=16$.
    • Somit ist $A=\frac12\sqrt{3 \cdot6-16}=\frac12\sqrt{2}\approx 0,7$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

8.264

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.941

Lernvideos

37.080

Übungen

34.327

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden