Was sind Funktionen? – Überblick

Funktionen einfach erklärt

Dabei werden in der Regel folgende Schreibweisen verwendet:

• Funktionsgleichung: $~ f(x) = x^3 - 7$
• Abbildungsvorschrift: $~ f{:}~ x \mapsto x^3 - 7$
• Definitionsmenge: $~ \mathbb{D}$
• Wertemenge: $~ \mathbb{W}$
• Unabhängige Variable: $~ x \in \mathbb{D}$
• Funktionswert oder abhängige Variable: $~ f(x)$ oder $y \in \mathbb{W}$

Entscheidend ist, dass die Zuordnung der Funktionswerte $f(x)$ für jedes $x$ aus der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ eindeutig ist. Das ist an einer grafischen Darstellung im Koordinatensystem besonders gut zu erkennen. Hier siehst du einen Graphen, bei dem die Funktionswerte nicht eindeutig zugeordnet werden, er gehört daher nicht zu einer Funktion.

Hinweis: Es kann bei einer Funktion aber durchaus sein, dass mehrere $x$-Werte denselben Funktionswert haben. Wichtig ist nur, dass für jeden $x$-Wert nur ein zugehöriger Funktionswert existiert.

Beispiele für Funktionen

Eine Funktion ist eine Zuordnung zwischen zwei Größen. Ein Beispiel dafür ist der Kauf von mehreren Muffins in einem Geschäft. Wenn ein Muffin $2\,€$ kostet, können wir uns den folgenden Zusammenhang zwischen den Größen Anzahl und Preis überlegen:

$\quad$ Anzahl an Muffins $\cdot$ $2\,€$ $=$ Gesamtpreis dieser Anzahl an Muffins in$\,€$

Dies ist ein klassisches Beispiel für eine proportionale Zuordnung. Interessiert uns nun der Gesamtpreis von $7$ Muffins, erhalten wir ihn direkt aus unserer Gleichung:

$\quad 7\cdot 2\,€ = 14\,€$

Wir wollen uns das Prinzip der eindeutigen Zuordnung mit zwei weiteren Beispielen veranschaulichen.

Funktionen – Beispiel Geburtstag

Betrachten wir zum Beispiel eine Gruppe von fünf Personen. Man kann jeder dieser Personen einen Geburtstag zuordnen. Wir schreiben Namen und Geburtstag zunächst in einer Tabelle auf:

Die fünf Personen sind die Definitionsmenge und die Geburtstage die Wertemenge. Die Funktion „Geburtstag von“ ordnet jeder Person ihren Geburtstag zu.
Hier erkennen wir eine wichtige Eigenschaft von Funktionen. Eine Funktion weist jedem Element aus der Definitionsmenge genau ein Element aus der Wertemenge zu:
Jede der Personen hat nur einen Geburtstag.
Ein Paar aus Person und Geburtstag bildet ein Wertepaar. In die andere Richtung gilt das nicht – es kann sein, dass ein Element aus der Wertemenge mehreren Elementen aus der Definitionsmenge zugeordnet wird. Zum Beispiel haben sowohl Dorit als auch Agnes am 18. März Geburtstag.

Funktionen – Beispiel Quadrat einer Zahl

In der Mathematik werden meistens Funktionen betrachtet, die einer Zahl eine andere Zahl zuordnen. Eine Funktion kann zum Beispiel einer Zahl ihre Quadratzahl zuordnen:

Man kann die Quadratzahl jeder reellen Zahl bilden. Wenn wir den Definitionsbereich nicht selbst einschränken, entspricht er also der Menge aller reellen Zahlen. Auch die Wertemenge entspricht dann der Menge aller reellen Zahlen. Man schreibt dafür auch: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ und $\mathbb{W} = \mathbb{R}$. Die Funktion selbst wird häufig mit $f$ bezeichnet. Weil die Funktion in diesem Beispiel von den reellen Zahlen auf die reellen Zahlen abbildet, schreibt man auch:

$f{:}~ \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$

Das ist aber natürlich noch nicht die vollständige Schreibweise, denn sie beinhaltet nicht die Abbildungsvorschrift. Wir bilden für jede Zahl $x$ aus dem Wertebereich das Quadrat $x^{2}$. Das können wir folgendermaßen aufschreiben:

$f{}:~ x \mapsto x^{2}$

Auf diese Weise kannst du jede mathematische Funktion aufschreiben.

Eine weitere Möglichkeit, eine Funktion aufzuschreiben, ist die Funktionsgleichung. Sie besteht aus dem Funktionswert und dem Funktionsterm:

$f(x) = x^{2}$

$f(x)$ bezeichnen wir als Funktionswert und $x^{2}$ als Funktionsterm. Wenn du die Funktion grafisch darstellen willst und ein Koordinatensystem mit $x$- und $y$-Achse nutzt, kannst du auch schreiben:

$y = x^{2}$

Funktionen – Nutzen

Funktionen sind eines der wichtigsten mathematischen Werkzeuge. Sie finden nicht nur in der Mathematik Anwendung, sondern in nahezu allen Wissenschaften. Man kann mit ihnen beispielsweise physikalische Vorgänge, wirtschaftliche Zusammenhänge oder biologische Wachstumsprozesse beschreiben. Wichtig ist dabei stets, die passende Funktionsgleichung zu kennen.

Funktionen – Graphen im Koordinatensystem

Für die Variable $x$ können die verschiedensten Werte in die Funktionsgleichung $f(x)=y$ eingesetzt werden. Die berechneten $y$-Werte zu den $x$-Werten können in einer Tabelle festgehalten werden. Diese wird Wertetabelle genannt. Du erhältst durch sie einen ersten kleinen Überblick über deine Funktion.

Oft ist es gewünscht, eine Funktion im Koordinatensystem grafisch darzustellen. Die grafische Darstellung der Funktion wird Funktionsgraph genannt.

Es gibt verschiedene Arten von Funktionen, die sich im Aufbau des Funktionsterms und dem Verlauf des Funktionsgraphen unterscheiden. Die wichtigsten Funktionstypen, die dir im Lauf deiner Schullaufbahn begegnen werden, wollen wir uns nun einmal anschauen.

Funktionstypen

Lineare Funktionen

Dabei gibt der Faktor $m$ vor der unabhängigen Variable die Steigung der linearen Funktion an. Der Parameter $b$ entspricht der y-Koordinate des Schnittpunkts mit der $y$-Achse. Er wird $y$-Achsenabschnitt genannt.
Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Ist die Steigung $m$ positiv, steigt die Gerade. Ist $m$ negativ, dann fällt die Gerade.

Quadratische Funktionen und Parabeln

Der Funktionsterm enthält hier die Potenz $x^2$, jedoch keine höheren Potenzen von $x$. Die Graphen von quadratischen Funktionen heißen Parabeln. Die einfachste quadratische Funktion ist $f(x) = x^2$, die sogenannte Normalparabel.

Jede Parabel hat einen höchsten oder tiefsten Punkt, der Scheitelpunkt genannt wird. Die Funktionsgleichung kann auch in der Scheitelpunktform angegeben werden, die die Koordinaten des Scheitels $S(d \vert e)$ enthält:
$f(x) = a(x - d)^2 + e$

Potenzfunktionen

Der Funktionsterm einer Potenzfunktion ist eine ganzzahlige Potenz der Variable $x$. Der Verlauf des Funktionsgraphen hängt dabei davon ab, ob der Exponent $n$ gerade oder ungerade bzw. positiv oder negativ ist:

• Für positive gerade Exponenten ähnelt der Verlauf beispielsweise dem einer Parabel.
• Ist der Exponent negativ, sprechen wir von einer Hyperbel.
• Beispiele für den grafischen Verlauf von Potenzfunktionen mit ungeraden positiven Exponenten siehst du in der Abbildung.

Wurzelfunktionen

Durch Anwendung der Potenzgesetze könne wir eine Wurzelfunktion auch als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben:

$\quad f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Der Graph einer Wurzelfunktion verläuft im ersten Quadranten des Koordinatensystems, da unter der Wurzel keine negativen Zahlen stehen dürfen ($\mathbb{D} = \mathbb{R}_0^+$) und auch das Ergebnis nicht negativ wird ($\mathbb{W} = \mathbb{R}_0^+$).

Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt, da der Funktionsterm aus einem Polynom besteht. Dabei sind die einzelnen Summanden Potenzen von $x$, die mit einem Koeffizienten $a$ multipliziert werden. Der höchste Exponent $n$, der im Funktionsterm vorkommt, heißt Grad der Funktion, er ist zusammen mit dem Koeffizienten $a_n$ entscheidend für den Verlauf des Funktionsgraphen.

Hier siehst du den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grads (blau) und ein Polynom vom Grad $4$ (rot).

Hinweis: Auch quadratische Funktionen (Grad $2$) und lineare Funktionen (Grad $1$) gehören zu den ganzrationalen Funktionen.

Gebrochen rationale Funktionen

Bei einer gebrochen rationalen Funktion steht die Variable $x$ im Nenner des Funktionsterms. Da nicht durch $0$ geteilt werden darf, sind die Nullstellen des Nenners bei gebrochen rationalen Funktionen nicht Teil der Definitionsmenge, wir nennen sie Definitionslücken. Im Funktionsgraphen kann eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote führen. Neben dem Definitionsbereich sind der Grad des Zählers und Nenners bestimmend für den Verlauf des Funktionsgraphen.

Exponentialfunktionen

Der Parameter $b$ entspricht dem Anfangswert. Der Graph jeder Exponentialfunktion geht durch den Punkt $(0 \vert b)$. Die Basis $a$ wird auch Wachstumsfaktor genannt. Dabei gilt:

• Für $a \gt 1$ beschreibt die Funktion exponentielles Wachstum (Zunahmen).
• Für $a \lt 1$ beschreibt die Funktion exponentiellen Zerfall (Abnahme).

Hier siehst du, wie sich die Basis $a$ auf den grafischen Verlauf auswirkt.

Eine besondere Exponentialfunktion ist die sogenannte natürliche Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ mit der eulerschen Zahl $e \approx 2{,}718$ als Basis.

Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion hat eine Basis $b$, die Variable $x$ ist das Argument des Logarithmus. Da Logarithmen nur für positive Argumente definiert sind, ist der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+$. Dadurch ergibt sich die $y$-Achse als senkrechte Asymptote. Der Verlauf des Graphen wird durch den Wert der Basis $b$ bestimmt.

Eine besondere Rolle spielt der sogenannte natürliche Logarithmus $\ln = \log_{e}$ mit der eulerschen Zahl $e \approx 2{,}718$ als Basis. Die entsprechende Funktion $f(x) = \ln(x)$ ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

Trigonometrische Funktionen

Durch die trigonometrischen Funktionen werden Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken beschrieben. Die Funktionsgraphen verlaufen periodisch und sind bei Sinus und Cosinus nach oben und unten begrenzt. Aufgrund ihrer Periodizität eignen sie sich beispielsweise zur Modellierung von Schwingungen in der Physik.

Manipulation von Funktionsgraphen

Die Graphen von Grundfunktionen wie $x^2$, $e^x$ oder $\sin(x)$ können durch verschiedene Parameter manipuliert werden. Ein Funktionsgraph kann dadurch im Koordinatensystem verschoben, gestreckt oder gestaucht und an einer der Koordinatenachsen gespiegelt werden.

Wir wollen im Folgenden betrachten, wie sich Änderungen im Funktionsterm auf den Funktionsgraphen auswirken.

Verschieben in $x$- und $y$-Richtung

Die Addition einer Konstanten im Funktionsterm bewirkt eine Verschiebung des Funktionsgraphen in Richtung einer Koordinatenachse. Dabei gilt:

Hier siehst du, wie sich die Addition verschiedener Werte im Funktionsterm auf den Graphen der Normalparabel $x^2$ auswirkt.

Stauchung, Streckung und Spiegelung

Die Multiplikation der Variablen mit einer Konstanten bewirkt eine Stauchung oder Streckung des Funktionsgraphen. Ist der Wert negativ, wird der Graph zudem an der $x$-Achse gespiegelt. Dabei gilt:

Hier siehst du die Auswirkung des Parameters $a$ in $a \cdot x^2$ auf den Graphen der Normalparabel $x^2$ in Grün.

Der gelbe Graph ist gestaucht. Er gehört zu $0{,}5x^2$ mit $a = 0{,}5 < 1$.
Der rötliche Graph ist gestreckt. Er gehört zu $2x^2$ mit $a = 2 > 1$.
Der blaue Graph ist an der $x$-Ache gespiegelt. Er gehört zu $-x^2$ mit $a = -1$.

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ einer Funktion $f(x)$ vertauscht die abhängige Variable $y$ und die unabhängige Variable $x$ der Funktion. Sie kann nur dann gebildet werden, wenn sich das Monotonieverhalten der Funktion im Definitionsbereich nicht ändert (Kriterium für die Umkehrbarkeit). Das bedeutet, die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich entweder monoton steigend oder monoton fallend.
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht stets dem Wertebereich der Ausgangsfunktion. Die Wertemenge der Umkehrfunktion ist gleich der Definitionsmenge der Ausgangsfunktion:

• $\mathbb{D}_{f^{-1}} = \mathbb{W}_{f}$
• $\mathbb{W}_{f^{-1}} = \mathbb{D}_{f}$

Ein typisches Beispiel ist die natürliche Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ mit der Umkehrfunktion $f^{-1} = \ln(x)$, der natürlichen Logarithmusfunktion.

Grafisch kann die Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten $y = x$ gebildet werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktionen