Grundrechenarten – Multiplikation
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Grundlagen zum Thema Grundrechenarten – Multiplikation
Was ist Multiplikation?
Königin Ameisabeth hat ein großes Bauvorhaben geplant. Aber wie können die kleinen Ameisen immer wieder so gewaltige Vorhaben meistern? Das funktioniert nur, weil die Last auf viele Beine verteilt wird. Aber auf wieviele Beine wird sie verteilt? Um das herauszufinden, schauen wir uns die Multiplikation in Mathematik an.
Wie geht Multiplikation?
Eine Ameise hat sechs Beine. Wieviele Beine haben dann sechs Ameisen? Um das herauszufinden, können wir natürlich Plus rechnen:
$6+6+6+6 = 24$
Vier Ameisen haben zusammen also $24$ Beine. Wir können diese Aufgabe aber auch mit der Multiplikation lösen. Dazu zählen wir zunächst, wie oft die sechs als Summend in der Rechnung vorkommt:
$\underbrace{6+6+6+6}_{\text{4-mal}} = 24$
Die sechs kommt also viermal als Summand in der Addition vor. Die Multiplikation sieht dann folgendermaßen aus:
$4 \cdot 6 = 24$
Daran können wir schon erkennen, was die Multiplikation ist.
- Die Multiplikation entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden.
Schauen wir uns ein weiteres Beispiel zur Multiplikation an. Wir betrachten zunächst die Summe:
$4+4+4+4+4 = 20$
Und schreiben es wie im vorigen Beispiel als Multiplikation:
$\underbrace{4+4+4+4+4}_{\text{5-mal}} = 5 \cdot 4 = 20$
Multiplikation – wichtige Grundbegriffe und Regeln
Genau wie in der Addition gibt es auch bei der Multiplikation spezielle Namen für die einzelnen Zahlen. Die Zahlen, die miteinander multipliziert werden, heißen Faktoren. Das Ergebnis der Multiplikation heißt Produkt:
Die Faktoren der Multiplikation können vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Betrachten wir zum Beispiel unser erstes Beispiel:
$4 \cdot 6 = 24 = 6 \cdot 4$
Das kannst du auch einfach nachrechnen, indem du die beiden Multiplikationen wieder als Summen schreibst:
$4 \cdot 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 = 4 + 4+ 4+ 4+ 4+ 4$
Diese Regel gilt auch, wenn mehr als zwei Zahlen miteinander multipliziert werden. Zum Beispiel:
$2 \cdot 4 \cdot 5 = 5 \cdot 4 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 4 = 40$
Wir merken uns also:
- Die Faktoren der Multiplikation können vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert.
Wir wollen uns noch eine Besonderheit anschauen. Wir haben schon ausgerechnet, dass vier Ameisen zusammen $24$ Beine haben:
$4 \cdot 6 = 24$
Immer, wenn es eine Ameise weniger wird, sind es natürlich auch sechs Beine weniger:
$3 \cdot 6 = 18$
$ 2 \cdot 6 = 12$
$1 \cdot 6 = 6$
Und was passiert, wenn keine Ameise mehr übrig ist? Es also nur noch null Ameisen sind?
$0 \cdot 6 = 0$
Dann sind es auch null Beine. Und das gilt für alles, das mit null multipliziert wird.
- Die Multiplikation mit null ergibt immer null.
Multiplikation – Zusammenfassung
Hier findest du die wichtigsten Punkte noch einmal zusammengefasst.
- Die Multiplikation entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden.
- Die Faktoren der Multiplikation können vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert.
- Die Multiplikation mit null ergibt immer null.
Ergänzend zum Video findest du auf dieser Seite ein Arbeitsblatt mit Übungsaufgaben zur Multiplikation.
Transkript Grundrechenarten – Multiplikation
Sonnenaufgang! Der Betrieb im Ameisenhügel läuft bereits auf Hochtouren. Ameisenkönigin Ameisabeth die Zweite hat ein großes Bauprojekt in Auftrag gegeben. Da muss jeder mit anpacken! Doch wie schaffen es diese kleinen Geschöpfe immer wieder solch erstaunliche Leistungen zu vollbringen? Nun, da sind auf jeden Fall sehr viele Beinchen im Spiel. Schauen wir uns das mal genauer an, und zwar mit Hilfe der „Multiplikation“. So eine Ameise hat sechs Beine, das ist schonmal nicht schlecht. Wie viele Beine haben dann vier Ameisen zusammengenommen? Das sind sechs plus sechs plus sechs plus sechs Beine. Also insgesamt vierundzwanzig. Das ist allerdings ganz schön umständlich gerechnet. Da wir vier Ameisen mit jeweils sechs Beinen haben, können wir anstatt dessen auch vier mal sechs rechnen. Hierbei sprechen wir von einer Multiplikation. In der Addition kommt die sechs VIER mal als Summand vor. Wir erkennen also, dass die Multiplikation nichts anderes als die wiederholte Addition gleicher Summanden ist. Anstatt umständlich lange Additionsaufgaben aufzuschreiben und zu berechnen, können wir also auch die Kurzschreibweise der Multiplikation verwenden. Die beiden Zahlen die wir miteinander mal nehmen, also multiplizieren, nennen wir Faktoren. Das Ergebnis einer Multiplikation nennen wir Produkt. Diese Fachbegriffe solltest du dir gut merken. Sie werden in der Mathematik sehr häufig verwendet. Um die Arbeit noch effizienter zu gestalten, hat Ameisabeth die Zweite die Ameisenkolonie in Spezialeinheiten unterteilt. Pro Einheit sind das drei mal fünf, also fünfzehn Ameisen. Eine weitere Einheit hat sich anders angeordnet. Hier sind es fünf mal drei Ameisen. Doch egal in welcher Formation die Ameisen antreten, es bleiben fünfzehen Ameisen pro Einheit. Wir erkennen, dass wir bei der Multiplikation die Position der beiden Faktoren vertauschen können, ohne dass sich das Produkt ändert. Diese Regel heißt Kommutativgesetz. Wir können also die Faktoren eines Produktes beliebig vertauschen. Genauso wie wir mehr als nur zwei Zahlen addieren können, können wir auch mehr als zwei Zahlen miteinander multiplizieren. Wie viele Beine stehen Ameisabeth denn pro Spezialeinheit zur Verfügung? Hinter dieser Frage verbirgt sich die Multiplikation drei mal fünf mal sechs. Drei mal fünf sind, wie wir bereits wissen, fünfzehn und fünfzehn mal sechs ergibt neunzig. Auch hier können wir die Faktoren beliebig vertauschen, ohne dass sich das Produkt ändert. Es sind und bleiben neunzig Beine. Die Arbeit schreitet gut voran, doch so langsam breitet sich Müdigkeit aus. In dieser Spezialeinheit machen immer mehr Ameisen ein Mittagsschläfchen. Wie wirkt sich das auf die Anzahl zur Verfügung stehender Ameisenbeine aus? Bei drei Ameisen sind es noch achtzehn Beine, bei zwei nur noch zwölf, eine Ameise hat sechs Beine und sobald sich auch diese verabschiedet hat, sind gar keine – also null – Beine übrig. Wir erkennen eine weitere Besonderheit der Multiplikation: Immer wenn wir eine Zahl mit null multiplizieren, ist das Produkt auch gleich null. Dabei ist es egal wie groß andere Faktoren sind und an welcher Stelle sie stehen. Die Multiplikation zweihundertfünfunddreißig mal null mal einundfünfzig können wir schrittweise berechnen. Doch zweihundertfünfunddreißig mal null ist null und null mal einundfünfzig ist ebenfalls null. Bei einer Multiplikation, in der der Faktor null vorkommt, müssen wir daher gar nicht mehr rechnen. Das Produkt wird immer null sein. So jetzt haben wir aber erstmal genug multipliziert. Bevor wir uns anschauen, was aus dem Bauprojekt der Ameisen geworden ist, fassen wir nochmal kurz zusammen. Bei der Multiplikation haben wir es mit einer Kurzschreibweise für wiederholte Addition zu tun. Die Zahlen die miteinander mal genommen, also multipliziert werden, heißen Faktoren. Das Ergebnis der Multiplikation heißt Produkt. Beim Multiplizieren können wir die Position der Faktoren beliebig vertauschen. Diese Regel nennen wir auch Kommutativgesetz. Wenn wir mit null multiplizieren, ist das Produkt außerdem immer gleich null. Mit Hilfe der Multiplikation können wir auch größere Zahlenbeispiele, wie das Bestimmen der Anzahl von Beinen eines Haufens voller Ameisen, leicht berechnen. Und was verbirgt sich jetzt hinter dem großen Bauprojekt von Ameisabeth der Zweiten? Ein Denkmal für sich selbst. Ah ja, ganz schön selbstverliebt.
Grundrechenarten – Multiplikation Übung
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Vervollständige den Text zur Multiplikation.
TippsDas lateinische Wort „commutare“ bedeutet „vertauschen“.
Die Aufgabe $5 \cdot 3$ ist die Kurzschreibweise von $3 + 3 + 3 + 3 +3$.
LösungDie Multiplikation ist eine Kurzschreibweise für die wiederholte Addition des gleichen Summanden. Du kannst also, anstatt immer wieder dieselbe Zahl zu addieren, auch ein Produkt schreiben.
Beispiele:- $3 + 3 + 3 + 3 +3 = \mathbf{5} \cdot 3$
- $15 + 15 + 15 = \mathbf{3} \cdot 15$
- $7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 +7 = \mathbf{7} \cdot 7$
Das Kommutativgesetz bei der Multiplikation besagt, dass du die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauschen kannst. Das Produkt ändert sich dadurch nicht. Das heißt, zwei Multiplikationen mit denselben Faktoren ergeben immer dasselbe Produkt, und zwar unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren.
Beispiele:- $3 \cdot 5 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$
- $4 \cdot 1 \cdot 3 = 3 \cdot 4 \cdot 1 = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12$
- $5 \cdot 10 = 10 \cdot 5 = 50$
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Bestimme die Multiplikationsaufgaben mit dem Produkt $0$.
TippsZum Beispiel gilt $0 \cdot 2 = 0$, da wir keinmal die Zahl $2$ haben.
Die Reihenfolge der Faktoren kannst du in einem Produkt beliebig vertauschen (Kommutativgesetz).
LösungEine Multiplikation, bei der einer der Faktoren $0$ ist, ergibt immer $0$. Dabei ist es egal, an welcher Stelle der Faktor $0$ steht und wie groß die anderen Faktoren sind.
Folgende Aufgaben haben einen Faktor $0$ und somit das Produkt $0$:
- $235 \cdot 0 \cdot 51 = 0$
- $0 \cdot 6 = 0$
- $0 \cdot 51 = 0$
Folgende Aufgaben haben ein Produkt ungleich $0$:- $3 \cdot 5 \cdot 6 = 15 \cdot 6 = 90$
- $3 \cdot 15 = 45$
- $3 \cdot 6 \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90$
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Ermittle die Lösung der Aufgabe mithilfe der Multiplikation.
TippsDu kannst die Faktoren bei der Multiplikation vertauschen. Das hilft dir, wenn die Rechnung in einer anderen Reihenfolge leichter ist.
Wenn $20$ Ameisen mit je zwei Eimern zum Fluss laufen, dann bringen sie insgesamt $20 \cdot 2 = 40$ Eimer Wasser zurück.
LösungDie Anzahl der Ameisen in der Einheit ergibt sich, wenn wir die acht Ameisen pro Reihe mit der Anzahl der Reihen multiplizieren. Es sind also insgesamt $8 \cdot 5 = 40$ Ameisen in der neuen Spezialeinheit.
Da jede der Ameisen zwei Wassereimer schleppen kann, ergibt sich die Anzahl der Eimer, wenn wir die Anzahl der Ameisen noch mit $2$ multiplizieren. Insgesamt rechnen wir:
$5 \cdot 8 \cdot 2 = 40 \cdot 2 = 80$
Das heißt, mit jedem Weg zum Fluss bringt die Einheit $80$ Eimer Wasser für den Vorrat zurück.
Wenn die Einheit dreimal zum Fluss marschiert, dann müssen wir zusätzlich noch mit dem Faktor $3$ multiplizieren und kommen so auf:
$3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 2 = 15 \cdot 8 \cdot 2$
Hier können wir den zweiten und den dritten Faktor, also die $8$ und die $2$, vertauschen, damit die Rechnung einfacher wird:
$15 \cdot 2 = 30$
Daher ergibt sich für $15 \cdot 2 \cdot 8 = 30 \cdot 8 = 240$.
Die neue Spezialeinheit bringt also insgesamt $240$ Eimer Wasser für den Vorrat zurück. -
Bestimme die Multiplikationsaufgaben mit gleichem Produkt.
TippsErinnere dich an das Kommutativgesetz bei der Multiplikation.
Zwei Produkte sind auch dann gleich, wenn du schon einen Teil berechnet hast. Zum Beispiel ist $3 \cdot 5 \cdot 6 = 15 \cdot 6 = 6 \cdot 15$.
LösungWenn dieselben Faktoren multipliziert werden, dann ergibt sich unabhängig von der Reihenfolge dasselbe Produkt. Du kannst also die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauschen oder auch einzelne Faktoren miteinander multiplizieren.
Wir haben die folgenden Produkte:
- $\mathbf{2 \cdot 5 \cdot 3} = \mathbf{10 \cdot 3} = 30$
- $\mathbf{17 \cdot 9} = \mathbf{9 \cdot 17} = 153$
- $\mathbf{3 \cdot 3 \cdot 5} = 9 \cdot 5 = \mathbf{5 \cdot 9} = 45$
- $\mathbf{2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 13} = \mathbf{13 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 7} = 26 \cdot 4 \cdot 7 = 104 \cdot 7 = 728$
- $\mathbf{7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 3} = 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 = \mathbf{3 \cdot 22 \cdot 7} = 66 \cdot 7 = 462$
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Benenne die Elemente einer Multiplikationsaufgabe.
TippsBei einer Multiplikation heißen die Zahlen, die multipliziert werden, Faktoren.
Das Ergebnis einer Multiplikation wird als Produkt bezeichnet.
LösungBei einer Multiplikation heißen die Zahlen, die miteinander multipliziert werden, Faktoren. Um die einzelnen Faktoren zu unterscheiden, werden sie häufig nummeriert, also als 1. Faktor, 2. Faktor usw. bezeichnet. Das Ergebnis einer Multiplikation nennen wir Produkt.
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Berechne die Produkte.
TippsEin Produkt ist $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.
Zwei Produkte mit denselben Faktoren sind gleich, unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren.
LösungSobald ein Faktor bei einer Multiplikation $0$ ist, ergibt sich das Produkt $0$. Wir können also die folgenden Aufgaben dem Produkt $0$ zuordnen:
- $6 \cdot 2 \cdot 0$
- $0 \cdot 12$
- $2 \cdot 5 \cdot 0 \cdot 6$
- $3 \cdot 0 \cdot 4$
Bei den weiteren Aufgaben können wir gemeinsame Faktoren identifizieren:- $\mathbf{3 \cdot 2 \cdot 4} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = \mathbf{8 \cdot 3} = 24$
- $\mathbf{3 \cdot 2 \cdot 4} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = \mathbf{2 \cdot 12} = 24$
- $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = \mathbf{6 \cdot 2 \cdot 5} = 12 \cdot 5 = \mathbf{5 \cdot 12} = 60$
- $3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 = \mathbf{15 \cdot 4} = 60$
- $\mathbf{5 \cdot 12} = \mathbf{5 \cdot 12 \cdot 1} = 60$
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ich fande das vidio eigentlich ganz gut aber der herr hat nicht genug zeit gelassen bzw alles aus zu rechnen sonst war es gut
Also ich habe jetzt wirklich sehr gut gelernt