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Grundrechenarten mit 0

Erkunde, warum die Null eine einzigartige Zahl ist und wie man sie bei Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verwendet. Alle Regeln im Überblick! Interessiert? Hier lernst du alles über das Rechnen mit der Null.

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Team Digital
Grundrechenarten mit 0
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Grundrechenarten mit 0 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grundrechenarten mit 0 kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie du mit der $0$ rechnen kannst.

    Tipps

    Eine Zahl heißt neutrales Element, wenn du es zu einer beliebigen Zahl $a$ addieren oder von einer beliebigen Zahl $a$ subtrahieren kannst und die Zahl $a$ sich dabei nicht verändert.

    Eine Zahl wird als absorbierendes Element bezeichnet, wenn die Multiplikation mit einem beliebigen Element immer $0$ ergibt.

    Erinnere dich an die folgenden Begriffe:

    • Addition: Summand + Summand = Summe
    • Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Differenz
    • Multiplikation: Faktor $\cdot$ Faktor = Produkt
    • Division: Dividend : Divisor = Quotient
    Lösung

    Addition:

    Bei der Addition ist die $0$ ein neutrales Element, das heißt, wenn du zu einer beliebigen Zahl $a$ die $0$ addierst, verändert sie sich nicht.

    • $a+0=\color{#669900}{a}$
    Da das Kommutativgesetz gilt, ist auch:
    • $a+0=0+a=\color{#669900}{a}$
    Subtraktion:

    $1.$ Ist die $0$ der Subtrahend, ist sie wieder das neutrale Element. Denn ziehen wir von einer Zahl $0$ ab, verändert sie sich nicht.

    • $a-0=\color{#669900}{a}$
    $2.$ Ist die $0$ also der Minuend, erhältst du als Ergebnis die Gegenzahl. Also:
    • $0-a=\color{#669900}{-a}$
    Multiplikation:

    Bei der Multiplikation bezeichnen wir die $0$ als absorbierendes Element. Egal wie groß eine Zahl ist: Multiplizieren wir diese mit $0$, ist das Produkt immer $0$.

    • $a \cdot 0 = \color{#669900}{0}$
    Mit dem Kommutativgesetz folgt:
    • $a \cdot 0 = 0 \cdot a = \color{#669900}{0}$
    Division:

    $1.$ Ist die $0$ der Dividend, ist das Ergebnis immer dasselbe.

    • $0:a=\color{#669900}{0}$
    $2.$ Eine Zahl kann nicht durch $0$ geteilt werden. Stell dir vor, du möchtest $3$ Makaken auf eine warme Quelle aufteilen. Dann ist $3:1=3$ und an der einen Quelle sitzen alle drei Affen. Wollen wir aber $3$ auf $0$ Quellen aufteilen, sitzen sie alle in der Kälte. Das ist also nicht möglich.
    • $a:0=$ Verboten!

  • Bestimme die Ergebnisse der Terme.

    Tipps

    Bei der Multiplikation mit $0$ sind die Makaken total entspannt, denn egal wie groß einer der beiden Faktoren ist: Ist der andere $0$, kommt immer die gleiche Zahl als Produkt raus.

    Bei der Division durch $0$, also zum Beispiel $3:0$, schlagen die Affen Alarm. Stell dir vor du möchtest $3$ Makaken auf $3$ warme Quellen aufteilen. Dann ist $3:3=1$ und an jeder Quelle sitzt einer. Wollen wir aber $3$ auf $0$ Quellen aufteilen, sitzen sie alle in der Kälte. Das ist also nicht möglich.

    Lösung

    Addition:

    Bei der Addition ist die $0$ ein neutrales Element, das heißt, wenn du zu einer beliebigen Zahl $a$ die $0$ addierst, verändert sie sich nicht.

    • $a+0=\color{#669900}{a}$
    Da das Kommutativgesetz gilt, ist auch:
    • $a+0=0+a=\color{#669900}{a}$
    Subtraktion:

    Bei der Subtraktion gilt das Kommutativgesetz nicht, daher betrachten wir zwei Fälle.

    $1.$ Steht die $0$ rechts, ist also der Subtrahend, können wir sie wieder als neutrales Element betrachten. Denn ziehen wir von einer Zahl $0$ ab, verändert sie sich nicht.

    • $a-0=\color{#669900}{a}$
    $2.$ Steht die $0$ links, ist also der Minuend, dann erhältst du als Ergebnis die Gegenzahl. Also:
    • $0-a=\color{#669900}{-a}$
    Wir können die Subtraktion auch als Addition einer negativen Zahl auffassen, mit dem Kommutativgesetz gilt dann:
    • $0-a=0+(-a)=-a+0=\color{#669900}{-a}$
    Multiplikation:

    Bei der Multiplikation bezeichnen wir die $0$ als absorbierendes Element. Egal wie groß eine Zahl ist, multiplizieren wir diese mit $0$, ist das Produkt immer $0$.

    • $a \cdot 0 = \color{#669900}{0}$
    Da auch hier das Kommutativgesetz gilt, folgt:
    • $a \cdot 0 = 0 \cdot a = \color{#669900}{0}$
    Division:

    Bei der Division unterscheiden wir ebenso wie bei der Subtraktion zwei Fälle.

    $1.$ Steht die $0$ links, ist also der Dividend, ist das Ergebnis immer $0$.

    • $0:a=\color{#669900}{0}$
    $2.$ Ein Problem entsteht, wenn die $0$ der Divisor ist. Denn eine Zahl kann nicht durch $0$ geteilt werden. Stell dir vor, du möchtest $3$ Makaken auf $3$ warme Quellen aufteilen. Dann ist $3:3=1$ und an jeder Quelle sitzt einer. Wollen wir aber $3$ auf $0$ Quellen aufteilen, sitzen sie alle in der Kälte. Das ist also nicht möglich. Daher ist:
    • $a:0=$ Verboten!
    Das gilt für jede beliebige Zahl $a$, daher auch:
    • $3:0=$ Verboten!

  • Ermittle die Ergebnisse der jeweiligen Aufgaben.

    Tipps

    Grundsätzlich führen wir die Operationen nacheinander durch, von links nach rechts, aber bedenke auch, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt.

    Zuerst wird also multipliziert und dividiert und erst dann addiert und subtrahiert.

    So kannst du vorgehen:

    $0+7-3-0=7-3-0=4-0=\color{#669900}{4}$

    $0:10\cdot 5\cdot 0=0\cdot 5\cdot 0=0\cdot 0=\color{#669900}{0}$

    Lösung

    Beachte: Wir führen die Operationen nacheinander durch, von links nach rechts.

    $\bullet$ $1-0+9+0$

    • Wenn wir die $0$ von einer beliebigen Zahl subtrahieren, verändert sich die Zahl nicht.
    $1-0+9+0 = 1+9+0 = 10+ 0$

    • Bei der Addition von $0$ verändert sich eine Zahl nicht.
    $10+0 = \color{#669900}{10}$

    $~$

    $\bullet$ $(0:8)\cdot 5\cdot 0$

    • Dividiert man eine $0$ durch eine beliebige Zahl, erhält man wieder $0$.
    $(0:8)\cdot 5\cdot 0=0\cdot 5\cdot 0$

    • Multipliziert man die $0$ mit einer beliebigen Zahl (auch $0$), erhält man $0$.
    $(0:8)\cdot 5\cdot 0=0\cdot 5\cdot 0=0\cdot 0=\color{#669900}{0}$

    $~$

    $\bullet$ $0\cdot7+3$

    $0\cdot7+3 = 0+3 = \color{#669900}{3}$

    $~$

    $\bullet$ $0-3+19-0$

    • Subtrahiert man eine beliebige Zahl von $0$, erhält man die Gegenzahl.
    $0-3+19-0= -3+19-0 = 16-0=\color{#669900}{16}$

    $~$

    $\bullet$ $1\cdot 0\cdot 1:0$

    • Die Division durch $0$ ist nicht erlaubt.
    $1\cdot 0\cdot \color{#669900}{1:0}=\text{Verboten!}$

    $~$

    $\bullet$ $0:21+11$

    $0:21+11 = 0+11 =\color{#669900}{11}$

  • Entscheide, welches Ergebnis das größte ist.

    Tipps

    Beachte: Punkt- vor Strichrechnung

    Zuerst wird also multipliziert und dividiert und erst dann addiert und subtrahiert.

    Bei der Punkt- vor Strichrechnung gehst du also wie folgt vor:

    Du hast die Aufgabe gegeben:

    • $4+7\cdot 0$
    Anstatt von links nach rechts die Operation nach und nach durchzugehen, schaust du zunächst, ob du eine Multiplikation oder Division durchführen musst. Diese werden zuerst durchgeführt. In unserem Beispiel heißt das:

    • $4+\color{#669900}{7\cdot 0}= 4+0$
    Sind nur noch Additionen und Subtraktionen durchzuführen, rechnest du wie gewohnt.

    • $4+0=4$

    Bei einer Aufgabe mit mehreren Multiplikationen und Divisionen, führst du diese von links nach rechts vor den Additionen und Subtraktionen durch.

    Du hast die Aufgabe gegeben:

    • $3+\color{#669900}{7\cdot0}-0:8=3+0-\color{#669900}{0:8}=3+0-0$
    Sind nur noch Additionen und Subtraktionen durchzuführen, rechnest du wie gewohnt.

    • $3+0-0=3-0=3$
    Lösung

    Beachte: Punkt- vor Strichrechnung

    Zuerst wird also multipliziert und dividiert und erst dann addiert und subtrahiert.

    Wir berechnen zunächst die Ergebnisse:

    $\bullet$ $5+9\cdot0:1+4$

    • Die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit $0$ ergibt $0$. Dividiert man eine $0$ durch eine beliebige Zahl, erhält man wieder $0$.
    $5+9\cdot0:1+4 = 5+0:1+4 = 5+0+4 = \color{#669900}{9} $

    $~$

    $\bullet$ $6+0:4+0\cdot19-6$

    • Die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit $0$ ergibt $0$. Dividiert man eine $0$ durch eine beliebige Zahl, erhält man wieder $0$.
    $6+0:4+0\cdot19-6=6+0+0-6$

    • Subtrahiert man eine beliebige Zahl von $0$, erhält man die Gegenzahl. Bei der Addition von $0$ verändert sich eine Zahl nicht.
    $6+0:4+0\cdot19-6=6+0+0-6=6-6=\color{#669900}{0}$

    $~$

    $\bullet$ $0-34+72\cdot 0$

    $0-34+72\cdot 0=0-34+0=-34+0=\color{#669900}{-34}$

    $~$

    $\bullet$ $5+4+0-9+0-1$

    $5+4-0-9+0-1= 9-9-1=0-1=\color{#669900}{-1}$

    $~$

    $\bullet$ $99-0$

    $99-0=\color{#669900}{99}$

    $\bullet$ Mit $99>9>0>-1>-34$ ergibt sich die Sortierreihenfolge.

  • Berechne die Aufgaben.

    Tipps

    Ein Beispiel für die Addition von $0$ ist:

    $99+0=99$

    Ein Beispiel für die Subtraktion von $0$ ist:

    $99-0=99$

    Ein Beispiel für die Multiplikation mit $0$ ist:

    $99\cdot 0=0$

    Lösung

    Addition:

    Bei der Addition ist die $0$ ein neutrales Element, das heißt, wenn du zu einer beliebigen Zahl $a$ die $0$ addierst, verändert sie sich nicht.

    • $3+0=\color{#669900}{3}$
    Subtraktion:

    $1.$ Steht die $0$ rechts, ist also der Subtrahend, können wir sie wieder als neutrales Element betrachten.

    • $5-0=\color{#669900}{5}$
    $2.$ Ist die $0$ der Minuend, erhältst du als Ergebnis die Gegenzahl.
    • $0-7=\color{#669900}{-7}$
    Multiplikation:

    Egal wie groß eine Zahl ist: Multiplizieren wir diese mit $0$, ist das Produkt immer $0$.

    • $4 \cdot 0 =\color{#669900}{0}$
    Division:

    $1.$ Ist die $0$ der Dividend, ist das Ergebnis immer $0$.

    • $0:17=\color{#669900}{0}$
    $2.$ Ein Problem entsteht, wenn die $0$ der Divisor ist. Denn eine Zahl kann nicht durch $0$ geteilt werden.
    • $3:0=$ Verboten!

  • Bestimme, wer richtig gezählt hat.

    Tipps

    Stelle einen Term für die Scheine auf:

    Zum Beispiel: vier $5$-Euro-Scheine, zwei $10$-Euro-Scheine, einen $20$-Euro-Schein und null $50$-Euro-Scheine

    $4\cdot 5\,€ +2\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 0\cdot 50\,€$ und berechne diesen dann.

    Wenn jemand Geld ausgegeben hat, musst du den Term für die ausgegebenen Scheine von dem Term der gesparten Scheine abziehen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    Franzi:

    Drei $5$-Euro-Scheine, null $10$-Euro-Scheine und einen $20$-Euro-Schein.

    • $3\cdot 5\,€ +0\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ =15\,€ +0\,€+20\,€= 15\,€+20\,€= 35\,€$
    Sie sagt: "Ich habe $35\,€$ und wenn ich das auf niemanden aufteile, also durch $0$ teile, habe ich immer noch $35\,€$."
    • Die $35\,€$ sind korrekt, aber es ist verboten, eine Zahl durch $0$ zu teilen, denn es ist nicht möglich, das Geld auf niemanden aufzuteilen. Damit das Geld weiterhin bei Franzi ist, teilt sie es durch $1$, also sich selbst.
    Franzi und Miriam:

    Franzi mit drei $5$-Euro-Scheinen, null $10$-Euro-Scheinen und einem $20$-Euro-Schein und Miriam mit null $5$-Euro-Scheinen, keinem $10$-Euro-Schein, einem $20$-Euro-Schein und acht $50$-Euro-Scheinen haben zusammen insgesamt:

    $3\cdot 5\,€ +0\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 0\cdot 5\,€ +0\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 8\cdot 50\,€ = 455\,€ \neq 505\,€$

    Hier wurde $1\cdot 50\,€$ zu viel addiert.

    Diese Aussagen sind korrekt:

    Miriam:

    Null $5$-Euro-Scheine, keine $10$-Euro-Scheine, ein $20$-Euro-Schein und acht $50$-Euro-Scheine.

    • $0\cdot 5\,€ +0\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 8\cdot 50\,€=0\,€+0\,€ + 20\,€ + 400\,€= 20\,€+400\,€= 420\,€$
    Somit hat sie $420\,€$.

    Samuel:

    Zwei $5$-Euro-Scheine, ein $10$-Euro-Schein und null $20$-Euro-Scheine und drei $50$-Euro-Scheine

    • $2\cdot 5\,€ +1\cdot 10\,€ + 0\cdot 20\,€ + 3\cdot 50\,€= 10\,€+10\,€+0\,€+150\,€=170\,€$
    Er schuldete Miriam noch Geld. Daher gab er ihr null $5$-Euro-Scheine, einen $10$-Euro-Schein und null $20$-Euro-Scheine und einen $50$-Euro-Schein.

    $170\,€-0\cdot 5\,€ -1\cdot 10\,€ - 0\cdot 20\,€ - 1\cdot 50\,€=170\,€-0\,€-10\,€-0\,€-50\,€=110\,€$

    Er hat also $110\,€$.

    Leon:

    Zwei $5$-Euro-Scheine, drei $10$-Euro-Scheine, ein $20$-Euro-Schein und null $50$-Euro-Scheine.

    • $2\cdot 5\,€ +3\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 0\cdot 50\,€= 10\,€+30\,€+20\,€+0\,€=60\,€$
    Nachdem er sich aber gestern ein Computerspiel für $60\,€$ gekauft hat, hat er nur noch $0\cdot 50\,€$.

    $60\,€-60\,€=0\,€\quad$ und $\quad 0\cdot 50\,€=0\,€$.