Grundrechenarten mit 0 04:28 min
Transkript Grundrechenarten mit 0
Psst, bitte nicht stören! Wir wollen doch die Makaken nicht wecken! Die haben Null Stress und träumen deshalb auch am liebsten von den Grundrechenarten mit Null. Null ist eine ganz besondere Zahl. Manchmal wird die Null nicht zu den natürlichen Zahlen 'N' gezählt, manchmal aber schon. Um es ganz deutlich zu machen, kann man dann eine kleine Null an das N schreiben. Wenn wir die ganzen Zahlen betrachten ist die Null immer dabei. Sie ist weder positiv noch negativ. Die Menge der ganzen Zahlen wird auch mit 'Z' bezeichnet. Betrachten wir die Addition mit Null. Das wollen wir mit beliebigen Zahlen machen. Darum benutzen wir hier einen Platzhalter, das 'a'. Das 'a' steht dann für eine beliebige Zahl. Wenn du diese beliebige Zahl mit Null addierst, verändert sie sich nicht. Da das Kommutativgesetz gilt, ist es auch egal, ob die Null rechts oder links steht. Zum Beispiel ergibt 'Drei plus Null' das Gleiche wie 'Null plus Drei', nämlich Drei. Weil die Null nichts an der ursprünglichen Zahl verändert, wird sie auch als neutrales Element der Addition bezeichnet. Ah! Das ist ja wirklich Null Problemo! Jetzt kommen wir zur Subtraktion. Hier ist es wichtig, ob die Null rechts oder links steht. Beim ersten Fall, also wenn du von einer Zahl Null subtrahierst, ändert sich am Ergebnis nichts. Die Null verhält in diesem Fall also wie ein neutrales Element. Sieh dir das Beispiel an Fünf minus Null ergibt Fünf. Anders sieht es beim zweiten Fall aus: Wenn du Null minus eine Zahl rechnest, dann erhältst du als Ergebnis die Gegenzahl. Zum Beispiel ergibt Null minus Sieben 'minus Sieben'. Da muss man also aufpassen! Du kannst es dir so erklären: Statt zu subtrahieren, kannst du auch etwas negatives Addieren. Dann kannst du die Summanden nämlich einfach vertauschen. Das ändert am Ergebnis nichts. Aber du erhältst eine andere Gleichung, als wenn du in der Subtraktion die Zahlen vertauschst. Und deshalb musst du bei der Subtraktion auf die Reihenfolge aufpassen! Aaha, aber eigentlich ist das doch ganz easy. Jetzt geht es mit der Multiplikation weiter. Jede beliebige Zahl multipliziert mit Null ergibt Null. Deshalb heißt die Null: absorbierendes Element der Multiplikation. Das Kommutativgesetz gilt auch hier: Es ist völlig egal, ob du eine Zahl mal Null nimmst oder Null mal eine Zahl rechnest das Ergebnis ist immer Null. Wenn du zum Beispiel Vier mal Null rechnest, kommt das gleiche heraus, wie bei Null mal Vier, nämlich Null. Und das gilt für jede Zahl, egal, wie groß sie ist. Ach, na dann! Wenn es weiter nichts ist. Machen wir weiter mit der Division. Starten wir mit dem Fall, dass wir Null durch eine Zahl teilen. Das Ergebnis lautet immer Null. Also ergibt zum Beispiel Null geteilt durch 17, Null. In diesem Fall verhält sich die Null wieder wie ein absorbierendes Element. Alles entspannt bei unseren Makaken da ist ja echt nichts los bei der Null. Was bleibt noch? Ach ja: Wir teilen durch Null. Was? Durch Null? Oh nein, ein Alptraum. Höchster Affenalarm. Da will jemand eine Zahl durch Null teilen. Das darf man doch gar nicht! Und weißt du auch warum? Stell dir vor, du möchtest unsere 3 Affen auf 3 heiße Quellen aufteilen. Dann kann in jeder Quelle ein Affe entspannen. Also ist 3 geteilt durch 3 eins. Wenn wir unsere drei Affen in eine heiße Quelle setzen, dann sitzen sie dort zu dritt zusammen. Also ist 3 geteilt durch 1 gleich 3. Aber wenn du versuchst, die Affen auf gar keine heiße Quelle aufzuteilen, dann sitzen sie in der Kälte und werden ungemütlich! Das wollen wir natürlich vermeiden! Also ist es verboten, durch Null zu teilen. Sonst herrscht Affenalarm! Und wenn du das weißt, ist das Rechnen mit Null Null Problemo. Also locker bleiben, ihr Makaken! Alles ganz easy.
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Regeln für die Grundrechenarten mit Null wiederzugeben und anzuwenden.
Zunächst lernst du, was für eine besondere Zahl die Null ist. Anschließend lernst du, wie die Addition und Subtraktion mit der Null funktioniert. Abschließend lernst du mehr über die Multiplikation und Division mit der Null. Lerne, wie du Rechenbäume löst, indem du dem Faun Albrecht dabei hilfst, sein Verfahren zu Öffnung seiner Haustür zu lösen.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit Null.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du mit den Grundrechenarten rechnest und die natürlichen Zahlen kennen.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, den Satz des Nullprodukts kennenzulernen.
Die Tutoren:
Grundrechenarten mit 0
Grundrechenarten mit 0 Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grundrechenarten mit 0 kannst du es wiederholen und üben.
-
Gib an, wie du mit der $0$ rechnen kannst.
Tipps
Eine Zahl heißt neutrales Element, wenn du es zu einer beliebigen Zahl $a$ addieren oder von einer beliebigen Zahl $a$ subtrahieren kannst und die Zahl $a$ sich dabei nicht verändert.
Eine Zahl wird als absorbierendes Element bezeichnet, wenn die Multiplikation mit einem beliebigen Element immer $0$ ergibt.
Erinnere dich an die folgenden Begriffe:
- Addition: Summand + Summand = Summe
- Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Differenz
- Multiplikation: Faktor $\cdot$ Faktor = Produkt
- Division: Dividend : Divisor = Quotient
Lösung
Addition:
Bei der Addition ist die $0$ ein neutrales Element, das heißt, wenn du zu einer beliebigen Zahl $a$ die $0$ addierst, verändert sie sich nicht.
- $a+0=\color{#669900}{a}$
- $a+0=0+a=\color{#669900}{a}$
$1.$ Ist die $0$ der Subtrahend, ist sie wieder das neutrale Element. Denn ziehen wir von einer Zahl $0$ ab, verändert sie sich nicht.
- $a-0=\color{#669900}{a}$
- $0-a=\color{#669900}{-a}$
Bei der Multiplikation bezeichnen wir die $0$ als absorbierendes Element. Egal wie groß eine Zahl ist: Multiplizieren wir diese mit $0$, ist das Produkt immer $0$.
- $a \cdot 0 = \color{#669900}{0}$
- $a \cdot 0 = 0 \cdot a = \color{#669900}{0}$
$1.$ Ist die $0$ der Dividend, ist das Ergebnis immer dasselbe.
- $0:a=\color{#669900}{0}$
- $a:0=$ Verboten!
-
Bestimme die Ergebnisse der Terme.
Tipps
Bei der Multiplikation mit $0$ sind die Makaken total entspannt, denn egal wie groß einer der beiden Faktoren ist: Ist der andere $0$, kommt immer die gleiche Zahl als Produkt raus.
Bei der Division durch $0$, also zum Beispiel $3:0$, schlagen die Affen Alarm. Stell dir vor du möchtest $3$ Makaken auf $3$ warme Quellen aufteilen. Dann ist $3:3=1$ und an jeder Quelle sitzt einer. Wollen wir aber $3$ auf $0$ Quellen aufteilen, sitzen sie alle in der Kälte. Das ist also nicht möglich.
Lösung
Addition:
Bei der Addition ist die $0$ ein neutrales Element, das heißt, wenn du zu einer beliebigen Zahl $a$ die $0$ addierst, verändert sie sich nicht.
- $a+0=\color{#669900}{a}$
- $a+0=0+a=\color{#669900}{a}$
Bei der Subtraktion gilt das Kommutativgesetz nicht, daher betrachten wir zwei Fälle.
$1.$ Steht die $0$ rechts, ist also der Subtrahend, können wir sie wieder als neutrales Element betrachten. Denn ziehen wir von einer Zahl $0$ ab, verändert sie sich nicht.
- $a-0=\color{#669900}{a}$
- $0-a=\color{#669900}{-a}$
- $0-a=0+(-a)=-a+0=\color{#669900}{-a}$
Bei der Multiplikation bezeichnen wir die $0$ als absorbierendes Element. Egal wie groß eine Zahl ist, multiplizieren wir diese mit $0$, ist das Produkt immer $0$.
- $a \cdot 0 = \color{#669900}{0}$
- $a \cdot 0 = 0 \cdot a = \color{#669900}{0}$
Bei der Division unterscheiden wir ebenso wie bei der Subtraktion zwei Fälle.
$1.$ Steht die $0$ links, ist also der Dividend, ist das Ergebnis immer $0$.
- $0:a=\color{#669900}{0}$
- $a:0=$ Verboten!
- $3:0=$ Verboten!
-
Ermittle die Ergebnisse der jeweiligen Aufgaben.
Tipps
Grundsätzlich führen wir die Operationen nacheinander durch, von links nach rechts, aber bedenke auch, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt.
Zuerst wird also multipliziert und dividiert und erst dann addiert und subtrahiert.
So kannst du vorgehen:
$0+7-3-0=7-3-0=4-0=\color{#669900}{4}$
$0:10\cdot 5\cdot 0=0\cdot 5\cdot 0=0\cdot 0=\color{#669900}{0}$
Lösung
Beachte: Wir führen die Operationen nacheinander durch, von links nach rechts.
$\bullet$ $1-0+9+0$
- Wenn wir die $0$ von einer beliebigen Zahl subtrahieren, verändert sich die Zahl nicht.
- Bei der Addition von $0$ verändert sich eine Zahl nicht.
$~$
$\bullet$ $(0:8)\cdot 5\cdot 0$
- Dividiert man eine $0$ durch eine beliebige Zahl erhält man wieder $0$.
- Multipliziert man die $0$ mit einer beliebigen Zahl (auch $0$) erhält man $0$.
$~$
$\bullet$ $0\cdot7+3$
$0\cdot7+3 = 0+3 = \color{#669900}{3}$
$~$
$\bullet$ $0-3+19-0$
- Subtrahiert man eine beliebige Zahl von $0$, erhält man die Gegenzahl.
$~$
$\bullet$ $1\cdot 0\cdot 1:0$
- Die Division durch $0$ ist nicht erlaubt.
$~$
$\bullet$ $0:21+11$
$0:21+11 = 0+11 =\color{#669900}{11}$
-
Entscheide, welches Ergebnis das größte ist.
Tipps
Beachte: Punkt- vor Strichrechnung
Zuerst wird also multipliziert und dividiert und erst dann addiert und subtrahiert.
Bei der Punkt- vor Strichrechnung gehst du also wie folgt vor:
Du hast die Aufgabe gegeben:
- $4+7\cdot 0$
- $4+\color{#669900}{7\cdot 0}= 4+0$
- $4+0=4$
Bei einer Aufgabe mit mehreren Multiplikationen und Divisionen, führst du diese von links nach rechts vor den Additionen und Subtraktionen durch.
Du hast die Aufgabe gegeben:
- $3+\color{#669900}{7\cdot0}-0:8=3+0-\color{#669900}{0:8}=3+0-0$
- $3+0-0=3-0=3$
Lösung
Beachte: Punkt- vor Strichrechnung
Zuerst wird also multipliziert und dividiert und erst dann addiert und subtrahiert.
Wir berechnen zunächst die Ergebnisse:
$\bullet$ $5+9\cdot0:1+4$
- Die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit $0$ ergibt $0$. Dividiert man eine $0$ durch eine beliebige Zahl, erhält man wieder $0$.
$~$
$\bullet$ $6+0:4+0\cdot19-6$
- Die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit $0$ ergibt $0$. Dividiert man eine $0$ durch eine beliebige Zahl, erhält man wieder $0$.
- Subtrahiert man eine beliebige Zahl von $0$, erhält man die Gegenzahl. Bei der Addition von $0$ verändert sich eine Zahl nicht.
$~$
$\bullet$ $0-34+72\cdot 0$
$0-34+72\cdot 0=0-34+0=-34+0=\color{#669900}{-34}$
$~$
$\bullet$ $5+4+0-9+0-1$
$5+4-0-9+0-1= 9-9-1=0-1=\color{#669900}{-1}$
$~$
$\bullet$ $99-0$
$99-0=\color{#669900}{99}$
$\bullet$ Mit $99>9>0>-1>-34$ ergibt sich die Sortierreihenfolge.
-
Berechne die Aufgaben.
Tipps
Ein Beispiel für die Addition von $0$ ist:
$99+0=99$
Ein Beispiel für die Subtraktion von $0$ ist:
$99-0=99$
Ein Beispiel für die Multiplikation mit $0$ ist:
$99\cdot 0=0$
Lösung
Addition:
Bei der Addition ist die $0$ ein neutrales Element, das heißt, wenn du zu einer beliebigen Zahl $a$ die $0$ addierst, verändert sie sich nicht.
- $3+0=\color{#669900}{3}$
$1.$ Steht die $0$ rechts, ist also der Subtrahend, können wir sie wieder als neutrales Element betrachten.
- $5-0=\color{#669900}{5}$
- $0-7=\color{#669900}{-7}$
Egal wie groß eine Zahl ist: Multiplizieren wir diese mit $0$, ist das Produkt immer $0$.
- $4 \cdot 0 =\color{#669900}{0}$
$1.$ Ist die $0$ der Dividend, ist das Ergebnis immer $0$.
- $0:17=\color{#669900}{0}$
- $3:0=$ Verboten!
-
Bestimme, wer richtig gezählt hat.
Tipps
Stelle einen Term für die Scheine auf:
Zum Beispiel: vier $5€$-Scheine, zwei $10€$-Scheine, einen $20€$-Schein und null $50€$-Scheine
$4\cdot 5€ +2\cdot 10€ + 1\cdot 20€ + 0\cdot 50€$ und berechne diesen dann.
Wenn jemand Geld ausgegeben hat, musst du den Term für die ausgegebenen Scheine von dem Term der gesparten Scheine abziehen.
Lösung
Diese Aussagen sind falsch:
Franzi:
Drei $5€$-Scheine, null $10€$-Scheine und einen $20$-Schein.
- $3\cdot 5€ +0\cdot 10€ + 1\cdot 20€ =15€ +0€+20€= 15€+20€= 35€$
- Die $35€$ sind korrekt, aber es ist verboten, eine Zahl durch $0$ zu teilen, denn es ist nicht möglich, dass Geld auf niemanden aufzuteilen. Damit das Geld weiterhin bei Franzi ist, teilt sie es durch $1$, also sich selbst.
Franzi mit drei $5€$-Scheinen, null $10€$-Scheinen und einem $20€$-Schein und Miriam mit null $5€$-Scheinen, keinem $10€$-Schein, einem $20€$-Schein und acht $50€$-Scheinen haben zusammen insgesamt:
$3\cdot 5€ +0\cdot 10€ + 1\cdot 20€ + 0\cdot 5€ +0\cdot 10€ + 1\cdot 20€ + 8\cdot 50€ = 455€ \neq 505€$
Hier wurde $1\cdot 50€$ zu viel addiert.
Diese Aussagen sind korrekt:
Miriam:
Null $5€$-Scheine, keine $10€$-Scheine, ein $20€$-Schein und acht $50€$-Scheine.
- $0\cdot 5€ +0\cdot 10€ + 1\cdot 20€ + 8\cdot 50€=0€+0€ + 20€ + 400€= 20€+400€= 420€$
Samuel:
Zwei $5€$-Scheine, ein $10€$-Schein und null $20€$-Scheine und drei $50€$-Scheine
- $2\cdot 5€ +1\cdot 10€ + 0\cdot 20€ + 3\cdot 50€= 10€+10€+0€+150€=170€$
$170€-0\cdot 5€ -1\cdot 10€ - 0\cdot 20€ - 1\cdot 50€=170€-0€-10€-0€-50€=110€$
Er hat also $110€$.
Leon:
Zwei $5€$-Scheine, drei $10€$-Scheine, ein $20€$-Schein und null $50€$-Scheine.
- $2\cdot 5€ +3\cdot 10€ + 1\cdot 20€ + 0\cdot 50€= 10€+30€+20€+0€=60€$
$60€-60€=0€\quad$ und $\quad 0\cdot 50€=0€$.
