Grundrechenarten mit 0
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Grundlagen zum Thema Grundrechenarten mit 0
Warum ist die Null eine besondere Zahl?
Die Zahl Null ist ein Element der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$. Anders als alle anderen ganzen Zahlen ist die Null weder eine positive noch eine negative Zahl. Betrachten wir die natürlichen Zahlen, so geben wir in der Regel gesondert an, ob wir die Null hinzunehmen. Wir schreiben dann $\mathbb{N}_{0}$.
Wenn die Null in der Mathematik also eine so besondere Zahl ist, stellt sich die Frage:
Wie rechnet man mit der Null?
Dazu schauen wir uns nun die Grundrechenarten mit 0 einmal genauer an.
Grundrechenarten mit 0 einfach erklärt
Für das Rechnen mit der Zahl Null gelten besondere Regeln. Welche das für die einzelnen Grundrechenarten jeweils sind, erfährst du jetzt.
Wie addiert man mit Null?
Für die Addition mit Null gilt:
$a + 0 = 0 + a = a$
Da bei der Addition das Kommutativgesetz gilt, können wir die Reihenfolge der Summanden vertauschen. Wir sehen, dass sich durch das Addieren von Null die Zahl nicht verändert. Daher wird die Null auch als neutrales Element der Addition bezeichnet.
Beispiel:
$5 + 0 = 5$
Wie subtrahiert man mit Null?
Bei der Subtraktion mit Null müssen wir zwei Fälle unterscheiden, da hier die Reihenfolge der Zahlen wichtig ist.
Fall 1: $a - 0 = a$
Ist der Minuend eine Null, dann ist das Ergebnis gleich dem Subtrahenden. Die Null tritt hier wie bei der Addition als neutrales Element auf, da wir den Term auch als Addition schreiben können:
$a - 0 = a + (-0) = a$
Fall 2: $0 - a = -a$
Ist der Subtrahend eine Null, dann ist das Ergebnis die Gegenzahl des Minuenden. Auch hier können wir den Term als Addition umschreiben:
$0 - a = 0 + (-a) = -a$
Beispiele:
$5 - 0 = 5$
$0 - 5 = -5$
Wie multipliziert man mit Null?
Für die Multiplikation mit Null gilt:
$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$
Es gilt das Kommutativgesetz wie bei der Addition. Da ein Produkt, bei dem der Faktor Null vorkommt, stets Null ergibt, wird die Null als absorbierendes Element der Multiplikation bezeichnet.
Beispiel:
$5 \cdot 0 = 0$
Wie dividiert man mit Null?
Bei der Division mit Null müssen wir erneut zwei Fälle unterscheiden, da die Reihenfolge der Zahlen von Bedeutung ist.
Fall 1: $0 : a = 0$
Teilen wir die Null durch eine Zahl, dann wirkt sie, wie bei der Multiplikation, als absorbierendes Element. Das Ergebnis ist stets null.
Fall 2: $a : 0 = \text{nicht definiert}$
Die Division durch null ist in der Mathematik verboten, da ein sinnvolles Aufteilen auf null nicht funktioniert. Das Ergebnis ist daher nicht definiert. Hier müssen wir besonders aufpassen.
Beispiele:
$0 : 5 = 0$
$5 : 0 = \text{nicht definiert}$
Aufgaben mit 0 berechnen
Wir wollen noch einige Aufgaben zu den Grundrechenarten mit 0 lösen.
Beispiel 1:
$2 + 3 \cdot 0 =$
$2 + 0 = 2$
Beispiel 2:
$5 + (0 - 2) + 0 \cdot 17 = $
$5 + (-2) + 0 = $
$5 - 2 + 0 = $
$3 + 0 = 3$
Das Video zum Rechnen mit 0
In diesem Video erfährst du zunächst, was für eine besondere Zahl die Null ist. Anschließend lernst du, wie die Addition und Subtraktion mit der Null funktioniert. Abschließend betrachten wir, was du bei der Multiplikation und Division mit der Null beachten musst.
Wenn du das Rechnen mit 0 weiter vertiefen möchtest, dann findest du auf dieser Seite zusätzliche Übungen zu den Grundrechenarten mit 0.
Transkript Grundrechenarten mit 0
Psst, bitte nicht stören! Wir wollen doch die Makaken nicht wecken! Die haben Null Stress und träumen deshalb auch am liebsten von den Grundrechenarten mit Null. Null ist eine ganz besondere Zahl. Manchmal wird die Null nicht zu den natürlichen Zahlen 'N' gezählt, manchmal aber schon. Um es ganz deutlich zu machen, kann man dann eine kleine Null an das N schreiben. Wenn wir die ganzen Zahlen betrachten ist die Null immer dabei. Sie ist weder positiv noch negativ. Die Menge der ganzen Zahlen wird auch mit 'Z' bezeichnet. Betrachten wir die Addition mit Null. Das wollen wir mit beliebigen Zahlen machen. Darum benutzen wir hier einen Platzhalter, das 'a'. Das 'a' steht dann für eine beliebige Zahl. Wenn du diese beliebige Zahl mit Null addierst, verändert sie sich nicht. Da das Kommutativgesetz gilt, ist es auch egal, ob die Null rechts oder links steht. Zum Beispiel ergibt 'Drei plus Null' das Gleiche wie 'Null plus Drei', nämlich Drei. Weil die Null nichts an der ursprünglichen Zahl verändert, wird sie auch als neutrales Element der Addition bezeichnet. Ah! Das ist ja wirklich Null Problemo! Jetzt kommen wir zur Subtraktion. Hier ist es wichtig, ob die Null rechts oder links steht. Beim ersten Fall, also wenn du von einer Zahl Null subtrahierst, ändert sich am Ergebnis nichts. Die Null verhält in diesem Fall also wie ein neutrales Element. Sieh dir das Beispiel an Fünf minus Null ergibt Fünf. Anders sieht es beim zweiten Fall aus: Wenn du Null minus eine Zahl rechnest, dann erhältst du als Ergebnis die Gegenzahl. Zum Beispiel ergibt Null minus Sieben 'minus Sieben'. Da muss man also aufpassen! Du kannst es dir so erklären: Statt zu subtrahieren, kannst du auch etwas negatives Addieren. Dann kannst du die Summanden nämlich einfach vertauschen. Das ändert am Ergebnis nichts. Aber du erhältst eine andere Gleichung, als wenn du in der Subtraktion die Zahlen vertauschst. Und deshalb musst du bei der Subtraktion auf die Reihenfolge aufpassen! Aaha, aber eigentlich ist das doch ganz easy. Jetzt geht es mit der Multiplikation weiter. Jede beliebige Zahl multipliziert mit Null ergibt Null. Deshalb heißt die Null: absorbierendes Element der Multiplikation. Das Kommutativgesetz gilt auch hier: Es ist völlig egal, ob du eine Zahl mal Null nimmst oder Null mal eine Zahl rechnest das Ergebnis ist immer Null. Wenn du zum Beispiel Vier mal Null rechnest, kommt das gleiche heraus, wie bei Null mal Vier, nämlich Null. Und das gilt für jede Zahl, egal, wie groß sie ist. Ach, na dann! Wenn es weiter nichts ist. Machen wir weiter mit der Division. Starten wir mit dem Fall, dass wir Null durch eine Zahl teilen. Das Ergebnis lautet immer Null. Also ergibt zum Beispiel Null geteilt durch 17, Null. In diesem Fall verhält sich die Null wieder wie ein absorbierendes Element. Alles entspannt bei unseren Makaken da ist ja echt nichts los bei der Null. Was bleibt noch? Ach ja: Wir teilen durch Null. Was? Durch Null? Oh nein, ein Alptraum. Höchster Affenalarm. Da will jemand eine Zahl durch Null teilen. Das darf man doch gar nicht! Und weißt du auch warum? Stell dir vor, du möchtest unsere 3 Affen auf 3 heiße Quellen aufteilen. Dann kann in jeder Quelle ein Affe entspannen. Also ist 3 geteilt durch 3 eins. Wenn wir unsere drei Affen in eine heiße Quelle setzen, dann sitzen sie dort zu dritt zusammen. Also ist 3 geteilt durch 1 gleich 3. Aber wenn du versuchst, die Affen auf gar keine heiße Quelle aufzuteilen, dann sitzen sie in der Kälte und werden ungemütlich! Das wollen wir natürlich vermeiden! Also ist es verboten, durch Null zu teilen. Sonst herrscht Affenalarm! Und wenn du das weißt, ist das Rechnen mit Null Null Problemo. Also locker bleiben, ihr Makaken! Alles ganz easy.
Grundrechenarten mit 0 Übung
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Gib an, wie du mit der $0$ rechnen kannst.
TippsEine Zahl heißt neutrales Element, wenn du es zu einer beliebigen Zahl $a$ addieren oder von einer beliebigen Zahl $a$ subtrahieren kannst und die Zahl $a$ sich dabei nicht verändert.
Eine Zahl wird als absorbierendes Element bezeichnet, wenn die Multiplikation mit einem beliebigen Element immer $0$ ergibt.
Erinnere dich an die folgenden Begriffe:
- Addition: Summand + Summand = Summe
- Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Differenz
- Multiplikation: Faktor $\cdot$ Faktor = Produkt
- Division: Dividend : Divisor = Quotient
LösungAddition:
Bei der Addition ist die $0$ ein neutrales Element, das heißt, wenn du zu einer beliebigen Zahl $a$ die $0$ addierst, verändert sie sich nicht.
- $a+0=\color{#669900}{a}$
- $a+0=0+a=\color{#669900}{a}$
$1.$ Ist die $0$ der Subtrahend, ist sie wieder das neutrale Element. Denn ziehen wir von einer Zahl $0$ ab, verändert sie sich nicht.
- $a-0=\color{#669900}{a}$
- $0-a=\color{#669900}{-a}$
Bei der Multiplikation bezeichnen wir die $0$ als absorbierendes Element. Egal wie groß eine Zahl ist: Multiplizieren wir diese mit $0$, ist das Produkt immer $0$.
- $a \cdot 0 = \color{#669900}{0}$
- $a \cdot 0 = 0 \cdot a = \color{#669900}{0}$
$1.$ Ist die $0$ der Dividend, ist das Ergebnis immer dasselbe.
- $0:a=\color{#669900}{0}$
- $a:0=$ Verboten!
-
Bestimme die Ergebnisse der Terme.
TippsBei der Multiplikation mit $0$ sind die Makaken total entspannt, denn egal wie groß einer der beiden Faktoren ist: Ist der andere $0$, kommt immer die gleiche Zahl als Produkt raus.
Bei der Division durch $0$, also zum Beispiel $3:0$, schlagen die Affen Alarm. Stell dir vor du möchtest $3$ Makaken auf $3$ warme Quellen aufteilen. Dann ist $3:3=1$ und an jeder Quelle sitzt einer. Wollen wir aber $3$ auf $0$ Quellen aufteilen, sitzen sie alle in der Kälte. Das ist also nicht möglich.
LösungAddition:
Bei der Addition ist die $0$ ein neutrales Element, das heißt, wenn du zu einer beliebigen Zahl $a$ die $0$ addierst, verändert sie sich nicht.
- $a+0=\color{#669900}{a}$
- $a+0=0+a=\color{#669900}{a}$
Bei der Subtraktion gilt das Kommutativgesetz nicht, daher betrachten wir zwei Fälle.
$1.$ Steht die $0$ rechts, ist also der Subtrahend, können wir sie wieder als neutrales Element betrachten. Denn ziehen wir von einer Zahl $0$ ab, verändert sie sich nicht.
- $a-0=\color{#669900}{a}$
- $0-a=\color{#669900}{-a}$
- $0-a=0+(-a)=-a+0=\color{#669900}{-a}$
Bei der Multiplikation bezeichnen wir die $0$ als absorbierendes Element. Egal wie groß eine Zahl ist, multiplizieren wir diese mit $0$, ist das Produkt immer $0$.
- $a \cdot 0 = \color{#669900}{0}$
- $a \cdot 0 = 0 \cdot a = \color{#669900}{0}$
Bei der Division unterscheiden wir ebenso wie bei der Subtraktion zwei Fälle.
$1.$ Steht die $0$ links, ist also der Dividend, ist das Ergebnis immer $0$.
- $0:a=\color{#669900}{0}$
- $a:0=$ Verboten!
- $3:0=$ Verboten!
-
Ermittle die Ergebnisse der jeweiligen Aufgaben.
TippsGrundsätzlich führen wir die Operationen nacheinander durch, von links nach rechts, aber bedenke auch, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt.
Zuerst wird also multipliziert und dividiert und erst dann addiert und subtrahiert.
So kannst du vorgehen:
$0+7-3-0=7-3-0=4-0=\color{#669900}{4}$
$0:10\cdot 5\cdot 0=0\cdot 5\cdot 0=0\cdot 0=\color{#669900}{0}$
LösungBeachte: Wir führen die Operationen nacheinander durch, von links nach rechts.
$\bullet$ $1-0+9+0$
- Wenn wir die $0$ von einer beliebigen Zahl subtrahieren, verändert sich die Zahl nicht.
- Bei der Addition von $0$ verändert sich eine Zahl nicht.
$~$
$\bullet$ $(0:8)\cdot 5\cdot 0$
- Dividiert man eine $0$ durch eine beliebige Zahl, erhält man wieder $0$.
- Multipliziert man die $0$ mit einer beliebigen Zahl (auch $0$), erhält man $0$.
$~$
$\bullet$ $0\cdot7+3$
$0\cdot7+3 = 0+3 = \color{#669900}{3}$
$~$
$\bullet$ $0-3+19-0$
- Subtrahiert man eine beliebige Zahl von $0$, erhält man die Gegenzahl.
$~$
$\bullet$ $1\cdot 0\cdot 1:0$
- Die Division durch $0$ ist nicht erlaubt.
$~$
$\bullet$ $0:21+11$
$0:21+11 = 0+11 =\color{#669900}{11}$
-
Entscheide, welches Ergebnis das größte ist.
TippsBeachte: Punkt- vor Strichrechnung
Zuerst wird also multipliziert und dividiert und erst dann addiert und subtrahiert.
Bei der Punkt- vor Strichrechnung gehst du also wie folgt vor:
Du hast die Aufgabe gegeben:
- $4+7\cdot 0$
- $4+\color{#669900}{7\cdot 0}= 4+0$
- $4+0=4$
Bei einer Aufgabe mit mehreren Multiplikationen und Divisionen, führst du diese von links nach rechts vor den Additionen und Subtraktionen durch.
Du hast die Aufgabe gegeben:
- $3+\color{#669900}{7\cdot0}-0:8=3+0-\color{#669900}{0:8}=3+0-0$
- $3+0-0=3-0=3$
LösungBeachte: Punkt- vor Strichrechnung
Zuerst wird also multipliziert und dividiert und erst dann addiert und subtrahiert.
Wir berechnen zunächst die Ergebnisse:
$\bullet$ $5+9\cdot0:1+4$
- Die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit $0$ ergibt $0$. Dividiert man eine $0$ durch eine beliebige Zahl, erhält man wieder $0$.
$~$
$\bullet$ $6+0:4+0\cdot19-6$
- Die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit $0$ ergibt $0$. Dividiert man eine $0$ durch eine beliebige Zahl, erhält man wieder $0$.
- Subtrahiert man eine beliebige Zahl von $0$, erhält man die Gegenzahl. Bei der Addition von $0$ verändert sich eine Zahl nicht.
$~$
$\bullet$ $0-34+72\cdot 0$
$0-34+72\cdot 0=0-34+0=-34+0=\color{#669900}{-34}$
$~$
$\bullet$ $5+4+0-9+0-1$
$5+4-0-9+0-1= 9-9-1=0-1=\color{#669900}{-1}$
$~$
$\bullet$ $99-0$
$99-0=\color{#669900}{99}$
$\bullet$ Mit $99>9>0>-1>-34$ ergibt sich die Sortierreihenfolge.
-
Berechne die Aufgaben.
TippsEin Beispiel für die Addition von $0$ ist:
$99+0=99$
Ein Beispiel für die Subtraktion von $0$ ist:
$99-0=99$
Ein Beispiel für die Multiplikation mit $0$ ist:
$99\cdot 0=0$
LösungAddition:
Bei der Addition ist die $0$ ein neutrales Element, das heißt, wenn du zu einer beliebigen Zahl $a$ die $0$ addierst, verändert sie sich nicht.
- $3+0=\color{#669900}{3}$
$1.$ Steht die $0$ rechts, ist also der Subtrahend, können wir sie wieder als neutrales Element betrachten.
- $5-0=\color{#669900}{5}$
- $0-7=\color{#669900}{-7}$
Egal wie groß eine Zahl ist: Multiplizieren wir diese mit $0$, ist das Produkt immer $0$.
- $4 \cdot 0 =\color{#669900}{0}$
$1.$ Ist die $0$ der Dividend, ist das Ergebnis immer $0$.
- $0:17=\color{#669900}{0}$
- $3:0=$ Verboten!
-
Bestimme, wer richtig gezählt hat.
TippsStelle einen Term für die Scheine auf:
Zum Beispiel: vier $5$-Euro-Scheine, zwei $10$-Euro-Scheine, einen $20$-Euro-Schein und null $50$-Euro-Scheine
$4\cdot 5\,€ +2\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 0\cdot 50\,€$ und berechne diesen dann.
Wenn jemand Geld ausgegeben hat, musst du den Term für die ausgegebenen Scheine von dem Term der gesparten Scheine abziehen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
Franzi:
Drei $5$-Euro-Scheine, null $10$-Euro-Scheine und einen $20$-Euro-Schein.
- $3\cdot 5\,€ +0\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ =15\,€ +0\,€+20\,€= 15\,€+20\,€= 35\,€$
- Die $35\,€$ sind korrekt, aber es ist verboten, eine Zahl durch $0$ zu teilen, denn es ist nicht möglich, das Geld auf niemanden aufzuteilen. Damit das Geld weiterhin bei Franzi ist, teilt sie es durch $1$, also sich selbst.
Franzi mit drei $5$-Euro-Scheinen, null $10$-Euro-Scheinen und einem $20$-Euro-Schein und Miriam mit null $5$-Euro-Scheinen, keinem $10$-Euro-Schein, einem $20$-Euro-Schein und acht $50$-Euro-Scheinen haben zusammen insgesamt:
$3\cdot 5\,€ +0\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 0\cdot 5\,€ +0\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 8\cdot 50\,€ = 455\,€ \neq 505\,€$
Hier wurde $1\cdot 50\,€$ zu viel addiert.
Diese Aussagen sind korrekt:
Miriam:
Null $5$-Euro-Scheine, keine $10$-Euro-Scheine, ein $20$-Euro-Schein und acht $50$-Euro-Scheine.
- $0\cdot 5\,€ +0\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 8\cdot 50\,€=0\,€+0\,€ + 20\,€ + 400\,€= 20\,€+400\,€= 420\,€$
Samuel:
Zwei $5$-Euro-Scheine, ein $10$-Euro-Schein und null $20$-Euro-Scheine und drei $50$-Euro-Scheine
- $2\cdot 5\,€ +1\cdot 10\,€ + 0\cdot 20\,€ + 3\cdot 50\,€= 10\,€+10\,€+0\,€+150\,€=170\,€$
$170\,€-0\cdot 5\,€ -1\cdot 10\,€ - 0\cdot 20\,€ - 1\cdot 50\,€=170\,€-0\,€-10\,€-0\,€-50\,€=110\,€$
Er hat also $110\,€$.
Leon:
Zwei $5$-Euro-Scheine, drei $10$-Euro-Scheine, ein $20$-Euro-Schein und null $50$-Euro-Scheine.
- $2\cdot 5\,€ +3\cdot 10\,€ + 1\cdot 20\,€ + 0\cdot 50\,€= 10\,€+30\,€+20\,€+0\,€=60\,€$
$60\,€-60\,€=0\,€\quad$ und $\quad 0\cdot 50\,€=0\,€$.
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das ist so gut erklärt
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