Die Raute

Die Raute Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften einer Raute.

  Tipps

  Eine Raute ist ein Viereck.

  So kann eine Raute aussehen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Alle fünf Seiten der Raute sind gleich lang.“

  • Es stimmt, dass alle Seiten einer Raute gleich lang sind, allerdings besitzt eine Raute nur vier Seiten.

  „Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer parallel.“

  • Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer gleich groß.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Die Summe zweier angrenzender Winkel einer Raute beträgt immer $180^{\circ}$“

  „Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer gleich groß.“

  „Die Diagonalen einer Raute sind gleichzeitig die Symmetrieachsen.“

  • All dies sind Eigenschaften von Rauten. Du solltest sie dir gut merken.

• Beschreibe die Eigenschaften einer Raute.

  Tipps

  $\alpha$ und $\beta$ befinden sich in nebeneinanderliegenden Ecken.

  Klappst du eine Raute entlang einer der Diagonalen um, dann sind die beiden Hälften deckungsgleich.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Sie wird auch Rhombus genannt.

  Nebeneinanderliegende Winkel einer Raute addieren sich zu $180^{\circ}$. Es gilt also beispielsweise:

  $\alpha + \beta=180^{\circ}$“

  • $\alpha$ und $\beta$ befinden sich in nebeneinanderliegenden Ecken.

  „Außerdem sind gegenüberliegende Winkel immer gleich groß. Es gilt also:

  $\alpha = \gamma$“

  Die Diagonalen einer Raute verlaufen durch gegenüberliegende Ecken und halbieren die jeweiligen Winkel. Sie bilden gleichzeitig die Symmetrieachsen.

  • Klappst du eine Raute entlang einer der Diagonalen um, dann sind die beiden Hälften deckungsgleich.

• Ermittle, welche Bezeichnung der geometrischen Figuren am zutreffendsten ist.

  Tipps

  Bei einem Parallelogramm sind jeweils gegenüberliegende Seiten parallel.

  Zwei gegenüberliegende Seiten eines Trapezes sind parallel.

  Lösung

  So kannst du die Bezeichnungen mit den geometrischen Figuren verbinden.

  • Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Die einzige Figur, die diese Voraussetzungen erfüllt, ist die zweite von rechts.

  • Bei einem Parallelogramm sind jeweils gegenüberliegende Seiten parallel. Die Seiten müssen jedoch nicht alle gleich lang sein. Also ist es die zweite Figur von links.

  • Zwei gegenüberliegende Seiten eines Trapezes sind parallel. Die Figur ganz rechts entspricht dieser Beschreibung am besten.

  • Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Die Figur ganz links entspricht dieser Definition.

• Erschließe die fehlenden Winkel der Rauten.

  Tipps

  Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind gleich.

  Nebeneinanderliegende Winkel einer Raute addieren sich zu $180^{\circ}$.

  Lösung

  Mit diesen Informationen kannst du die Lücken füllen:

  Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer gleich groß.

  Nebeneinanderliegende Winkel einer Raute addieren sich zu $180^{\circ}$.

  Damit erhalten wir für die erste Raute:

  • Der gegenüberliegende Winkel von $\alpha$ ist $\gamma$. Also gilt: $\gamma=100^{\circ}$

  • Der gegenüberliegende Winkel von $\beta$ ist $\delta$. Also gilt: $\delta=80^{\circ}$

  Für die zweite Raute erhalten wir:

  Der Winkel $\beta$ liegt neben $\alpha$. Also gilt:

  $\alpha+\beta=180^{\circ}$. Mit $\alpha=60^{\circ}$ erhalten wir:

  • $\beta=120^{\circ}$

  Damit können wir die anderen Winkel angeben (gegenüberliegende Winkel sind gleich):

  • $\gamma=60^{\circ}$ und $\delta=120^{\circ}$

  Für die dritte Raute erhalten wir:

  Der Winkel $\gamma$ liegt neben $\delta$. Also gilt:

  $\gamma+\delta=180^{\circ}$. Mit $\delta=105^{\circ}$ erhalten wir:

  • $\gamma=75^{\circ}$

  Die gegenüberliegenden Winkel sind immer gleich groß. Daher ist $\alpha =75^{\circ}$ und $\beta=105^{\circ}$

• Gib an, welche geometrischen Figuren ebenfalls Rauten sind.

  Tipps

  Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß

  Überlege dir, welche der angegebenen Figuren diese Eigenschaften erfüllen.

  Lösung

  Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Überlege dir, welche dieser Figuren diese Eigenschaften erfüllen.

  Dann erhältst du, dass diese Figuren ebenfalls Rauten sind:

  „Rhombus“

  • Das ist einfach ein anderer Name für eine Raute.

  „Parallelogramm mit gleich langen Seiten“

  • Diese Figur erfüllt alle Voraussetzungen für eine Raute.

  „Quadrat“

  • Diese Figur erfüllt alle Voraussetzungen für eine Raute. Zusätzlich sind alle Winkel rechte Winkel.

  Diese Figuren erfüllen die Anforderungen für eine Raute nicht:

  „Trapez“

  • Hier sind nicht alle gegenüberliegenden Seiten parallel. Eine Raute ist zwar ein Trapez, aber ein Trapez ist nicht automatisch auch eine Raute.

  „Kreis“

  • Ein Kreis ist kein Viereck.

• Erschließe den Flächeninhalt der Raute.

  Tipps

  Um den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen, musst du die Flächeninhaltsformel für das Dreieck mal $4$ nehmen und anschließend die Längen der Diagonalen in die Formel des Flächeninhalts einsetzen.

  Die Raute besteht aus vier gleich großen Dreiecken. Somit lautet die Flächeninhaltsformel für die Raute:

  $A= \frac12 \cdot \frac{e~\cdot~f}{4} \cdot 4$

  $A = \frac12 \cdot e \cdot f$

  Für die erste Raute erhältst du also:

  $A= \frac{1}{2} e \cdot f= \frac{1}{2} \cdot 3,\!5~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} = \dots$

  Lösung

  Die Raute wird durch die Diagonalen in vier gleich große Dreiecke unterteilt. Die Katheten der Dreiecke entsprechen jeweils der Hälfte der Diagonalen. Der Flächeninhalt eines dieser Dreiecke ist somit

  $A=\frac12 \cdot \frac{e}{2} \cdot \frac{f}{2} = \frac12 \cdot \frac{e~\cdot~f}{4}$

  Da die Raute aus vier solcher Dreiecke besteht, ist ihr Flächeninhalt:

  $A= \frac12 \cdot \frac{e~\cdot~f}{4} \cdot 4$

  $A = \frac12 \cdot e \cdot f$

  Um den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen, musst du die Diagonalen in die Formel des Flächeninhalts einsetzen. Für die erste Raute erhältst du also:

  • $A=\frac{1}{2} e \cdot f=\frac{1}{2} \cdot 3,5~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} =7~\text{cm}^2$

  Genauso ergibt sich für die zweite Raute:

  • $A=\frac{1}{2} e \cdot f=\frac{1}{2} \cdot 3~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} =7,5~\text{cm}^2$

  Diese Raute ist also größer.