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Winkelberechnung – Wie ermittle ich ohne Messen die Größen von Winkeln?

Hier lernst du, wie du Winkel in geometrischen Formen berechnen kannst, wenn dir Größen gegeben sind.

Winkelberechnung

Die drei Innenwinkel im Dreieck werden meistens mit $\alpha, \beta$ und $\gamma$ bezeichnet.

Innenwinkel_eines_Dreicks.jpg

Ihre Summe beträgt immer $180°$, das heißt:

$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Die Innenwinkelsumme eines Vierecks beträgt immer $360°$, also:

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$

Innenwinkel_eines_Vierecks.jpg

Schneiden sich Geraden, entstehen Winkelpaare. Deren Lage zueinander weist Besonderheiten auf:

Winkelpaare.jpg

Zwei nebeneinanderliegende Winkel (Nebenwinkel) ergänzen sich immer zu $180°$. Es gilt also:

$\begin{array}{lllllll} \alpha + \beta = 180° && \beta + \gamma = 180° && \alpha + \delta = 180° && \gamma + \delta = 180° \end{array}$

Zwei sich gegenüberliegende Winkel (Scheitelwinkel) sind gleich groß.

$\begin{array}{lll} \alpha = \gamma && \beta = \delta \end{array}$

Betrachtet man zwei parallele Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden, so erkennt man gleich große Stufenwinkel, die jeweils auf derselben Seite liegen. Im folgenden Bild gilt $\alpha=60°$:

Stufen-_und_Wechselwinkel.jpg

Auch Wechselwinkel sind gleich groß, sie liegen aber auf jeweils unterschiedlichen Seiten: $\gamma=60°$

In der Trigonometrie sind die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens hilfreich, um Winkel oder Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

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