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Erster Strahlensatz – Einführung 06:16 min

Textversion des Videos

Transkript Erster Strahlensatz – Einführung

Ray, das verliebte Flughörnchen, möchte seine Angebetete Amanda mit seinen Flugkünsten beeindrucken! Die ist leider nicht so begeistert. Das liegt wohl daran, dass Rays letzter Flugversuch gründlich danebengegangen ist. Aber jetzt will Ray es besser machen und genau bei ihr landen. Aber aus welcher Höhe des Baumes muss er starten, um elegant zu ihr hinüberzugleiten? Das finden wir für Ray heraus mit dem ersten Strahlensatz! Sehen wir uns die Situation noch einmal genauer an! Die Kante des Baums und die Bodenlinie können wir in der Skizze als Strahlen darstellen, denn sie sind gerade Linien mit einem Anfangspunkt Z. Amanda sitzt 16 Meter vom Baum entfernt. Die Länge dieser Strecke von der Baumwurzel bis zu Rays ungenügender Landestelle beträgt 10 Meter und Rays erster Versuch startete aus einer Höhe von 5 Metern auf dem Baum. Jetzt sieh dir mal Rays Flugbahnen genauer an! Das geübte Flughörnchen gleitet immer mit demselben Gefälle. Deshalb haben die Flugbahnen überall den gleichen Abstand zueinander und schneiden sich nicht. Sie sind also Parallelen. Die gesamte Figur wird auch als Strahlensatzfigur bezeichnet. Sie besteht aus zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Punkt Z – dem Scheitel – ausgehen und aus zwei Parallelen, die diese Strahlen schneiden. Und was nützt dir diese Figur? Ray will ja wissen, von welchem Punkt aus er starten muss. In einer Strahlensatzfigur kannst du die Länge einer fehlenden Strecke ausrechnen, wenn du drei andere kennst. In einer Strahlensatzfigur gilt, dass die Verhältnisse einander zugehöriger Strecken gleich groß sind. Hier bei uns ist das Verhältnis der beiden Abflughöhen gleich dem Verhältnis der Entfernung von Z zu den Landepunkten. Beim ersten Strahlensatz suchen wir immer Verhältnisse von Strecken entlang der Strahlen. Mathematisch kannst du ein Verhältnis als Bruch aufschreiben. Dazu beschriften wir die übrigen Punkte in der Strahlensatzfigur mit den Bezeichnungen A1, A2, B1 und B2. Die Strecken nennen wir dann 'ZA1', 'ZA2', 'ZB1' und 'ZB2'. Rechnen wir also aus, wie hoch Ray auf den Baum klettern muss - das ist die Strecke 'ZB2'. Wir beginnen mit der gesuchten Strecke und suchen dann die ihr zugehörige Strecke auf demselben Strahl. Das Verhältnis dieser beiden Strecken entspricht dem Verhältnis der zugehörigen Strecken auf dem anderen Strahl. Die Strecke 'ZB2' geteilt durch die Strecke 'ZB1' ist gleich der Strecke 'ZA2' geteilt durch die Strecke 'ZA1'. Jetzt können wir die entsprechenden Werte einsetzen ZB2 lassen wir stehen, denn das ist ja die gesuchte Strecke und setzen für ZB1 fünf, für ZA2 sechzehn und für ZA1 zehn ein. Diese Gleichung lösen wir jetzt nach 'ZB2' auf, also multiplizieren wir beide Seiten mit 5 Metern jetzt haben wir 'ZB2' gleich 16 Meter mal 5 Meter durch 10 Meter hier können wir diese beiden Einheiten "Meter" kürzen also bleibt achtzig Meter durch zehn und wir erhalten acht Meter. Das heißt, Ray muss aus 8 Metern Höhe starten! Solange Ray auf den Baum kraxelt, schauen wir uns noch ein zweites Beispiel an: Auch diese Figur ist eine Strahlensatzfigur. Anstelle der Strahlen haben wir hier zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Und die Parallelen, die diese Geraden schneiden, befinden sich auf beiden Seiten des Schnittpunkts. Hier gilt der erste Strahlensatz aber ebenfalls. Aber Vorsicht: die einander zugehörigen Strecken befinden sich jeweils auf derselben Geraden. Wenn du also zum Beispiel wissen möchtest, wie lang die Strecke "ZA1" ist, notierst du Z A 1 zu Z A 2 gleich Z B 1 zu Z B 2. Mit den Werten aus der Zeichnung können wir die Länge der Strecke 'ZA1' bestimmen: Dazu setzen wir für Z A 2 drei, für Z B 1 acht und für Z B 2 vier in die Rechnung ein. Das rechnen wir jetzt aus auf beiden Seiten mal drei das ergibt 8 mal 3 durch 4 das kannst du kürzen und die gesuchte Länge ist 6. Wir fassen zusammen: Wenn zwei Strahlen von Parallelen geschnitten werden, handelt es sich um eine Strahlensatzfigur. Beim ersten Strahlensatz bilden wir Verhältnisse zugehöriger Seiten in so einer Strahlensatzfigur. Damit kannst du die Länge einer Strecke bestimmen, wenn du die übrigen Strecken gegeben hast. Mit dem Strahlensatz kannst du gut Größen oder Entfernungen ausrechnen. Du kannst dir immer merken: "Lang zu kurz" verhält sich wie "lang zu kurz". Er gilt auch, wenn anstatt Strahlen zwei Geraden von Parallelen geschnitten werden. So Ray, jetzt gilt's! Guten Flug!

3 Kommentare
  1. OK, Danke!

    Von Jael Guenther, vor 7 Monaten
  2. Hallo Jael Guenther,
    ich nehme an, du spielst auf die erste Aussage der Aufgabe an? Du hast recht. Dort steht: ZB1/ZB2=ZA2/ZA1. Diese Aussage ist hier falsch aber das ist auch so in der Aufgabe vermerkt.
    Wie du schon sagst: Möglich wäre ZB1/ZB2=ZA1/ZA2. Eine mögliche Gleichung wäre aber auch ZA2/ZA1=ZB2/ZB1.
    Ich hoffe, wir konnten dir weiterhelfen.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 7 Monaten
  3. Waere in Aufgabe 3 statt: ZB1/ZB2=ZA2/ZA1 nicht:
    ZB1/ZB2=ZA1/ZA2 richtig gewesen?

    Von Jael Guenther, vor 7 Monaten

Erster Strahlensatz – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Erster Strahlensatz – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum ersten Strahlensatz.

    Tipps

    So kann eine Strahlensatzfigur aussehen.

    Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Kennst du zwei Längen der Strahlensatzfigur, kannst du die letzte Strecke ausrechen.“

    • Um eine fehlende Länge der Strahlensatzfigur auszurechen, müssen drei Längen gegeben sein.
    „In einer Strahlensatzfigur müssen die Summen einander zugehöriger Strecken gleich groß sein.“

    • Mit einer Strahlensatzfigur kannst du eine Verhältnisgleichung zugehöriger Strecken aufstellen. Das ist eine Gleichung, die aus zwei Quotienten (das Ergebnis einer Division) besteht. Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Schneiden zwei Parallelen zwei Strahlen, die denselben Anfangspunkt besitzen, kannst du die Strahlensätze anwenden.“

    • So kann eine Strahlensatzfigur aussehen.
    „Der erste Strahlensatz ist auch anwendbar, wenn sich zwei Geraden schneiden und die Parallelen auf unterschiedlichen Seiten des Schnittpunkts liegen.“

    • Dies ist eine weitere Möglichkeit für eine Strahlensatzfigur.
    „Um eine Verhältnisgleichung aufzustellen, kannst du jeweils zwei Längen, die auf der gleichen Geraden liegen, durch einander teilen und miteinander gleichsetzen.

    Du musst jedoch immer die zwei größeren durch die beiden kleineren Längen oder die zwei kleineren durch die beiden größeren Längen teilen.“

    $~$

    • Die folgende Kombination ist nicht möglich: $\dfrac{\text{Lang}}{\text{Kurz}}=\dfrac{\text{Kurz}}{\text{Lang}}$
  • Beschrifte die Strahlensatzfigur.

    Tipps

    Eine Streckenbezeichnung besteht immer aus dem Anfangs- und Endpunkt. Darüber zeichnest du einen Strich. Zum Beispiel verläuft die Strecke $ \overline{A_2 B_2}$ zwischen den Punkten $A_2$ und $B_2$.

    Parallelen haben überall den gleichen Abstand zueinander.

    Lösung

    So kannst du die Strahlensatzfigur vervollständigen:

    • Eine Streckenbezeichnung besteht immer aus dem Anfangs- und Endpunkt. Darüber zeichnest du einen Strich. Zum Beispiel: $ \overline{ZA_2}$
    • Die Bezeichnung der Punkte kannst du genauso aus den Streckenbezeichnungen erkennen. $ \overline{ZA_2}$ verläuft zwischen den Punkten $Z$ und $A_2$
    • Strahlen sind Linien mit einem Anfangs- und keinem Endpunkt. Hier abgebildet sind zwei Strahlen, die aus dem gemeinsamen Punkt $Z$ entspringen. Parallelen haben überall den gleichen Abstand zueinander.
  • Bestimme die Länge mit Hilfe des ersten Strahlensatzes.

    Tipps

    Eine Verhältnisgleichung besteht aus zwei Quotienten, die gleichgesetzt werden.

    Hast du die Verhältnisgleichung aufgestellt, musst du die gegebenen Längen einsetzen und nach der gesuchten Länge auflösen.

    Lösung

    Du kannst die Rechnung so vervollständigen:

    Zuerst stellt Ray eine Verhältnisgleichung auf. Er weiß, dass er dafür jeweils zwei Längen auf demselben Strahl durch einander teilen und anschließend die beiden Verhältnisse gleichsetzen muss.

    • In der Mathematik ist ein Verhältnis der Quotient zweier Zahlen. Eine Verhältnisgleichung besteht aus zwei Quotienten, die gleichgesetzt werden.
    Er beginnt mit dem Verhältnis auf dem linken Strahl:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}$

    Das entsprechende Verhältnis auf dem rechten Strahl lautet:

    $\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

    Die Verhältnisgleichung lautet also:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

    • Hier musst du darauf achten, dass du die Verhältnisse richtig aufstellst. Du musst entweder zweimal die längere Strecke durch durch die kürzere Strecke teilen und gleichsetzen oder zweimal die kürzere Strecke durch die längere Strecke. Du darfst sie allerdings nie vermischen. Es gilt also:
    $\qquad \dfrac{\overline{ZB_1}}{\overline{ZB_2}}=\dfrac{\overline{ZA_1}}{\overline{ZA_2}}$

    $\qquad \dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

    $\qquad \dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}} \neq \dfrac{\overline{ZA_1}}{\overline{ZA_2}}$

    Hier kann er die gegebenen Längen einsetzen:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{5~\text{m}}=\dfrac{16~\text{m}}{10~\text{m}}$ (...)

    $\Leftrightarrow ~\overline{ZB_2}=8~\text{m}$

    • Hast du die Verhältnisgleichung aufgestellt, musst du die gegebenen Längen einsetzen und nach der gesuchten Länge auflösen.
  • Leite ab, warum du den ersten Strahlensatz auf verschiedene Strahlensatzfiguren anwenden kannst.

    Tipps

    In einer Punktspiegelung bleiben die Längen zwischen den Ursprungspunkten und dem Spiegelzentrum erhalten. Der gespiegelte Punkt hat also den gleichen Abstand zum Spiegelzentrum wie der ursprüngliche Punkt.

    Die klassische Strahlensatzfigur besteht aus zwei Strahlen, die dem gleichen Punkt $Z$ entspringen, welche von zwei parallelen Geraden geschnitten werden.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Spiegelst du die Punkte $A_2$ und $B_2$ an einer Achse, die parallel zu den beiden Parallelen liegt, dann erhältst du die Punkte $A_2'$ und $B_2'$.“

    • Die Punkte $A_2'$ und $B_2'$ erhältst du durch eine Punktspiegelung der Punkte $A_2$ und $B_2$ an $Z$.
    „Die Strahlensätze könntest du auch anwenden, wenn sich die drei Geraden durch $A_2'$ und $B_2'$, durch $A_1$ und $B_1$ sowie durch $A_2$ und $B_2$ schneiden würden.“

    • Das würde nicht funktionieren, da diese Geraden in der Strahlensatzfigur parallel sein müssen. Das ist nicht gegeben, wenn sie sich schneiden.
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Sind jeweils die Strecken $\overline{ZA_2}$ und $\overline{ZA_2'}$ sowie $\overline{ZB_2}$ und $\overline{ZB_2'}$ gleich lang, ist die Gerade durch $A_2$ und $B_2$ parallel zu der Geraden durch $A_2'$ und $B_2'$.“

    • Sind diese Längen gleich lang, erfüllen sie den ersten Strahlensatz. Deshalb muss auch die Gerade durch $A_2$ und $B_2$ parallel zur Geraden durch $A_2'$ und $B_2'$ sein.
    „Die Punkte $A_2'$ und $B_2'$ erhältst du durch eine Punktspiegelung der Punkte $A_2$ und $B_2$ am Schnittpunkt $Z$ der Geraden.“

    „Führst du eine Punktspiegelung der Punkte $A_1$ und $B_1$ an $Z$ durch, kannst du den ersten Strahlensatz auch auf die Figur bestehend aus den neu entstandenen Punkten $A_1'$ und $B_1'$ und den Punkten $A_2$ und $B_2$ anwenden.“

    • Durch diese Punktspiegelung erhältst du auf der linken Seite von $Z$ eine Strahlensatzfigur, die punktsysmmetrisch zu der auf der rechten Seite ist. Auf beiden Seiten kannst du die Strahlensätze anwenden.
  • Ermittle die korrekten Aussagen zu dieser Strahlensatzfigur.

    Tipps

    Eine mögliche Verhältnsigleichung lautet:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$.

    Diese Gleichung kannst du durch Äquivalenzumformungen umformen.

    Die Längen der Verhältnisgleichung kannst du berechnen, indem du sie in obige Gleichung einsetzt und nach der gesuchten Länge umformst.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Eine Verhältnisgleichung könnte so aussehen:

    $\dfrac{\overline{ZB_1}}{\overline{ZB_2}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$“

    „Um die Verhältnisgleichung aufzustellen, musst du Längen auf unterschiedlichen Geraden durch einander teilen und gleichsetzen. Damit ergibt sich beispielsweise:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZA_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZB_1}}$“

    • Um eine Verhältnisgleichung aufzustellen, kannst du jeweils die längere durch die kürzere Strecke auf derselben Geraden teilen und die beiden Quotienten gleichsetzen. Die aufgestellte Gleichung kannst du durch Äquivalenzumformungen umformen. Dadurch erhältst du aber keine der oben angegebenen Verhältnisgleichungen. Eine mögliche Gleichung lautet nämlich wie folgt:
    $\qquad\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

    „Sind die Längen $\overline{ZB_2}=4$, $\overline{ZA_1}=3$ und $\overline{ZB_1}=8$ gegeben, ergibt sich: $\overline{ZA_2}=6$“

    • Setzt du diese Längen in die obige Verhältnisgleichung ein und stellst um, dann erhältst du: $\overline{ZA_2}=\frac{4}{8} \cdot 3= \frac{3}{2}$
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Sind die Längen $\overline{ZB_2}=4$, $\overline{ZA_2}=3$ und $\overline{ZB_1}=8$ gegeben, ergibt sich: $\overline{ZA_1}=6$“

    • Durch das Anwenden obiger Verhältnisgleichung erhältst du: $\overline{ZA_1}=\frac{8}{4} \cdot 3 =6$
    „Die Strahlensätze kannst du auch anwenden, wenn die Parallelen sich auf unterschiedlichen Seiten des Schnittpunkts $Z$ befinden.“

    • Dieser Fall tritt in unserem Beispiel auf. Auch hier kannst du die Strahlensätze anwenden.
  • Ermittle die Längen mit Hilfe des ersten Strahlensatzes.

    Tipps

    So kann eine Strahlensatzfigur aussehen.

    Mit dem ersten Strahlensatz kannst du folgende Verhältnisgleichung bestimmen und passend umformen:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

    Lösung

    Mit dem ersten Strahlensatz kannst du folgende Verhältnisgleichung bestimmen und passend umformen:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

    Damit erhältst du folgende Längen:

    • $\overline{ZA_2}= \dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}} \cdot \overline{ZA_1} = \frac{8}{4} \cdot 5=10$
    • $\overline{ZB_2}=\frac{1}{2}$
    • $\overline{ZA_1}= \dfrac{\overline{ZB_1}}{\overline{ZB_2}} \cdot \overline{ZA_2}= \dfrac{1}{\frac{1}{3}} \cdot 6= 3 \cdot 6=18$
    • $\overline{ZB_1}=6$