Erweiterung der Strahlensätze

Erweiterung der Strahlensätze Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zur Erweiterung der Strahlensätze.

  Tipps

  Hier liegt der Schnittpunkt der Geraden zwischen den Parallelen.

  Der erste Strahlensatz der obigen Zeichnung lautet:

  $\dfrac{\overline{ S A_1 }}{\overline{S A_2}}=\dfrac{\overline{ S B_1 }}{\overline{S B_2}}$.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Strahlensätze kannst du nur anwenden, wenn die Parallelen auf der gleichen Seite des Schnittpunkts $S$ der sich schneidenden Geraden liegen.“

  • Auch hier kannst du die bekannten Strahlensätze anwenden. Du kannst die Figur nämlich durch eine Punktspiegelung auf die ursprüngliche zurückführen.

  „Mit dem zweiten Strahlensatz kannst du ausschließlich fehlende Längen der sich schneidenden Geraden berechnen.“

  • Der zweite Strahlensatz enthält die Längen der Parallelen, die zwischen den sich schneidenden Geraden liegen. Du kannst damit also auch diese berechnen.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Die Rechnung des ersten Strahlensatzes kannst du aufstellen, indem du jeweils die Längen, die auf derselben Geraden liegen, ins Verhältnis setzt.“

  „Eine Verhältnisgleichung kannst du immer in eine Bruchgleichung umschreiben.“

  • Mit Bruchgleichungen lässt sich viel besser rechnen. Wenn möglich, solltest du deine Gleichungen so umschreiben.

  „Wenn die Parallelen auf unterschiedlichen Seiten des Schnittpunkts $S$ der sich schneidenden Geraden liegen, kannst du trotzdem die Strahlensätze anwenden. Das kannst du daran erkennen, dass du diese Figur durch eine Punktspiegelung auf die ursprünglichen Strahlensätze zurückführen kannst.“

• Berechne die Länge mit dem zweiten Strahlensatz.

  Tipps

  Führst du eine Punktspiegelung einer geometrischen Figur durch, bleiben sämtliche Längen der Figur erhalten.

  Mit dem zweiten Strahlensatz kannst du jeweils die Strecken auf den Parallelen sowie die Strecken auf den sich schneidenden Geraden ins Verhältnis setzen. Anschließend setzt du die Verhältnisse gleich.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  Zwei Parallelen schneiden zwei weitere, sich schneidende Geraden. Du kannst die Strahlensätze auch anwenden, wenn der Schnittpunkt der sich schneidenden Geraden zwischen den Parallelen liegt. Das kannst du dir mit einer Punktspiegelung veranschaulichen.

  • Eine Punktspiegelung erhält die Längen einer Figur. Deshalb kannst du auch hier die Strahlensätze anwenden.

  In diesem Beispiel soll die Länge $\overline{A_2 B_2}$, also die Strecke auf einer der Parallelen zwischen den Punkten $A_2$ und $B_2$, berechnet werden. Dazu kannst du folgende Verhältnisgleichung aufstellen:

  $\overline{A_2 B_2}:\overline{A_1 B_1}=\overline{ S A_2 }:\overline{S A_1}$.

  • Hier wendest du den zweiten Strahlensatz an. Dabei setzt du jeweils die Strecken auf den Parallelen ($\overline{A_2 B_2}$ und $\overline{A_1 B_1}$) sowie die Strecken auf den sich schneidenden Geraden ($\overline{ S A_2 }$ und $\overline{S A_1}$) ins Verhältnis. Anschließend setzt du die Verhältnisse gleich.

  In diese Gleichung kannst du die gegebenen Zahlenwerte einsetzen:

  $\frac{\overline{A_2 B_2}}{5}=\frac{14}{7}$.

  Und nach der gesuchten Größe umstellen und ausrechnen:

  $\overline{A_2 B_2}= 5 \cdot \frac{14}{7}=10$.

  Die gesuchte Länge ist also $10$ Längeneinheiten lang.

  • Nachdem du die Gleichung aufgestellt hast, kannst du die gesuchte Größe bestimmen.

• Erschließe die korrekten Aussagen.

  Tipps

  In dieser Figur kannst du die Strahlensätze anwenden, da du die Figur punktspiegeln kannst.

  Den ersten Strahlensatz kannst du zum Beispiel so ausdrücken:

  $\dfrac{\overline{S B_1 }}{\overline{S B_2 }}=\dfrac{\overline{S A_1 }}{\overline{S A_2 }}$.

  Diese Gleichung kannst du zudem durch Äquivalenzumformungen umformen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Mit dem ersten Strahlensatz kannst du $\overline{ A_2 B_2}=25$ bestimmen.“

  Das Ergebnis ist korrekt, allerdings wird hier der zweite Strahlensatz angewandt. $\overline{A_2 B_2}= \dfrac{\overline{ S A_2 }}{\overline{S A_1}} \cdot \overline{A_1 B_1}=\dfrac{30}{60} \cdot 50= 25$

  „Nach einer Punktspiegelung liegen die Punkte $A_1$ und $B_2$ auf einer Geraden.“

  Nach einer Punktspiegelung liegen jeweils die Punkte $A_1$ und $A_2$ sowie die Punkte $B_1$ und $B_2$ auf einer Geraden. Deshalb kannst du hier die Strahlensätze anwenden.

  Diese Aussagen sind korrekt:

  „Das Verhältnis $\dfrac{\overline{S B_1 }}{\overline{S B_2 }}$ beträgt $2$.“

  Mit dem ersten Strahlensatz kannst du die Verhältnisse $\dfrac{\overline{S B_1 }}{\overline{S B_2 }}=\dfrac{\overline{S A_1 }}{\overline{S A_2 }}$ angeben. Setzt du hier $\overline{S A_1 }=60$ sowie $\overline{S A_2 }=30$ und kürzt, erhältst du das angegebene Verhältnis.

  „Der erste Strahlensatz besagt: $\dfrac{\overline{S B_2 }}{\overline{S B_1 }}=\dfrac{\overline{S A_2 }}{\overline{S A_1 }}$.“

  Den ersten Strahlensatz kannst du auf verschiedene Arten ausdrücken. Durch Äquivalenzumformungen kannst du $\dfrac{\overline{S B_1 }}{\overline{S B_2 }}=\dfrac{\overline{S A_1 }}{\overline{S A_2 }}$ in obiges Ergebnis umformen.

  „Um die fehlende Parallele zu bestimmen, musst du das Ergebnis von $\dfrac{30}{60} \cdot 50$ bestimmen.“

  Formst du den zweiten Strahlensatz $ \dfrac{\overline{A_2 B_2}}{\overline{A_1 B_1}}= \dfrac{\overline{ S A_2 }}{\overline{S A_1}}$ um, erhältst du: $\overline{A_2 B_2}= \dfrac{\overline{ S A_2 }}{\overline{S A_1}} \cdot \overline{A_1 B_1}=\dfrac{30}{60} \cdot 50= 25$.

• Bestimme die Längen mit den Strahlensätzen.

  Tipps

  So kann der zweite Strahlensatz lauten:

  $\dfrac{\overline{A_2 B_2}}{\overline{A_1 B_1}}=\dfrac{\overline{ S A_2 }}{\overline{S A_1}}$.

  $\dfrac{\overline{S B_2 }}{\overline{S B_1 }}=\dfrac{\overline{S A_2 }}{\overline{S A_1 }}$

  Das ist ein möglicher erster Strahlensatz.

  Lösung

  Um die Paare zu verbinden, musst du die Strahlensätze anwenden. Der erste Strahlensatz kann lauten:

  $\dfrac{\overline{S B_2 }}{\overline{S B_1 }}=\dfrac{\overline{S A_2 }}{\overline{S A_1 }}$.

  Setzt du hier $\overline{ S B_2 }=3$, $\overline{ S A_2 }=1$ und $\overline{ S A_1 }=3$ und formst um, erhältst du:

  • $\overline{ S B_1 }=\overline{ S B_2 } \cdot \frac{\overline{ S A_1 }}{\overline{ S A_2 }}= 3 \cdot \frac{3}{1}=9$.

  Eine Variante des zweiten Strahlensatzes lautet:

  $\dfrac{\overline{A_2 B_2}}{\overline{A_1 B_1}}=\dfrac{\overline{ S A_2 }}{\overline{S A_1}}$.

  Mit dieser Beziehung kannst du mit den Werten $\overline{A_2 B_2}=5$, $\overline{A_1 B_1}=2$ und $\overline{ S A_1 }=1$ die fehlende Länge berechnen:

  • $\overline{ S A_2 }=\frac{\overline{A_2 B_2}}{\overline{A_1 B_1}} \cdot \overline{ S A_1 }= \frac{5}{2} \cdot 1= 2,5$.

  Die anderen Längen kannst du ähnlich berechnen:

  • Aus $\overline{A_2 B_2}=10$, $\overline{ S A_2 }=6$ und $\overline{ S A_1 }=3$ folgt: $\overline{A_1 B_1}=5$.

  • Und mit $\overline{ S B_1 }=15$, $\overline{ S A_2 }=2$ und $\overline{ S A_1 }=5$ erhältst du $\overline{ S B_2 }=6$.

• Beschrifte die Zeichnung.

  Tipps

  Längen zwischen zwei Punkten beschriftest du immer durch die Bezeichnung der beiden Endpunkte, über die du eine Strecke mit der jeweiligen Länge zeichnest.

  Anhand der Längen kannst du erkennen, wie die Endpunkte der Länge bezeichnet werden.

  Lösung

  So kannst du das Bild beschriften:

  • Längen zwischen zwei Punkten beschriftest du immer durch die Bezeichnung der beiden Endpunkte, über die du eine Linie zeichnest.

  • Anhand der Längen kannst du erkennen, wie die Endpunkte der Länge bezeichnet werden.

• Leite die korrekten Aussagen zu Sammellinsen her.

  Tipps

  Die Mittellinie und die rote und grüne Geraden kannst du als die sich schneidenden Geraden betrachten.

  Die Gegenstandsgröße $G$ könntest du auch in die Linse verschieben.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  „Nach dem ersten Strahlensatz gilt: $\dfrac{f}{2}=\dfrac{g}{b}$“

  • Keiner der Strahlensätze gibt diese Beziehung her.

  „Es gilt: $\dfrac{F}{f}=\dfrac{B}{b}$“

  • Das kann nicht sein, da $F$ direkt auf der Mittellinie liegt. Es gilt also $F=0$, während das Verhältnis $\dfrac{B}{b}$ nicht verschwindet.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  „Es gilt: $\dfrac{G}{B}=\dfrac{g}{b}$“

  • Hier kannst du die Mittellinie und die grüne Gerade als die sich schneidenden Geraden betrachten. $G$ und $B$ sind die Parallelen. Mit dem zweiten Strahlensatz ergibt sich die genannte Beziehung.

  „Mit dem zweiten Strahlensatz ergibt sich: $\dfrac{G}{f}=\dfrac{B}{b-f}$“

  • Hier betrachtest du die Mittellinie und die rote Gerade rechts von der Linse als die sich schneidenden Geraden. $G$ und $B$ sind die Parallelen (Die Gegenstandsgröße $G$ könntest du auch in die Linse verschieben). Mit dem zweiten Strahlensatz ergibt sich die genannte Beziehung.