Strahlensätze – Übungen

1) Frage: Unter welcher Bedingung gelten die Strahlensätze in Dreiecken?
Antwort: Wenn eine Gerade, die zwei Seiten eines Dreiecks schneidet, parallel zur dritten Seite verläuft.

Erläuterung:

• Zieht man in einem Dreieck ABC eine Gerade durch zwei Punkte P auf AB und Q auf AC, so gelten die Strahlensätze nur, wenn PQ ∥ BC.
• Dadurch entstehen in den Ecken von ABP und ACQ gleich große Winkel:
  • ∠APB = ∠ABC (weil PQ ∥ BC)
  • ∠APB = ∠ACB (ebenfalls wegen Parallelität)
• Diese Nebenwinkelgleichheit führt zu ähnlichen Dreiecken, was die Verhältnisaussagen ermöglicht.

2) Frage: Wie lautet der erste Strahlensatz für die Streckenabschnitte auf den Schenkeln?
Antwort: $$\frac{\overline{SA}}{\overline{SA’}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB’}}$$

Erläuterung:

• Dieser Satz besagt also, dass sich die Abschnitte auf den beiden Schenkeln im gleichen Verhältnis teilen.
• $S$ ist dabei der Scheitelpunkt.

3) Frage: Wie lautet der zweite Strahlensatz für die Verhältnisgleichheit aller drei entsprechenden Streckenlängen?
Antwort: $$\frac{\overline{AB}}{\overline{A’B’}} = \frac{\overline{SA}}{\overline{SA’}} =\frac{\overline{SB}}{\overline{SB’}}$$

Erläuterung:

• Dieser Strahlensatz zeigt, dass die Parallelenabschnitte zueinander im gleichen Verhältnis stehen wie die Schenkelabschnitte.

4) Frage: Können die Strahlensätze auch angewendet werden, wenn die parallelen Geraden auf unterschiedlichen Seiten des Scheitelpunktes $S$ liegen?
Antwort: Ja, auch dann sind die Strahlensätze aufgrund der Symmetrie anwendbar.

Erläuterung:

• Wir können die entsprechenden Punkte bzw. Strecken mithilfe der Punktspiegelung auch auf die andere Seite des Scheitelpunktes übertragen. Dadurch ist ersichtlich, dass die Strahlensätze auch in dieser Konstellation anwendbar sind.

5) Frage: Welche Aussage trifft zu, wenn zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind?
Antwort: Die Verhältnisse aller entsprechenden Seitenpaare sind gleich.

Erläuterung:

• Ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel und ihre Seiten stehen in einem konstanten Verhältnis.
• Sind ΔABC und ΔA'B'C' ähnlich, so gilt:
  $$ \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} $$
• Dieses Verhältnis bezeichnet man als Ähnlichkeitsfaktor $k$.
• Beispiel: Ist $k = \frac{1}{2}$, dann ist jede Seite von ΔA'B'C' halb so lang wie die entsprechende Seite von ΔABC.
• Diese Eigenschaft nutzt man, um in Praxisaufgaben unbekannte Längen durch Proportion zu berechnen.

Erster Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{7}{28} = \frac{\overline{SB}}{48} $$
2. Den Bruch links mit $7$ kürzen:
   $$ \frac{1}{4} = \frac{\overline{SB}}{48} $$
3. Mit $48$ multiplizieren:
   $$ \overline{SB} = \frac{48}{4} = \underline{\underline{12\,[\text{cm}]}} $$

Erweiterter erster Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{SA}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{BB'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{25}{50} = \frac{\overline{SB}}{36} $$
2. Den Bruch links mit $25$ kürzen:
   $$ \frac{1}{2} = \frac{\overline{SB}}{36} $$
3. Mit $36$ multiplizieren:
   $$ \overline{SB} = \frac{36}{2} = \underline{\underline{18\,[\text{cm}]}} $$

Erweiterter erster Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{SA'}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{SB'}}{\overline{BB'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{32{,}5}{13} = \frac{36}{\overline{BB'}} $$
2. Lösen nach $\overline{BB'}$:
   $$ \overline{BB'} = 36 \cdot \frac{13}{32{,}5} = 36 \cdot 0{,}4 = \underline{\underline{14{,}4\,[\text{cm}]}} $$

Erster Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{5}{\overline{SA'}} = \frac{10}{40} $$
2. Lösen nach $\overline{SA'}$:
   $$ \overline{SA'} = 5 \cdot \frac{40}{10} = 5 \cdot 4 = \underline{\underline{20\,[\text{cm}]}} $$

Erweiterter erster Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{SA}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{SB'}}{\overline{BB'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{12}{4} = \frac{\overline{SB'}}{5} $$
2. Lösen nach $\overline{SB'}$:
   $$ \overline{SB'} = \frac{12}{4} \cdot 5 = 3 \cdot 5 = \underline{\underline{15\,[\text{cm}]}} $$

Zweiter Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{6}{12} = \frac{10}{\overline{SA'}} $$
2. Bruch kürzen:
   $$ \frac{1}{2} = \frac{10}{\overline{SA'}} $$
3. Lösen nach $\overline{SA'}$:
   $$ \overline{SA'} = 10 \cdot 2 = \underline{\underline{20\,[\text{cm}]}} $$

Zweiter Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{8}{20} = \frac{\overline{SB}}{25} $$
2. Bruch kürzen:
   $$ \frac{2}{5} = \frac{\overline{SB}}{25} $$
3. Lösen nach $\overline{SB}$:
   $$ \overline{SB} = \frac{2}{5} \cdot 25 = \underline{\underline{10\,[\text{cm}]}} $$

Zweiter Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{15}{18} = \frac{\overline{AB}}{12} $$
2. Bruch kürzen:
   $$ \frac{5}{6} = \frac{\overline{AB}}{12} $$
3. Lösen nach $\overline{AB}$:
   $$ \overline{AB} = \frac{5}{6} \cdot 12 = \underline{\underline{10\,[\text{cm}]}} $$

Zweiter Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{6}{24} = \frac{9}{\overline{SA'}} $$
2. Bruch kürzen:
   $$ \frac{1}{4} = \frac{9}{\overline{SA'}} $$
3. Lösen nach $\overline{SA'}$:
   $$ \overline{SA'} = 9 \cdot 4 = \underline{\underline{36\,[\text{cm}]}} $$

Zweiter Strahlensatz:
$$ \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}} $$

Rechnung (ohne Einheiten):

1. Werte einsetzen:
   $$ \frac{7}{14} = \frac{10{,}5}{\overline{SB'}} $$
2. Bruch kürzen:
   $$ \frac{1}{2} = \frac{10{,}5}{\overline{SB'}} $$
3. Lösen nach $\overline{SB'}$:
   $$ \overline{SB'} = 10{,}5 \cdot 2 = \underline{\underline{21\,[\text{cm}]}} $$

Lösungsweg:

Zuerst musst du die Skizze zu einer Strahlensatzfigur ergänzen.

Dann kannst du den zweiten Strahlensatz anwenden:

$$\frac{y}{0{,}6}=\frac{2{,}4+y}{1{,}6}$$

Du kannst nun kreuz-multiplizieren:

$$y\cdot 1{,}6=(2{,}4+y)\cdot 0{,}6$$

Dann ausmultiplizieren:

$$1{,}6y=1{,}44+0{,}6y$$

Und schließlich kannst du $y$ auf eine Seite bringen:

$$y=1{,}44\,[\text{m}]$$

Außerdem gilt (ebenfalls aufgrund des zweiten Strahlensatzes):

$$\frac{y}{0{,}6}=\frac{y+1{,}2}{x}$$

Du kannst den berechneten Wert für $y$ einsetzen:

$$\frac{1{,}44}{0{,}6}=\frac{2{,}64}{x}$$

Dann solltest du nach $x$ umstellen:

$$x=2{,}64\cdot\frac{0{,}6}{1{,}44}=\underline{\underline{1{,}1\,[\text{m}]}}$$

Antwort:
Das Ablagebrett muss $1{,}1\,\text{m}$ lang sein.