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Zweiter Strahlensatz – Einführung 06:05 min

Textversion des Videos

Transkript Zweiter Strahlensatz – Einführung

Liebe kennt keine Grenzen. Da ist es auch egal, dass der Zwerg Fjodor um einiges kleiner ist als seine Frau Kunigunde – als Riesin kann sie leicht über Größenunterschiede hinwegsehen. Das ungleiche Paar will ein neues gemeinsames Bild von sich knipsen. Aber irgendwie klappt das nicht so ganz. Können wir den beiden helfen, gemeinsam auf das Bild zu passen? Klar, das schaffen wir – mit Hilfe des 2. Strahlensatzes! Fjodor kennt nämlich einen cleveren Trick: er benutzt die Perspektive, um auf dem Bild genauso groß wie Kunigunde zu wirken. Dazu legt er die Kamera ein paar Schritte vor sich auf den Boden und bittet Kunigunde, für das Bild ein gutes Stück hinter ihm zu stehen. Aber wie weit genau? Schauen wir uns das Ganze doch in einer Skizze an. Dieser Strahl hier entspricht dem Boden. Hier vorne steht Fjodor, schön aufrecht fürs Bild. Und irgendwo hinter ihm soll sich Kunigunde positionieren. Die Kamera liegt hier – diesen Punkt bezeichnen wir mit Z. Damit Fjodor und Kunigunde auf dem Bild gleich groß wirken, muss dieser Strahl durch die Kamera und ihre beiden Köpfe verlaufen. Da die beiden natürlich ganz gerade stehen, können wir sie in der Skizze durch parallele Strecken darstellen – also durch zwei Strecken, die jeweils auf parallelen Geraden liegen. Wir wissen natürlich, wie groß die beiden sind: Fjodor hat eine für Zwerge sehr stattliche Körpergröße von drei ganzen Käsen – er ist also drei Käse hoch. Kunigunde misst stolze 9 Käse! Und Fjodor ist für das Bild 6 Käse weit von der Kamera weggegangen. Erinnert dich diese Skizze an etwas? Wir haben zwei Strahlen, die von Parallelen geschnitten werden. So eine Figur nennt man Strahlensatzfigur. Also ein klarer Fall für den Strahlensatz! Wir führen noch rasch ein paar Bezeichnungen ein, bevor es losgeht. Die Punkte, an denen Fjodor und Kunigunde stehen, nennen wir B1 und B2. Die Positionen ihrer Köpfe bezeichnen wir mit A1 und A2. Wir wollen wissen, wie weit Kunigunde von der Kamera entfernt stehen muss. Das entspricht der Länge der Seite ZB2. Der zweite Strahlensatz besagt nun Folgendes: Das Verhältnis der Länge dieser langen Seite entlang des Strahls ZB2 und dieser langen Strecke entlang der dieser Parallele also A2B2 ist genau gleich dem Verhältnis dieser kurzen Seite entlang des Strahls ZB1 und der kurzen Strecke entlang dieser Parallelen A1B1. Du kannst diese Verhältnisse auf verschiedene Arten aufstellen, am besten versuchst du immer, die gesuchte Größe als allererstes zu benutzen – so wie wir hier die Strecke ZB2. Denn nun können wir mit Hilfe der bekannten Größen die Länge der Strecke ZB2 ausrechnen. Dazu schreiben wir diese Verhältnisgleichung zunächst als Bruchgleichung – also so. Dann multiplizieren wir beide Seiten mit der Strecke A2B2 und haben so die gesuchte Größe ZB2 isoliert. Jetzt müssen wir noch einsetzen: die Strecke ZB1 ist Fjodors Entfernung von der Kamera, also 6 Strecke A1B1 ist Fjodors Größe: 3 und die Strecke A2B2 entspricht Kunigundes Größe, nämlich 9. Kürzen wir zunächst die sechs Drittel zu zwei und multiplizieren dann ergibt das für den Abstand von Kunigunde zur Kamera 18. Also muss sie sich 18 Käse weit vor die Kamera stellen, um genauso groß zu wirken wie Fjodor. Und wir können uns als Faustregel für den 2. Strahlensatz merken: Lange Strecke auf dem Strahl zu langer Strecke auf dieser Parallelen ist gleich kurze Strecke auf dem Strahl zu kurzer Strecke auf dieser Parallelen. Übrigens müssen die beiden Parallelen nicht auf der gleichen Seite liegen! Wenn sich anstatt zweier Strahlen zwei Geraden schneiden, können die Parallelen auf beiden Seiten des Schnittpunkts verlaufen. Nehmen wir an, wir interessieren uns für die Länge der Strecke B1A1 hier. Können wir sie auch mit dem 2. Strahlensatz bestimmen? Wenn wir die richtigen Seitenverhältnisse aufstellen, geht das ganz genau wie zuvor. Die Strecke B1A1 entspricht der langen Strecke auf der Parallelen also brauchen wir eine lange Strecke auf einer der Geraden – zum Beispiel die Strecke ZA1. Und gemäß unserer Faustregel fehlen jetzt noch eine kurze Strecke auf einer Parallelen also Strecke B2A2 und die kurze Strecke auf der Geraden nämlich die Strecke ZA2. Indem wir mit ZA1 multiplizieren, lösen wir nach B1A1 auf. Dann lesen wir die Längen aus der Zeichnung ab und setzen sie in die Gleichung ein. Jetzt müssen wir nur noch vereinfachen und finden so, dass die Strecke B1A1 8 Einheiten lang ist! Zeit für die Zusammenfassung. Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis zweier langer Seiten in einer Strahlensatzfigur gleich dem Verhältnis zweier entsprechender kurzer Seiten ist; oder als Faustregel: "lang zu lang gleich kurz zu kurz". Beim zweiten Strahlensatz liegen zwei der Längen immer auf den beiden Parellelen. So kannst du also immer Längen in Strahlensatzfiguren bestimmen, wenn die übrigen drei der vier Längen der Bruchgleichung gegeben sind. Dazu musst du in der Bruchgleichung nur noch nach der gesuchten Länge auflösen und die bekannten Werte einsetzen. Damit kannst du oft Entfernungen oder Größen ausrechnen. Der zweite Strahlensatz gilt auch, wenn anstatt der zwei Strahlen zwei Geraden von Parallelen geschnitten werden, die auf beiden Seiten des Schnittpunkts liegen. Und damit kriegst du auch Zwerge und Riesen leicht gemeinsam auf ein Bild. A propos, wie ist Fjodors und Kunigundes Bild denn geworden? Oh Photobomb! Das wird die beiden bestimmt wurmen.

2 Kommentare
  1. Hallo Michael!

    Die x/6 sind ganz richtig, jedoch die 6/3 nicht. Wenn du dir die Stelle noch einmal anschaust, kannst du sehen, dass du zwei Mal die gleiche Strecke benutzt hast, nämlich die, die 6 lang ist. Du musst jedoch die beiden orangefarbenen Strecken benutzen und dann kommt diese Gleichung heraus: x/6 = 4/3

    Ich hoffe das hat dir weitergeholfen!
    Grüße aus der Redaktion :-)

    Von Luca Richter, vor 7 Monaten
  2. Ich habe eine Frage: bei mi kommt nach dem Einsetzten (Nicht so wie du es in dem Video zeigst)
    x/6 ist gleich wie 6/3 beim 2ten Beispiel ist das auch richtig

    Von Michael Maier, vor 7 Monaten

Zweiter Strahlensatz – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweiter Strahlensatz – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum zweiten Strahlensatz.

    Tipps

    So kann eine Strahlensatzfigur aussehen.

    Bei obigem Bild kannst du mit dem zweiten Strahlensatz folgende Verhältnisgleichung aufstellen:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{A_2B_2}}=\dfrac{\overline{ZB_1}}{\overline{A_1B_1}}$

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Kennst du zwei Längen der Strahlensatzfigur, kannst du die letzte Strecke ausrechen.“

    • Um Strahlensätze anzuwenden, brauchst du immer insgesamt vier Strecken, von denen eine unbekannt ist.
    „In einer Strahlensatzfigur entspricht die Differenz der beiden längeren Strecken genau der Differenz der beiden kürzeren Strecken.“

    • Mit den Strahlensätzen kannst du Verhältnisgleichungen aufstellen. Das sind Gleichungen, die aus zwei Quotienten (das Ergebnis einer Division) bestehen. Eine Differenz ist das Ergebnis einer Subtraktion.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Schneiden zwei Parallelen zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen, kannst du den zweiten Strahlensatz anwenden.“

    „Die Strahlensätze sind auch anwendbar, wenn sich zwei Geraden schneiden und die Parallelen auf unterschiedlichen Seiten des Schnittpunkts liegen.“

    • So können Strahlensatzfiguren aussehen.
    „Um eine Verhältnisgleichung aufzustellen, teilst du jeweils zwei Längen durch einander und setzt sie gleich. Du musst jedoch immer die zwei längeren durch die beiden kürzeren Strecken, oder die zwei kürzeren durch die beiden längeren Strecken teilen.“

    Die folgende Kombination ist nicht möglich: $\dfrac{\text{Lang}}{\text{Kurz}}=\dfrac{\text{Kurz}}{\text{Lang}}$

  • Beschrifte die Strahlensatzfigur.

    Tipps

    Eine Streckenbezeichnung besteht immer aus dem Anfangs- und Endpunkt. Darüber zeichnest du einen Strich. Zum Beispiel verläuft die Strecke $ \overline{A_1 B_1}$ zwischen den Punkten $A_1$ und $B_1$.

    Parallelen haben überall den gleichen Abstand zueinander.

    Lösung

    So kannst du die Strahlensatzfigur vervollständigen:

    • Eine Streckenbezeichnung besteht immer aus dem Anfangs- und Endpunkt. Darüber zeichnest du einen Strich. Zum Beispiel: $ \overline{ZB_2}$
    • Die Bezeichnung der Punkte kannst du genauso aus den Streckenbezeichnungen erkennen. $\overline{ZB_2}$ verläuft zwischen den Punkten $Z$ und $B_2$
    • Strahlen sind die Geraden, die aus dem gemeinsamen Punkt $Z$ entspringen. Parallelen haben überall den gleichen Abstand zueinander.
  • Arbeite die korrekten Aussagen heraus.

    Tipps

    So kann eine Strahlensatzfigur aussehen, in der die Parallelen auf unterschiedlichen Seiten des Schnittpunkts $Z$ zweier Geraden liegen.

    Lösung

    Diese Aussage ist falsch:

    „Mit dem ersten Strahlensatz kannst du nur Strecken auf den Strahlen berechnen, während du mit dem zweiten Strahlensatz nur Strecken auf den Parallelen berechnen kannst.“

    • Mit dem ersten Strahlensatz kannst du in der Tat nur Strecken auf den Strahlen berechnen, allerdings kannst du den zweiten Strahlensatz verwenden, um sowohl Strecken auf den Parallelen als auch Strecken auf den Strahlen zu berechnen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „In einer Figur, in der du mit dem ersten Strahlensatz Strecken auf den Strahlen berechnen kannst, kannst du auch den zweiten Strahlensatz verwenden, um Strecken auf den Parallelen zu bestimmen.“

    „Eine Verhältnisgleichung, die mit dem ersten Strahlensatz aufgestellt wurde, kann heißen:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$.“

    • Beim ersten Strahlensatz verwendest du dieselbe Strahlensatzfigur, allerdings stellst du nur Strecken auf den Strahlen ins Verhältnis. Eine Faustregel kann lauten: Teile die kürzere Strecke auf einem Strahl durch die längere Strecke auf dem gleichen Strahl. Teile dann die kürzere Strecke auf dem anderen Strahl durch die längere Strecke auf dem gleichen Strahl. Setze anschließend die Verhältnisse gleich.
    „Eine Strahlensatzfigur, in der die Parallelen auf unterschiedlichen Seiten des Schnittpunkts $Z$ zweier Geraden liegen, kannst du durch eine Punktspiegelung an $Z$ auf eine Strahlensatzfigur zurückführen, in der zwei Strahlen einem gemeinsamen Punkt $Z$entspringen und die Parallelen auf der gleichen Seite dieses Punktes liegen.“

    • Du kannst tatsächlich mit einer Punktspiegelung die beiden Strahlensatzfiguren ineinander überführen. Dabei bleiben die Längen der Figur nämlich erhalten.
    „In einer Strahlensatzfigur bezeichnet man üblicherweise Punkte auf einer Geraden mit dem gleichen Buchstaben, aber nummeriert diese. Wenn du möchtest, kannst du diese Bezeichnungen aber auch frei wählen.“

    • Nur wenn du diese Konvention beibehältst, haben die Verhältnisgleichungen der Strahlensätze Sinn. Änderst du die Bezeichnungen, musst du auch die Variablen in den Verhältnisgleichungen ändern.
  • Berechne die fehlende Länge mit dem zweiten Strahlensatz.

    Tipps

    So könnte eine Skizze zu der Situation aussehen.

    Die Verhältnisgleichung besteht aus zwei Verhältnissen. Eine Merkregel kann lauten, dass du jeweils die beiden längeren und die beiden kürzeren Strecken zuerst ins Verhältnis und anschließend gleichsetzt. Dabei musst du darauf achten, dass du in beiden Verhältnissen die gleichen Strecken (z.B. die Strecken auf den Strahlen) durch die anderen teilst (z.B. die Strecken auf den Parallelen).

    Lösung

    Die Rechnung kannst du so vervollständigen:

    Zuerst stellen die beiden eine Verhältnisgleichung auf. Dazu teilen sie die längere Strecke des Strahls $\overline{ZB_2}$ durch die längere Strecke der Parallelen $\overline{A_2B_2}$. (...)

    Das andere Verhältnis besteht aus der kürzeren Strecke des Strahls $\overline{ZB_1}$ geteilt durch die kürzere Strecke der Parallelen $\overline{A_1B_1}$. (...)

    • Die Verhältnisgleichung besteht aus zwei Verhältnissen. Eine Merkregel kann lauten, dass du jeweils die beiden längeren und die beiden kürzeren Strecken zuerst ins Verhältnis und anschließend gleichsetzt. Dabei musst du darauf achten, dass du in beiden Verhältnissen die gleichen Strecken (z.B. die Strecken auf den Strahlen) durch die anderen teilst (z.B. die Strecken auf den Parallelen).
    Durch Gleichsetzen erhalten sie folgende Verhältnisgleichung:

    $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{A_2B_2}}=\dfrac{\overline{ZB_1}}{\overline{A_1B_1}}$

    • Wie du hier siehst, wurde auf der linken Seite der Gleichung die längere Strecke auf dem Strahl durch die längere Parallele geteilt. Auf der rechten Seite steht entsprechend die kürzere Strecke auf dem Strahl geteilt durch die kürzere Parallele.
    Hier können sie die gegebenen Längen einsetzen:

    $\frac{\overline{ZB_2}}{9}=\frac{6}{3}$

    Durch Umformen erhalten sie:

    $\overline{ZB_2}=\frac{6}{3} \cdot 9= 18$

    Kunigunde muss also $18$ Längeneinheiten von der Kamera entfernt stehen.

    • Hast du die Gleichung aufgestellt, musst du noch die gegebenen Zahlen einsetzen und nach der gesuchten Größe umstellen.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu dieser Strahlensatzfigur.

    Tipps

    Eine Verhältnisgleichung nach dem zweiten Strahlensatz kann lauten:

    $\dfrac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}$

    Diese Gleichung kannst du durch Äquivalenzumformungen umstellen.

    Der zweite Strahlensatz trifft eine Aussage zu den Streckenverhältnissen von den zwei Strecken auf einem Strahl zu den zwei Strecken auf den beiden Parallelen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    „Nach dem zweiten Strahlensatz könnte eine Verhältnisgleichung so aussehen:

    $\dfrac{\overline{ZB_1}}{\overline{ZB_2}}=\dfrac{\overline{ZA_1}}{\overline{ZA_2}}$“

    • Dies ist zwar eine korrekte Strahlensatzgleichung, allerdings wurde hier der erste Strahlensatz angewandt. Das kannst du erkennen, da hier keine der Parallelen in der Gleichung vorkommt.
    „Dies ist ebenfalls eine korrekte Verhältnisgleichung nach dem zweiten Strahlensatz:

    $\dfrac{\overline{A_2B_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{ZA_1}}$“

    • Eine Verhältnisgleichung kannst du beispielsweise aufstellen, indem du jeweils die beiden längeren und die beiden kürzeren Strecken zuerst ins Verhältnis und anschließend gleichsetzt. Dabei musst du darauf achten, dass du in beiden Verhältnissen die gleichen Strecken (z.B. die Strecken auf den Parallelen) durch die anderen teilst (z.B. die Strecken auf den Strahlen). Dann ergibt sich beispielsweise: $\dfrac{\overline{A_2B_2}}{\overline{ZB_2}}=\dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{ZB_1}}$ Diese Gleichung kannst du durch Äquivalenzumformungen umstellen.
    „Sind die Längen $\overline{ZB_1}=3$, $\overline{ZB_2}=4$ und $\overline{A_1B_1}=8$ gegeben, ergibt sich für $\overline{A_2B_2}=6$“

    • Hier ergibt sich für $\overline{A_2B_2}= \frac{\overline{A_1B_1}}{\overline{ZB_1}} \cdot \overline{ZB_2} =\frac{8}{3} \cdot 4=\frac{32}{3}$
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Sind die Längen $\overline{ZB_2}=4$, $\overline{ZB_2}=3$ und $\overline{A_1B_1}=8$ gegeben, ergibt sich für $\overline{A_2B_2}=6$“

    „Eine korrekte Verhältnisgleichung nach dem zweiten Strahlensatz könnte so aussehen:

    $\dfrac{\overline{A_2B_2}}{\overline{ZB_2}}=\dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{ZB_1}}$“

  • Ermittle die fehlenden Längen mit dem zweiten Strahlensatz.

    Tipps

    So kann eine Strahlensatzfigur aussehen.

    Eine Strahlensatzfigur kannst du mit beiden Strahlen aufstellen. Du kannst also

    $\dfrac{\overline{A_2B_2}}{\overline{ZA_2}}=\dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{ZA_1}}$

    mit dem Strahl, auf dem die Punkte $A_1$ und $A_2$ liegen, aufstellen. Genauso kannst du das mit dem Strahl, auf dem die Punkte $B_1$ und $B_2$ liegen, tun.

    Lösung

    Um die fehlenden Längen zu berechnen, musst du die richtigen Strahlensätze aufstellen, die gegebenen Längen in die Gleichung einsetzen und umformen. Für die erste Lücke stellst du diesen Strahlensatz auf:

    $\dfrac{\overline{A_2B_2}}{\overline{ZB_2}}=\dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{ZB_1}}$

    Anschließend setzt du die gegebenen Werte ein:

    $\dfrac{\overline{A_2B_2}}{10}=\dfrac{1}{5}$

    Zuletzt stellst du um und rechnest aus:

    • $\overline{A_2B_2}= \dfrac{1}{5} \cdot 10= 2$
    Für die zweite Länge ergibt sich:

    $\dfrac{\overline{A_2B_2}}{\overline{ZA_2}}=\dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{ZA_1}} ~\Leftrightarrow ~ \dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{A_2 B_2}}=\dfrac{\overline{ZA_1}}{\overline{A_1 B_1}}$

    Einsetzen und Ausrechnen ergibt:

    • $\overline{ZA_2}= \dfrac{3}{9} \cdot 3= 1$
    • Für die dritte Figur ergibt sich ähnlich: $\overline{A_1B_1}=12$.
    • Und schließlich: $\overline{ZA_1}=20$