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Eigenschaften ähnlicher Dreiecke 07:17 min

Textversion des Videos

Transkript Eigenschaften ähnlicher Dreiecke

Pfadfinderleiter Blanko und seine Schützlinge zelten in der Wüste von New Mexiko. Blanko hat Großes vor. Schauen wir uns seinen Plan einmal an. Die Pfadfinder teilen sich in zwei Gruppen, die von unterschiedlichen Punkten auf der Karte starten. Zur Kommunikation haben beide Gruppen Walkie-Talkies mit 12 Kilometern Reichweite dabei, wie praktisch. Ziel der Gruppen ist das Ufer des großen Sees, aber wie weit sind diese Punkte voneinander entfernt? Wird die Reichweite der Walkie-Talkies genügen? Dazu müssen wir wissen, wie breit der See ist. Aber schätzen gilt nicht! Wir wollen es schon genau wissen! Die Pfadfinder benötigen das wertvolle Wissen über die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke. Aber welche Dreiecke? Werfen wir einen Blick auf die Karte! Hier siehst du die jeweiligen Wege der Gruppen. Den, der blauen Gruppe und den der roten Gruppe. Diese Strecken sind parallel zueinander, was für ein Zufall. Schauen wir uns die Strecken genauer an. Hier sind alle bekannten Streckenlängen bereits eingetragen. Doch wie können wir die Breite des Sees mit Hilfe dieser Werte bestimmen? Dazu müssen wir diese beiden Dreiecke etwas genauer betrachten. Gibt es einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Dreiecken? Es handelt sich um ähnliche Dreiecke. Aber wie können wir zeigen, dass die Dreiecke ABC und DEC ähnlich zueinander sind und was bedeutet das? Um dies zu zeigen, können wir die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten der Dreiecke aufstellen. Sind die Seitenverhältnisse gleich, unterscheiden sich die Dreiecke nur in ihrer Größe und sind damit ähnlich zueinander. Das Verhältnis der Seite DE zur Seite AB muss gleich sein, dem Verhältnis der Seiten DC und AC, und auch dem Verhältnis der Seiten EC und BC. Setzen wir also für die Strecken die bekannten Entfernungen ein. DE zu AB ist gleich DC zu AC ist gleich EC zu BC. Diese Verhältnisse können noch jeweils gekürzt werden. Alle Seitenverhältnisse sind gleich, sie betragen ein Drittel. Damit sind also die beiden Dreiecke ähnlich zueinander. Mathematisch schreibt man das so: ABC ist ähnlich zu DEC. Das Verhältnis nennt man auch Streckungsfaktor. Multipliziert man die Streckenlängen des zweiten Dreiecks mit diesem Faktor, so erhält man die Streckenlänge der entsprechenden Seite des ersten Dreiecks. Schauen wir uns das an einem Beispiel an: BC beträgt 12 Kilometer. Multiplizieren wir diesen Wert mit 1/3, so erhalten wir die Länge der Seite EC, also 4. Dies gilt für alle sich entsprechenden Seiten der Dreiecke. In ähnlichen Dreiecken sind übrigens auch sich entsprechende Winkel gleich groß. Mithilfe des Streckungsfaktors, Verschiebungen und einer Drehung, wenn nötig, können ähnliche Dreiecke in kongruente Dreiecke überführt werden. Kongruente Dreiecke heißen auch deckungsgleich. Ähnlichkeit von Dreiecken ist symmetrisch, aber was bedeutet das? Setzen wir die Seiten des zweiten Dreiecks zu denen des ersten ins Verhältnis, drehen wir also die Verhältnisse um, so sind auch diese Verhältnisse alle gleich groß. Symmetrie bedeutet also: Ist das Dreieck ABC ähnlich zum Dreieck DEC, dann gilt dies auch andersherum. Nun aber zur eigentlichen Aufgabe, also zu der Länge der Strecke GF. Wenn wir nun davon ausgehen, dass die Dreiecke ABC und CFG auch ähnlich sind, dann können wir unser Wissen nutzen, um die fehlende Seite zu berechnen. Aber wie? Stellen wir also die Verhältnisse der entsprechenden Strecken auf. CG zu BC ist gleich CF zu AC ist gleich FG zu AB. Setzen wir die Werte ein, sehen wir, dass diese beiden Verhältnisse identisch sind. Was müssen wir tun, um die fehlende Seite zu berechnen? Damit das Verhältnis der Strecke FG zu 6 auch zwei Eintel beträgt, müssen wir den Wert für FG finden, damit die Gleichung erfüllt ist. Ersetzen wir FG durch 'x' und stellen die Gleichung nach 'x' um. Voila, das passt. Die Strecke FG muss also zwölf Kilometer lang sein. Wir haben gesehen, dass das Dreieck DEC ähnlich zu ABC ist, ebenso ist ABC ähnlich zu FGC. Nun kann man schlussfolgern, dass auch die Dreiecke DEC und FGC ähnlich zueinander sind. Dies nennt man Transitivität. Das können wir sogar zeigen, indem wir die Verhältnisse für diese Dreiecke aufstellen alle Werte und auch 12 für die Strecke FG einsetzen. Nach dem kürzen, sehen wir, dass auch hier alle Seitenverhältnisse übereinstimmen. Die beiden Dreiecke sind also tatsächlich ähnlich. Dies schreibt man mathematisch so: ABC ist ähnlich zu DEC ist ähnlich zu FGC. Das ist ja großartig, denn die Reichweite der Walkie-Talkies würde gerade noch ausreichen! Lass uns zusammenfassen, was wir über die Ähnlichkeit von Dreiecken gelernt haben. Wenn alle Seitenverhältnisse zugehöriger Seiten zweier Dreiecke gleich sind, so sind die Dreiecke ähnlich zueinander. Die Eigenschaften der Ähnlichkeit, ist sind die Symmetrie und die Transitivität. Ist also Dreieck ABC ähnlich zum Dreieck DEC, so ist auch Dreieck DEC ähnlich zum Dreieck ABC. Transitiv bedeutet, dass wenn 2 von drei Dreiecken jeweils paarweise ähnlich sind, "dass dann alle drei ähnlich zu einander sind." Zurück zu unseren Pfadfindern. Beide Gruppen haben es geschafft und wollen hören wie es denn der anderen Gruppe ergeht. Oh nein! Sabotage! Blanko wollte ihnen wohl zeigen, dass man sich eben nicht immer blind auf die Technik verlassen darf. Da habe sich die Pfadfinder wohl ihr nächstes Abzeichen verdient.

5 Kommentare
  1. Lieber Lennard B.,
    die Zahlen im Video sind meiner Ansicht nach richtig. Die Länge der Strecke AD ist 6 und die Länge der Strecke AC beträgt 3+6=9.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor mehr als einem Jahr
  2. kleiner fehler bei 2:38. Anstatt 6 9. Sonst super.

    Von Lennard B., vor mehr als einem Jahr
  3. Hallo Lena G.,
    vielleicht hast du momentan Verbindungsprobleme mit dem Internet. Hast du schon ausprobiert, die Seite neu zu laden?
    Wenn du aber weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor fast 2 Jahren
  4. voll scheiße da ich das video nicht laden kann

    Von Lena G., vor fast 2 Jahren
  5. Super!

    Von Moin K., vor fast 2 Jahren

Eigenschaften ähnlicher Dreiecke Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Eigenschaften ähnlicher Dreiecke kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche Gleichungen für die ähnlichen Dreiecke $\Delta ABC$ und $\Delta DEC$ gelten.

    Tipps

    Stelle die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten der Dreiecke auf. Sich entsprechende Seiten sind:

    • $\overline{AB}$ und $\overline{DE}$,
    • $\overline{AC}$ und $\overline{DC}$ sowie
    • $\overline{BC}$ und $\overline{EC}$.

    Teilst du auf der einen Seite der Gleichung die längere durch die kürzere Seite, so musst du auf der anderen Seite der Gleichung genauso vorgehen.

    Lösung

    Bei den Dreiecken $\Delta ABC$ und $\Delta DEC$ handelt es sich um ähnliche Dreiecke. Das bedeutet, dass alle Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten zweier Dreiecke gleich sind. Demnach gelten für diese beiden Dreiecke folgende Beziehungen:

    • $\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DC}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{EC}}{\overline{BC}}$.
    Eine Eigenschaft ähnlicher Dreiecke ist die Symmetrie. Demnach können die Verhältnisse auch umgekehrt werden zu:
    • $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{DC}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{EC}}$.

  • Berechne die Länge der Strecke $\overline{FG}$.

    Tipps

    Stelle die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten der ähnlichen Dreiecke auf. Einige mögliche Seitenverhältnisse sind:

    • $\dfrac{\overline{BC}}{\overline{EC}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}}$ und
    • $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{FG}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CG}}$.

    Achte auf die Reihenfolge der Division. Teilst du auf der einen Seite der Gleichung die längere durch die kürzere Strecke, so musst du auf der anderen Seite der Gleichung genauso vorgehen.

    Lösung

    Um die Länge der Strecke $\overline{FG}$ zu bestimmen, stellen wir zunächst eine Gleichung auf. Diese erhalten wir, indem wir die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten der ähnlichen Dreiecke aufstellen. Dabei müssen wir beachten, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung die Reihenfolge der Division beibehalten. Teilen wir auf der linken Seite der Gleichung die längere durch die kürzere Strecke, so müssen wir auf der rechten Seite der Gleichung genauso vorgehen.

    Aufstellen einer Gleichung für die Berechnung der Länge der Strecke $\overline{FG}$

    Da die Dreiecke $\Delta ABC$, $\Delta DEC$ und $\Delta FGC$ ähnliche Dreiecke sind, können wir folgende Beziehung aufstellen:

    • $\dfrac{\overline{FG}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CF}}{\overline{AC}}$.
    Einsetzen der Zahlenwerte und Berechnung der Länge der Strecke $\overline{FG}$

    Die obige Gleichung stellen wir nun nach der Strecke $\overline{FG}$ um und setzen die entsprechenden Zahlenwerte in die Gleichung ein, um $\overline{FG}$ zu berechnen. Es folgt:

    • $\overline{FG}=\dfrac{\overline{CF}\cdot \overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{18\cdot 6}{9}=12$.
    Der See hat somit eine Breite von $12$ Kilometern. Die Reichweite der Walkie-Talkies reicht gerade noch aus!

  • Ermittle die ähnlichen Dreiecke.

    Tipps

    Hier haben die ähnlichen Dreiecke je eine zueinander parallele Seite.

    In ähnlichen Dreiecken sind die sich entsprechenden Winkel gleich groß.

    Lösung

    Wir erkennen die ähnlichen Dreiecke zum einen an den zueinander parallelen Seiten

    • $\overline{AB}\parallel\overline{FM}\parallel\overline{DE}$ und
    • $\overline{IJ}\parallel\overline{GH}\parallel\overline{KL}$
    und zum anderen an den gleich großen Winkeln. Somit folgt:

    • $\Delta CBA\sim\Delta CMF\sim\Delta DEC$ und
    • $\Delta IJC\sim\Delta GHC\sim\Delta CLK$.
  • Entscheide, welche Seitenverhältnisse und Winkel der ähnlichen Dreiecke sich jeweils entsprechen.

    Tipps

    In dieser Abbildung sind alle sich entsprechenden Seiten der ähnlichen Dreiecke $\Delta ABE$ und $\Delta CDE$ farblich gekennzeichnet.

    Der Winkel $\measuredangle ABE$ wird von den Schenkeln $\overline{AB}$ und $\overline{BE}$ eingeschlossen.

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden die hier abgebildeten beiden Dreiecke $\Delta ABE$ und $\Delta CDE$. Es handelt sich hierbei um ähnliche Dreiecke. Folgende Beziehungen treffen auf diese Dreiecke zu.

    Seitenverhältnisse

    Wenn alle Seitenverhältnisse zugehöriger Seiten zweier Dreiecke gleich sind, so sind die Dreiecke ähnlich zueinander. Die sich entsprechenden Seiten sind in der Abbildung farblich gekennzeichnet.

    • $\dfrac{\overline{BE}}{\overline{DE}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{CE}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CD}}$
    Aufgrund der Symmetrie ähnlicher Dreiecke können wir diese Verhältnisse auch umkehren zu:
    • $\dfrac{\overline{DE}}{\overline{BE}}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}}$.
    Winkel

    Sich entsprechende Winkel zweier ähnlicher Dreiecke sind gleich groß. Diese sind in der Abbildung farblich gekennzeichnet.

    • $\measuredangle ABE=\measuredangle CDE~\rightarrow$ blaue Winkel
    • $\measuredangle BEA=\measuredangle DEC~\rightarrow$ orange Winkel
    • $\measuredangle EAB=\measuredangle ECD~\rightarrow$ grüne Winkel
  • Gib die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke an.

    Tipps

    Die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten ähnlicher Dreiecke sind gleich groß.

    Steckst du ein gegebenes Dreieck um einen gegebenen Streckungsfaktor, so erhältst du ein Dreieck, welches ähnlich zu dem Ausgangsdreieck ist. Die sich entsprechenden Winkel beider Dreiecke sind gleich groß.

    Lösung

    Ähnliche Dreiecke haben einige besondere Eigenschaften, welche sehr vorteilhaft bei der Berechnung unbekannter Seiten ist. Diese sind im Folgenden aufgelistet.

    • Wenn alle Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten zweier Dreiecke gleich sind, so sind diese Dreiecke ähnlich zueinander.
    • Ist beispielsweise das Dreieck $\Delta ABE$ ähnlich zu dem Dreieck $\Delta ACD$, so ist auch das Dreieck $\Delta ACD$ ähnlich zu dem Dreieck $\Delta ABE$. Diese Eigenschaft heißt Symmetrie.
    • Wenn zwei von drei Dreiecken jeweils paarweise ähnlich sind, sind alle drei Dreiecke ähnlich zueinander. Diese Eigenschaft heißt Transitivität.
    • Zudem sind alle sich entsprechenden Winkel der Dreiecke $\Delta ABE$ und $\Delta ACD$ gleich groß.
    • Aber die Seiten zweier ähnlicher Dreiecke müssen nicht gleich lang sein!
  • Bestimme die Länge der Strecken $\overline{BC}$ und $\overline{CE}$.

    Tipps

    Du musst die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten aufstellen. Hier sind die sich entsprechenden Seiten farblich gekennzeichnet.

    Es ist zum Beispiel:

    • $\dfrac{\overline{ED}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{AC}}$.
    Lösung

    Berechnung der Strecke $\overline{BC}$

    Wir stellen zunächst die Gleichung der Seitenverhältnisse auf.

    $\begin{array}{lll} \dfrac{\overline{BC}}{\overline{CD}} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} \end{array}$

    Diese stellen wir nun nach der gesuchten Strecke $\overline{BC}$ um.

    $\begin{array}{lll} \overline{BC} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} \cdot \overline{CD} \end{array}$

    Jetzt können wir die bekannten Werte einsetzen und die Länge der Strecke $\overline{BC}$ berechnen.

    $\begin{array}{lllll} \overline{BC} &=& \dfrac{21}{12} \cdot 16 &=& 28 \end{array}$

    Berechnung der Strecke $\overline{CE}$

    Auch hier stellen wir zunächst die Gleichung der Seitenverhältnisse auf.

    $\begin{array}{lll} \dfrac{\overline{CE}}{\overline{AC}} &=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}} \end{array}$

    Umgestellt nach der gesuchten Strecke $\overline{CE}$ folgt:

    $\begin{array}{lll} \overline{CE} &=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}} \cdot \overline{AC} \end{array}$

    Wieder setzen wir die bekannten Werte ein und berechnen die Länder der Strecke $\overline{CE}$.

    $\begin{array}{lllll} \overline{BC} &=& \dfrac{16}{28} \cdot 35 &=& 20 \end{array}$