30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Eigenschaften ähnlicher Dreiecke 07:17 min

Textversion des Videos

Transkript Eigenschaften ähnlicher Dreiecke

Pfadfinderleiter Blanko und seine Schützlinge zelten in der Wüste von New Mexiko. Blanko hat Großes vor. Schauen wir uns seinen Plan einmal an. Die Pfadfinder teilen sich in zwei Gruppen, die von unterschiedlichen Punkten auf der Karte starten. Zur Kommunikation haben beide Gruppen Walkie-Talkies mit 12 Kilometern Reichweite dabei, wie praktisch. Ziel der Gruppen ist das Ufer des großen Sees, aber wie weit sind diese Punkte voneinander entfernt? Wird die Reichweite der Walkie-Talkies genügen? Dazu müssen wir wissen, wie breit der See ist. Aber schätzen gilt nicht! Wir wollen es schon genau wissen! Die Pfadfinder benötigen das wertvolle Wissen über die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke. Aber welche Dreiecke? Werfen wir einen Blick auf die Karte! Hier siehst du die jeweiligen Wege der Gruppen. Den, der blauen Gruppe und den der roten Gruppe. Diese Strecken sind parallel zueinander, was für ein Zufall. Schauen wir uns die Strecken genauer an. Hier sind alle bekannten Streckenlängen bereits eingetragen. Doch wie können wir die Breite des Sees mit Hilfe dieser Werte bestimmen? Dazu müssen wir diese beiden Dreiecke etwas genauer betrachten. Gibt es einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Dreiecken? Es handelt sich um ähnliche Dreiecke. Aber wie können wir zeigen, dass die Dreiecke ABC und DEC ähnlich zueinander sind und was bedeutet das? Um dies zu zeigen, können wir die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten der Dreiecke aufstellen. Sind die Seitenverhältnisse gleich, unterscheiden sich die Dreiecke nur in ihrer Größe und sind damit ähnlich zueinander. Das Verhältnis der Seite DE zur Seite AB muss gleich sein, dem Verhältnis der Seiten DC und AC, und auch dem Verhältnis der Seiten EC und BC. Setzen wir also für die Strecken die bekannten Entfernungen ein. DE zu AB ist gleich DC zu AC ist gleich EC zu BC. Diese Verhältnisse können noch jeweils gekürzt werden. Alle Seitenverhältnisse sind gleich, sie betragen ein Drittel. Damit sind also die beiden Dreiecke ähnlich zueinander. Mathematisch schreibt man das so: ABC ist ähnlich zu DEC. Das Verhältnis nennt man auch Streckungsfaktor. Multipliziert man die Streckenlängen des zweiten Dreiecks mit diesem Faktor, so erhält man die Streckenlänge der entsprechenden Seite des ersten Dreiecks. Schauen wir uns das an einem Beispiel an: BC beträgt 12 Kilometer. Multiplizieren wir diesen Wert mit 1/3, so erhalten wir die Länge der Seite EC, also 4. Dies gilt für alle sich entsprechenden Seiten der Dreiecke. In ähnlichen Dreiecken sind übrigens auch sich entsprechende Winkel gleich groß. Mithilfe des Streckungsfaktors, Verschiebungen und einer Drehung, wenn nötig, können ähnliche Dreiecke in kongruente Dreiecke überführt werden. Kongruente Dreiecke heißen auch deckungsgleich. Ähnlichkeit von Dreiecken ist symmetrisch, aber was bedeutet das? Setzen wir die Seiten des zweiten Dreiecks zu denen des ersten ins Verhältnis, drehen wir also die Verhältnisse um, so sind auch diese Verhältnisse alle gleich groß. Symmetrie bedeutet also: Ist das Dreieck ABC ähnlich zum Dreieck DEC, dann gilt dies auch andersherum. Nun aber zur eigentlichen Aufgabe, also zu der Länge der Strecke GF. Wenn wir nun davon ausgehen, dass die Dreiecke ABC und CFG auch ähnlich sind, dann können wir unser Wissen nutzen, um die fehlende Seite zu berechnen. Aber wie? Stellen wir also die Verhältnisse der entsprechenden Strecken auf. CG zu BC ist gleich CF zu AC ist gleich FG zu AB. Setzen wir die Werte ein, sehen wir, dass diese beiden Verhältnisse identisch sind. Was müssen wir tun, um die fehlende Seite zu berechnen? Damit das Verhältnis der Strecke FG zu 6 auch zwei Eintel beträgt, müssen wir den Wert für FG finden, damit die Gleichung erfüllt ist. Ersetzen wir FG durch 'x' und stellen die Gleichung nach 'x' um. Voila, das passt. Die Strecke FG muss also zwölf Kilometer lang sein. Wir haben gesehen, dass das Dreieck DEC ähnlich zu ABC ist, ebenso ist ABC ähnlich zu FGC. Nun kann man schlussfolgern, dass auch die Dreiecke DEC und FGC ähnlich zueinander sind. Dies nennt man Transitivität. Das können wir sogar zeigen, indem wir die Verhältnisse für diese Dreiecke aufstellen alle Werte und auch 12 für die Strecke FG einsetzen. Nach dem kürzen, sehen wir, dass auch hier alle Seitenverhältnisse übereinstimmen. Die beiden Dreiecke sind also tatsächlich ähnlich. Dies schreibt man mathematisch so: ABC ist ähnlich zu DEC ist ähnlich zu FGC. Das ist ja großartig, denn die Reichweite der Walkie-Talkies würde gerade noch ausreichen! Lass uns zusammenfassen, was wir über die Ähnlichkeit von Dreiecken gelernt haben. Wenn alle Seitenverhältnisse zugehöriger Seiten zweier Dreiecke gleich sind, so sind die Dreiecke ähnlich zueinander. Die Eigenschaften der Ähnlichkeit, ist sind die Symmetrie und die Transitivität. Ist also Dreieck ABC ähnlich zum Dreieck DEC, so ist auch Dreieck DEC ähnlich zum Dreieck ABC. Transitiv bedeutet, dass wenn 2 von drei Dreiecken jeweils paarweise ähnlich sind, "dass dann alle drei ähnlich zu einander sind." Zurück zu unseren Pfadfindern. Beide Gruppen haben es geschafft und wollen hören wie es denn der anderen Gruppe ergeht. Oh nein! Sabotage! Blanko wollte ihnen wohl zeigen, dass man sich eben nicht immer blind auf die Technik verlassen darf. Da habe sich die Pfadfinder wohl ihr nächstes Abzeichen verdient.

3 Kommentare
  1. Jeanne

    Hallo Lena G.,
    vielleicht hast du momentan Verbindungsprobleme mit dem Internet. Hast du schon ausprobiert, die Seite neu zu laden?
    Wenn du aber weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne Ohle, vor 12 Tagen
  2. Default

    voll scheiße da ich das video nicht laden kann

    Von Lena G., vor 14 Tagen
  3. Default

    Super!

    Von Moin K., vor 18 Tagen