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Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele 09:11 min

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Transkript Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele

Hallo! Ich bin’s: Thekla. Heute geht es wieder um Ähnlichkeitsabbildungen. Weißt du noch, was Ähnlichkeitsabbildungen sind? Den Begriff der kongruenten Abbildung von Figuren, also Kongruenzabbildungen, und die zentrische Streckung kennst du bereits. Bist du nicht mehr sicher, was das ist? Wir wiederholen gleich noch einmal kurz, was man unter den beiden Begriffen “Kongruenzabbildungen” und “zentrische Streckung” versteht. Danach beschäftigen wir uns mit Ähnlichkeitsabbildungen. Wir üben an einem Beispiel, eine Ähnlichkeitsabbildung zu erzeugen und schauen uns dann an, wie wir bei einer bereits gegeben Ähnlichkeitsabbildung die einzelnen Schritte rekonstruieren können.

Lass uns starten! Beginnen wir mit den möglichen Kongruenzabbildungen: Du kannst eine gegebene Figur in alle Richtungen verschieben, sie drehen, sie an einer Achse oder an einem Punkt spiegeln. Für eine zentrische Streckung benötigst du immer ein Streckzentrum Z. Das kann ein Eckpunkt der Figur, aber auch ein Punkt außerhalb oder innerhalb deiner Figur sein. Außerdem musst du wissen, um wie viel du die Figur strecken, also vergrößern oder verkleinern sollst. Hier kommt der Streckfaktor k ins Spiel. Ist der Streckfaktor größer als eins, so vergrößerst du die Figur. Liegt k zwischen 1 und Minus 1, so verkleinerst du sie. Für alle k, die kleiner als Null sind, führst du zusätzlich eine Punktspiegelung der Figur am Streckzentrum durch. Wenn du eine zentrische Streckung und eine Kongruenzabbildung, z.B. eine Drehung oder Spiegelung kombinierst, also hintereinander ausführst, nennt man das eine Ähnlichkeitsabbildung. Lass uns das Ganze an einem Beispiel üben. Dazu nehmen wir ein Koordinatensystem zu Hilfe. Ein Drachenviereck hat die Eckpunkte A(-5|2), B(-3,5|0,5), C(-1,5|2) und D(-3,5|3,5). Das Drachenviereck wollen wir zunächst zentrisch strecken. Das Streckzentrum Z liegt bei (0|2). Unser Streckfaktor ist k = - 0,5. Zuerst zeichnen wir jeweils von Z ausgehend durch alle Punkte des Drachenvierecks Geraden. Wir müssen nun den Abstand von Z zu den Punkten messen und mit dem Streckfaktor k gleich -0,5 multiplizieren. Von A zu Z sind es zum Beispiel fünf Längeneinheiten. Für die Strecke von Z zu A’ rechnen wir 5 mal (-0,5). Das ergibt -2,5 LE. Das Minus gibt an, dass wir in entgengesetzte Richtung im Abstand von 2,5 Längeneinheiten den Punkt A’ markieren müssen. Genauso machen wir es dann auch mit den Punkten B, C und D: Punkt B’ ist dann hier, Punkt C’ ist dann hier und hier ist Punkt D’. Als nächstes können wir das gestreckte Drachenviereck A’B’C’D’ an der x-Achse spiegeln. Hierbei nehmen wir also eine Achsenspiegelung vor. Wir legen das Geodreieck mit der 90-Grad-Markierung auf die x-Achse und messen den Abstand zu den Punkten der gestreckten Figur. Dann tragen wir die Punkte A’’, B’’, C’’ und D’’ im selben Abstand auf der gegenüberliegenden Seite der x-Achse ab. Zum Schluss müssen wir noch alle Punkte verbinden und haben eine zum ursprünglichen Drachenviereck ähnliche Figur gezeichnet. Schau dir nun einmal dieses Vieleck und die dazu ähnliche Abbildung an. Mit welchen Schritten kann man DIESE Figur auf DIESE Figur abbilden?

Anscheinend ist die Figur um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht worden. Die Drehung ist eine kongruente Abbildung. Guck mal: Ein Punkt hat sich in der Abbildung im Vergleich zur Ursprungsfigur nicht verändert. DER HIER. Er ist das Drehzentrum. Lass uns die ähnliche Figur wieder in die richtige Position drehen, damit wir Aussagen über die zentrische Streckung machen können. Wo ist das Streckzentrum? Wir zeichnen dazu jeweils durch die entsprechenden Punkte der Ausgangs- sowie Endfigur Geraden. Dort, wo sich diese Geraden schneiden, befindet sich unser Streckzentrum Z. Jetzt müssen wir nur noch den Streckfaktor k ermitteln. Dazu nehmen wir zum Beispiel den Abstand zwischen Z und diesem Punkt. In diesem Fall beträgt er 10 LE. Nun messen wir den Abstand von Z zu dem entsprechenden Punkt der verkleinerten Figur. Hier erhalten wir 5 LE.

Man sagt: “Die Bildstrecke ist k-mal so lang wie die Originalstrecke.” In einer Formel ausgedrückt bedeutet das für unser Beispiel: 5 LE (Bild) ist gleich 10 LE(Original) mal k. Diese Gleichung formen wir nach k um, indem wir durch 10 LE (Original) teilen. 5 LE(Bild) durch 10 LE (Original) ergibt ½ . Probieren wir das Ganze erneut an einem Beispiel. Gegeben sind wieder eine Originalfigur, nämlich dieses Dreieck ABC, und diese Ähnlichkeitsabbildung dazu. Hier ist anscheinend wieder eine Drehung vorgenommen worden. In diesem Fall 90° gegen den Uhrzeigersinn um den Punkt B. Lass uns also die Bildfigur gegen den Uhrzeigersinn um 90° zurückdrehen. Wenn wir nun Original- und Bildpunkte miteinander verbinden, erkennen wir, dass Punkt B nicht nur das Drehzentrum, sondern auch das Streckzentrum ist.

Jetzt überleg mal: Wie können wir den Streckfaktor k herausfinden? (Pause)

Genau, wir suchen uns einen Punkt der Originalfigur und den entsprechenden Punkt der Bildfigur aus. Lass uns zum Beispiel C und C’ nehmen. Dann messen wir den Abstand von B, dem Streckzentrum der Figur, zu C. Hier erhalten wir 12 LE. Im Anschluss messen wir den Abstand von B zu C’. Dieser beträgt 8LE.

Um k auszurechnen brauchen wir wieder den Satz: Die Bildstrecke ist k-mal so lang wie die Originalstrecke.

Also müssen 8 LE (Bild) gleich k mal 12 LE (Original) sein. Wieder nach k umgestellt ergibt sich k gleich ⅔. Damit konnten wir mit Hilfe der Originalfigur und der Bildfigur rekonstruieren, wie man vorgehen kann, um mit Ähnlichkeitsabbildungen von der Originalfigur zur Bildfigur zu gelangen. Ich hoffe, du könntest heute dein Wissen über Ähnlichkeitsabbildungen noch ein wenig mehr festigen! Ich freue mich auf’s nächste Mal mit dir!

Tschüss!

1 Kommentar
  1. Default

    Cool

    Von Valentin T., vor mehr als 2 Jahren