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Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

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Die Autor*innen
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Lennartneums
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

In diesem Video erkläre ich den Hauptähnlichkeitssatz und den Ähnlichkeitssatz SSS. Dazu werde ich zu erst die Kongruenzsätze noch einmal wiederholen. Danach werde ich nacheinander erst den Hauptähnlichkeitssatz und dann den Ähnlichkeitssatz SSS formulieren und anhand von Beispielen erklären. Zum Schluss werde ich noch einmal alles gelernte zusammenfassen.

Transkript Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Hallo ich bin Lennart und heute möchte ich dir die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke erklären. Dazu werde ich kurz die Kongruenzsätze wiederholen, danach werde ich dir den Hauptähnlichkeitssatz und den Ähnlichkeitssatz SSS erklären und zum Schluss werde ich noch einmal alles zusammenfassen. Du kennst bereits die Kongruenzsätze bei Dreiecken. Diese sagen aus, welche Größen bei zwei Dreiecken übereinstimmen müssen, damit sie kongruent, also deckungsgleich sind. Dies ist zum einen der SSS, also Seite, Seite, Seite; SWS also Seite, Winkel, Seite; WSW also Winkel, Seite, Winkel und SSW Seite, Seite, Winkel. Wobei bei SSW der Winkel genommen wird, der der längeren Seite gegenübersteht. Somit können wir festhalten, dass zwei Dreiecke deckungsgleich, also kongruent zueinander sind, wenn sie in den Längen aller drei Seiten übereinstimmen, oder wenn sie in der Länge zweier Seiten und der Größe des von ihnen eingeschlossenen Winkels übereinstimmen, oder sie stimmen überein in der Länge zweier Seiten und der Größe des Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt. Warum sind eigentlich zwei Dreiecke nicht deckungsgleich, wenn alle Winkel gleich groß sind. Offensichtlich sind ja bei unseren beiden Dreiecken hier alle Winkel gleich groß. Das liegt daran, dass es auch andere Dreiecke gibt, die größer oder kleiner sind. Nehmen wir zum Beispiel dieses hier. Wie du siehst, sind alle Winkel genauso groß wie im grünen Dreieck. Jedoch wenn man beide Dreiecke übereinander legt, siehst du schnell, dass sie nicht kongruent sind. Allerdings sind sie ähnlich zueinander. Womit wir schon fast den ersten Ähnlichkeitssatz herausbekommen haben, den so genannten Hauptähnlichkeitssatz. Ich sage „fast“, weil es tatsächlich ausreicht, wenn nur zwei Winkel der beiden Dreiecke gleich groß sind. Denn dann ist der dritte Winkel nach dem Innenwinkelsummensatz auch gleich groß. Also können wir uns merken, zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Gucken wir uns dazu noch einmal zwei weitere Dreiecke an. Das rote Dreieck ist eindeutig größer als das gelbe. Also können sie schon einmal nicht kongruent sein. Aber sind sie zueinander ähnlich? Dazu vergleiche ich die Winkel. Wenn ich das gelbe so über das rote lege, sehe ich, dass ein Winkel bei beiden Dreiecken gleich ist. Wenn wir nun diesen Winkel hier überprüfen, sehen wir, dass auch dieser bei beiden Dreiecken gleich ist. Nach dem Hauptähnlichkeitssatz folgt daraus, dass das rote und das gelbe Dreieck zueinander ähnlich sind. Doch können wir auch die Ähnlichkeit von zwei Dreiecken überprüfen, wenn wir nur die Seitenlängen und nicht die Winkel der Dreiecke gegeben haben? Die Antwort ist ja, womit wir zum Ähnlichkeitssatz SSS kommen. Das SSS steht hier wieder als Abkürzung von Seite, Seite, Seite. Der Satz sagt aus: zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen. Doch was heißt das genau? Gucken wir uns das Ganze noch einmal an unserem grünen und blauen Dreieck an. Dazu gebe ich den Seiten der Dreiecke die Bezeichnung a, b, c und a’, b’, c’. Dann sind die beiden Dreiecke genau dann ähnlich, wenn a’/a = b’/b = c’/c. Überprüfen wir doch, ob das bei unseren Dreiecken so funktioniert. Dazu messe ich die Seitenlängen mit dem Lineal. Dann sehe ich, dass a’ = 24 cm, b’ = 30 cm und c’ = 18 cm lang sind. Außerdem messe ich am blauen Dreieck, dass a = 12 cm, b = 15 cm und c = 9 cm lang sind. Nun teilen wir a’/a = 24 cm/12 cm = 2, b’/ b = 30 cm/15 cm = 2 und c’/c = 18 cm/9 cm = 2. Also sind die Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten gleich 2:1 und stimmen somit überein. Also sind nach dem Ähnlichkeitssatz SSS das blaue und das grüne Dreieck zueinander ähnlich. Fassen wir zum Schluss noch einmal alles Wichtige zusammen: Du hast heute zwei wichtige Ähnlichkeitssätze gelernt. Dies ist zum einen der Hauptähnlichkeitssatz. Dieser besagt, zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Außerdem hast du den Ähnlichkeitssatz SSS kennengelernt, der sagt: zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen. Also wenn man die entsprechenden Seiten beider Dreiecke durch einander teilt, kommt immer dasselbe raus, wenn die Dreiecke ähnlich sind. Ich hoffe, du hast alles verstanden. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Super Video 👌🏻

    Von Rapp2006, vor mehr als 3 Jahren
  2. Super Video!

    Von Moin K., vor mehr als 3 Jahren
  3. Super Video! Aber fehlt nicht ein Beispiel bei den Kongruenzsätzen?

    Von Laura B., vor mehr als 4 Jahren
  4. Danke diese Video hat mir sehr geholfen vielen Dank !

    Von Der Mü, vor fast 5 Jahren
  5. Es hat mir sehr weiter geholfen. Danke.

    Von Thorsten Rehse, vor fast 5 Jahren
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Ähnlichkeitssätze für Dreiecke Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ähnlichkeitssätze für Dreiecke kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Kongruenzsätze bei Dreiecken wieder.

    Tipps

    „W“ steht für „Winkel“, „S“ steht für „Seite“.

    Es ist entscheidend, wo das S und das W stehen.

    Kongruent bedeutet deckungsgleich. Das bedeutet, dass man die Dreiecke genau aufeinander legen kann.

    Lösung

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Das bedeutet, wenn zwei Dreiecke sich gegenseitig abdecken können, sind sie kongruent.

    1. SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn alle ihre Seitenlängen miteinander übereinstimmen.
    2. SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seitenlängen der beiden Dreiecke übereinstimmen und der Winkel, den die beiden Seiten einschließen, ebenfalls bei beiden Dreiecken übereinstimmt.
    3. WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen und die Seite zwischen den Winkeln ebenfalls übereinstimmt.
    4. SsW Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seitenlängen übereinstimmen und der Winkel, der gegenüber der längsten Seite liegt, übereinstimmt.
  • Beschreibe die Ähnlichkeitssätze.

    Tipps

    Diese beiden Dreiecke sind zueinander ähnlich. Welche Eigenschaften kannst du bei den entsprechenden Seitenlängen erkennen?

    Lösung
    1. Mit dem Hauptähnlichkeitssatz und dem Ähnlichkeitssatz SSS gibt es zwei Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken.
    2. Der Hauptähnlichkeitssatz sagt aus, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn beide Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen. Beispiel: Ein Dreieck hat einen Winkel von $30^\circ$ und $70^\circ$. Ein anderes Dreieck hat auch die Winkel $30^\circ$ und $70^\circ$. Diese beiden Dreiecke sind zueinander ähnlich. Der dritte Winkel beträgt nach dem Innenwinkelsummensatz $80^\circ$.
    3. Der Ähnlichkeitssatz SSS sagt aus, dass, wenn die Längenverhältnisse der jeweiligen Seiten von zwei Dreiecken übereinstimmen, die Dreiecke zueinander ähnlich sind. Das SSS steht dabei für „Seite Seite Seite“.
    4. Wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen, sind beide Dreiecke ähnlich zueinander.
    Ein Beispiel: Die Seitenlängen eines Dreiecks betragen $a = 4~cm$, $b = 5~cm$ und $c = 3~cm$. Ein anderes Dreieck besitzt die Seitenlängen $a' = 8~cm$, $b' = 10~cm$, $c' = 6~cm$. Es muss gelten: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$

    Wenn wir nun die Zahlen in die Formel einsetzen, erhalten wir:

    $\frac{8~cm}{4~cm} = \frac{10~cm}{5~cm} = \frac{6~cm}{3~cm}$

    $\frac{8~cm}{4~cm} = 2$

    $\frac{10~cm}{5~cm} = 2$

    $\frac{6~cm}{3~cm} = 2$

    Das Seitenverhältnis ist überall gleich, nämlich $2:1$.

  • Entscheide, welche Dreiecke zueinander ähnlich sind.

    Tipps

    Benutze den Innenwinkelsummensatz der besagt, dass die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck $180^\circ$ ergeben.

    Hier siehst du zwei Dreiecke, die zueinander ähnlich sind.

    Lösung

    Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

    Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die drei Winkel in einem Dreieck immer zusammen $180^\circ$ ergeben. Das heißt, dass, wenn ein Dreieck in zwei Winkeln übereinstimmt, es dann nach dem Innenwinkelsummensatz auch in drei Winkeln übereinstimmen muss. Dabei ist es egal, welche Winkel benannt werden.

    Wenn wir das berücksichtigen, folgt daraus, dass die beiden Dreiecke mit den Winkeln:

    1. $51°$,$55°$ und $74°$ zueinander ähnlich sind, denn $ 51° + 55° + 74° = 180°$.
    2. $62°$,$55°$ und $63°$ zueinander ähnlich sind, denn $ 62° + 55° + 63° = 180°$.
    3. $63°$,$90°$ und $27°$ zueinander ähnlich sind, denn $ 63° + 90° + 27° = 180°$.
    4. $84°$,$84°$ und $12°$ zueinander ähnlich sind, denn $ 84° + 84° + 12° = 180°$.
  • Bestimme, ob die folgenden Dreiecke zueinander ähnlich sind.

    Tipps

    Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn alle Seitenlängenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

    Bei zwei Dreiecken mit den Seitenlängen aus dem obigen Bild muss dann gelten:

    $\Large{\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}}$

    Lösung

    Da nur die Seitenlängen der Dreiecke angegeben sind, nutzen wir den Ähnlichkeitssatz SSS um zu überprüfen, ob die Dreiecke zueinander ähnlich sind.

    Der Ähnlichkeitssatz SSS sagt aus, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn die Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen. Möchte man das in einer Formel ausdrücken, sieht die Formel so aus: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$.

    Tragen wir nun die Seitenlängen der Dreiecke in die obige Formel ein, erhalten wir:

    1. Dreiecke 1 und 2

    $\frac{12~cm}{6~cm} = 2$
    $\frac{18~cm}{9~cm} = 2$
    $\frac{14~cm}{7~cm} = 2$

    Die Längenverhältnisse aller entsprechender Seiten sind gleich, nämlich $2:1$. Damit sind die Dreiecke 1 und 2 ähnlich zueinander .

    2. Dreiecke 3 und 4

    $\frac{21~cm}{7~cm} = 3$
    $\frac{33~cm}{11~cm} = 3$
    $\frac{27~cm}{10~cm} = 2,7$

    Die Längenverhältnisse aller entsprechender Seiten sind nicht gleich. Damit sind die Dreiecke 3 und 4 nicht ähnlich zueinander .

    3. Dreiecke 5 und 6

    $\frac{56~cm}{8~cm} = 7$
    $\frac{49~cm}{7~cm} = 7$
    $\frac{63~cm}{9~cm} = 7$

    Die Längenverhältnisse aller entsprechender Seiten sind gleich, nämlich $7:1$. Damit sind die Dreiecke 5 und 6 ähnlich zueinander .

    4. Dreiecke 7 und 8

    $\frac{20~cm}{2~cm} = 10$
    $\frac{30~cm}{3,3~cm} = 9,09$

    Nach der zweiten Berechnung sehen wir schon, dass die Längenverhältnisse nicht übereinstimmen. Damit sind die Dreiecke 7 und 8 nicht ähnlich zueinander .

  • Benenne die Ähnlichkeitssätze.

    Tipps

    Schau dir das Bild zu dem zweiten Ähnlichkeitssatz an. Vergleiche die Seitenlängen zueinander. Dividiere die entsprechenden Seiten miteinander. Was fällt dir auf?

    Schau dir das Bild zum ersten Satz an. Die Dreiecke sind ähnlich. Was fällt dir an den Winkeln auf?

    Lösung
    1. Der Hauptähnlichkeitssatz sagt aus, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. In dem Bild dazu kannst du erkennen, dass die Dreiecke zueinander ähnlich sind, da die Dreiecke zwei gleich große Winkel 90° und 47° besitzen. Der dritte Winkel ist dann nach dem Innenwinkelsummensatz bei beiden Dreiecken 43° groß.
    2. Der Ähnlichkeitssatz SSS sagt aus, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen. In dem Bild kann man das gut erkennen. Wenn du die entsprechenden Längen der Seiten dividierst, dann erhältst du immer das gleiche Verhältnis. In diesem Fall 1:2.
  • Prüfe, ob die folgenden Dreiecke zueinander ähnlich bzw. kongruent sind.

    Tipps

    Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

    Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

    Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe aller drei Winkel in einem Dreieck immer zusammen $180°$ ergibt.

    Lösung

    Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Nach dem Innenwinkelsummensatz ergibt die Summe aller drei Winkel in einem Dreieck immer $180°$. Das heißt, wenn zwei Winkel übereinstimmen, muss auch der dritte Winkel übereinstimmen.

    1. Ein Dreieck mit den Seitenlängen $3~cm$, $4~cm$ und $5~cm$ ist nicht ähnlich zu einem Dreieck mit einer Seitenlänge von $2~cm$ oder mit einem Dreieck mit den Längen $1~cm$, $2~cm$ und $5~cm$, da ihre Längenverhältnisse nicht übereinstimmen. Allerdings ist es ähnlich zu einem Dreieck den Seitenlängen $1,5~cm$, $2~cm$ und $2,5~cm$. Das Verhältnis beträgt $2:1$.
    2. Ein Dreieck mit den Seitenlängen $1~cm$, $2~cm$ und $5~cm$ ist ähnlich zu dem Dreieck mit den Seitenlängen $3~cm$, $6~cm$ und $15~cm$. Das Verhältnis beträgt $3:1$.
    3. Ein Dreieck mit den Winkeln $30°$ und $55°$ muss nach dem Innenwinkelsummensatz einen dritten Winkel von $95°$ haben. Es gilt: $180° - 30° - 55° = 95°$. Es ist also ähnlich zu einem Dreieck mit den Winkeln $95°$ und $30°$.
    4. Ein Dreieck mit den Winkeln $95°$ und $20°$ muss nach dem Innenwinkelsummensatz einen dritten Winkel von $65°$ haben. Es gilt: $180° - 95° - 20° = 65°$. Es ist also ähnlich zu dem Dreieck mit den Winkeln $65°$ und $20°$.
    5. Einer der Kongruenzsätze besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn alle Seiten beider Dreiecke übereinstimmen. Demnach sind zwei Dreiecke kongruent, wenn sie die identischen Seitenlängen $5~cm$, $5~cm$ und $6~cm$ besitzen. Hinweis: Kongruente Dreiecke sind auch ähnlich.
    6. Ein Dreieck mit den Winkeln $170°$ und $5°$ muss nach dem Innenwinkelsummensatz einen weiteren Winkel von $5°$ haben. Es gilt: $180° - 170° - 5° = 5°$. Dementsprechend ist es ähnlich zu dem Dreieck mit den beiden Winkeln von $5°$.
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