Ähnlichkeitssätze für Dreiecke – Übungen (1)

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke – Übungen (1) Übung

• Gib den Hauptähnlichkeitssatz wieder.

  Tipps

  Diese beiden Dreiecke sind ähnlich zueiannder.

  Können ein beliebiges, nicht gleichseitiges, Dreieck und ein gleichseitiges Dreieck ähnlich sein?

  Zeichne dir solche Dreiecke auf ein Blatt und entscheide, ob diese Dreiecke ähnlich zueinander sind.

  Lösung

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt:

  Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Insbesondere stimmen die beiden Dreiecke dann in allen Winkeln überein, da nach dem Innenwinkelsummensatz die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks $180^\circ$ ergibt.

  Die Ähnlichkeit ist zu unterscheiden von der Kongruenz (Deckungsgleichheit). So können zwei Dreiecke durchaus zueinander ähnlich sein, ohne aber deckungsgleich zu sein. Umgekehrt sind deckungsgleiche Dreiecke immer auch ähnlich zueinander.

  Die oben zu sehenden Dreiecke sind nicht ähnlich zu einander.

• Schildere die Vorgehensweise bei der Untersuchung der Ähnlichkeit.

  Tipps

  Werden parallele Geraden oder Strecken durch eine weitere (zu den beiden nicht parallele) Gerade oder Strecke geschnitten, so entstehen insgesamt 8 Winkel. Davon sind jeweils 4 identisch.

  Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß.

  Lösung

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Da die beiden Strecken parallel zueinander sind, sind die Winkel in $A$ und $D$ Wechselwinkel (beide $\alpha$) und ebenso die in $B$ und $C$ (beide $\beta$).

  Die beiden Dreiecke $ABZ$ und $CDZ$ stimmen also in zwei Winkeln überein und sind somit ähnlich zueinander.

• Prüfe, ob die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

  Tipps

  Nach dem Innenwinkelsummensatz bei Dreiecken beträgt die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks $180^\circ$.

  Bei beiden Dreiecken sind nur zwei Winkel bekannt. Berechne bei einem der beiden Dreiecke den fehlenden Winkel.

  Zwei Dreiecks sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Lösung

  Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Hier sind bei beiden Dreiecken nur zwei Winkel gegeben und nur einer stimmt überein. Dies reicht noch nicht für den Nachweis der Ähnlichkeit.

  Da bei zwei bekannten Winkeln der dritte Winkel mit dem Innenwinkelsummensatz berechnet werden kann, ergibt ich für

  • $ABC$: der Winkel in $B$ ist $180^\circ-79^\circ -47^\circ =54^\circ$ und
  • $DEF$: der Winkel in $E$ ist $180^\circ-79^\circ-54^\circ=47^\circ$.

  Es genügt, von einem der beiden Dreiecke alle drei Winkel zu berechnen. Nun kann man sehen, dass alle drei Winkel übereinstimmen.

  Die beiden Dreiecke sind also ähnlich zueinander.

• Entscheide, ob die Dreiecke ähnlich zueinander sind.

  Tipps

  Bei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, gibt es

  • Wechselwinkel und
  • Stufenwinkel.

  Diese sind identisch.

  Bei einem gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei ähnliche, sogar deckungsgleiche Dreiecke.

  Beim gleichschenkligen Dreieck wird die Höhe auf die nicht gleich lange Seite gezeichnet.

  Lösung

  Im zweiten Bild liegt ein Drachenviereck vor, da $C'$ der Spiegelpunkt von $C$ ist. Somit ist das Dreieck $ABC'$ das an der Strecke $\overline{AB}$ gespiegelte Dreieck und damit ähnlich. Die beiden Dreiecke sind sogar kongruent.

  Im dritten Bild handelt es sich um parallele Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$. Die Winkel in $A$ und in $C$ in dem jeweiligen Dreieck sind Stufenwinkel und damit identisch. Ebenso verhält es sich mit den Winkeln in $B$ und $D$. Also stimmen die beiden Dreiecke in zwei Winkeln überein und sind ähnlich zueinander.

  Alle übrigen Dreiecke sind nicht ähnlich zueinander.

• Beschreibe, ob die beiden Dreiecke ähnlich zueiander sind.

  Tipps

  Der Hauptähnlichkeitssatz erklärt die Ähnlichkeit zweier Dreiecke über Winkel.

  Wie viele Winkel müssen nach dem Hauptähnlichkeitssatz übereinstimmen?

  Die Lage der Winkel ist für die Ähnlichkeit nicht von Bedeutung.

  Lösung

  Diese beiden Dreiecke sind nicht ähnlich zueinander.

  • Zwar haben beide Dreiecke einen rechten Winkel, jedoch reicht ein übereinstimmender Winkel nicht zur Ähnlichkeit. Es müsste noch ein weiterer Winkel überein stimmen.
  • Die beiden übrigen Winkel, bei dem linken Dreieck $35^\circ$ und $55^\circ$ und bei dem rechten Dreieck $30^\circ$ und $60^\circ$, sind verschieden.

• Untersuche spezielle Dreiecke auf Ähnlichkeit.

  Tipps

  Zeichne dir jeweils eines von den genannten speziellen Dreiecken auf ein Papier und ein weiteres daneben.

  Wie groß sind die Winkel in einem gleichseitigen Dreieck?

  Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  So ist ein gleichschenkliges Dreieck aufgebaut.

  Lösung

  • Bei gleichseitigen Dreiecken sind alle Seiten gleich lang und damit auch alle Winkel $180^\circ : 3=60^\circ$ groß. Da das bei allen gleichseitigen Dreiecken so ist, sind auch tatsächlich alle gleichseitigen Dreiecke ähnlich zueinander.
  • Bei gleichschenkligen Dreiecken stimmen nur zwei Winkel überein: so kann zum Beispiel ein gleichschenkliges Dreieck die Winkel $40^\circ$, $40^\circ$ und $100^\circ$ haben und ein anderes die Winkel $50^\circ$, $50^\circ$ und $80^\circ$. Diese Dreiecke sind nicht ähnlich zueinander.
  • Stimmt bei zwei gleichschenkligen Dreiecken der von den beiden Schenkeln eingeschlossene Winkel überein, so stimmen auch die beiden übrigen Winkel überein. Sei zum Beispiel der eingeschlossene Winkel
  • in einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck $90^\circ$, so sind die beiden anderen Winkel jeweils $45^\circ$. Auch dies gilt für jedes beliebige rechtwinklige gleichschenklige Dreieck. Also sind solche Dreiecke ähnlich zueinander.
  • Ein Dreieck mit den Winkeln $40^\circ$, $50^\circ$ und $90^\circ$ ist rechtwinklig, ebenso wie das Dreieck mit den Winkeln $55^\circ$, $55^\circ$ und ^$70^\circ$. Da diese beiden aber nur in einem Winkel übereinstimmen, sind sie nicht ähnlich zueinander.
  • Ist bei einem rechtwinkligen Dreieck ein weiterer Winkel bekannt, so ergibt sich der dritte Winkel durch Subtraktion des nicht rechten Winkel von $90^\circ$. Das heißt es stimmen nicht nur zwei, sondern (wie immer bei Ähnlichkeit) alle drei Winkel überein. Die Dreiecke sind damit ähnlich zueinander.