Ähnlichkeitsabbildungen
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Grundlagen zum Thema Ähnlichkeitsabbildungen
Einführung: Ähnlichkeit und Ähnlichkeitsabbildungen
In der Mathematik ist der Begriff Ähnlichkeit etwas strenger, als du ihn aus dem Alltag kennst. Damit zum Beispiel zwei Dreiecke ähnlich zueinander sind, müssen sie sich nicht nur ähnlich sehen, sondern ganz bestimmte Eigenschaften erfüllen: Ihre Innenwinkel müssen gleich groß und die Seitenverhältnisse identisch sein. Figuren $F$ und $F^{\prime}$, die diese Eigenschaften erfüllen, bezeichnen wir als ähnlich. Wir können sie durch sogenannte Ähnlichkeitsabbildungen aufeinander abbilden.
Ähnlichkeitsabbildungen – Definition
Eine Ähnlichkeitsabbildung bildet eine Figur $F$ auf eine zu ihr ähnliche Figur $F^{\prime}$ ab. Die mathematische Schreibweise ist $F \sim F^{\prime}$.
Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Verknüpfung aus Kongruenzabbildungen und zentrischen Streckungen in beliebiger Reihenfolge.
Das bedeutet, eine Ähnlichkeitsabbildung kann aus Verschiebungen, Drehungen, Achsen- oder Punktspiegelungen und Streckungen der Figur bestehen.
Ähnlichkeitsabbildungen – Eigenschaften
Eine Figur $F^{\prime}$, die durch Ähnlichkeitsabbildung aus der Figur $F$ hervorgeht, erfüllt die folgenden Eigenschaften:
- Alle Winkel sind unverändert.
- Alle Seiten sind im Verhältnis des Ähnlichkeitsfaktors $k$ verkürzt oder verlängert.
Ähnlichkeitsfaktor k
Der Ähnlichkeitsfaktor $k$ gibt an, in welchem Verhältnis die Figur durch die zentrische Streckung verkleinert oder vergrößert wird. Er entspricht also dem Streckungsfaktor der zentrischen Streckung, die Teil der Ähnlichkeitsabbildung ist. Dabei gilt:
- Für $\vert k \vert \lt 1$ wird die Figur verkleinert.
- Für $\vert k \vert = 1$ ist $F^\prime$ kongruent zu $F$.
- Für $\vert k \vert \gt 1$ wird die Figur vergrößert.
Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiel
Du siehst hier drei Trapeze im Koordinatensystem. Die Ausgangsfigur $ABCD$ wurde zunächst durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum $Z = A$ und den Streckfaktor $k = \frac{1}{2}$ auf das Trapez $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ abgebildet.
Das Trapez $A^{\prime\prime } B^{\prime\prime } C^{\prime\prime } D^{\prime\prime }$ ist dann im nächsten Schritt durch eine Achsenspiegelung an der $y$-Achse aus dem gestauchten Trapez $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ hervorgegangen.
Das bedeutet: Das Trapez $ABCD$ lässt sich durch eine Kombination aus zentrischer Streckung und Achsenspiegelung auf das Trapez $A^{\prime\prime } B^{\prime\prime } C^{\prime\prime } D^{\prime\prime }$ abbilden. Die beiden Trapeze sind also ähnlich, der Ähnlichkeitsfaktor entspricht dem Streckfaktor $k = \frac{1}{2}$.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Ähnlichkeitsabbildungen
Transkript Ähnlichkeitsabbildungen
Hallo! Ich bin’s wieder: Thekla!
Du kennst ja schon Kongruenzabbildungen und zentrische Streckungen. Heute wollen wir uns die Kombination von zentrischer Streckung und Kongruenzabbildung anschauen. Zunächst werden wir uns aber wieder in Gedächtnis rufen, was sich genau hinter den Begriffen “Kongruenzabbildung” und “zentrische Streckung” verbirgt.
Dann werden wir uns an zwei Beispielen anschauen, wie man eine zentrische Streckung und eine Kongruenzabbildung hintereinander ausführt.
Zum Schluss fassen wir das Gelernte in einem Merksatz zusammen.
Doch beginnen wir zuerst mit der Wiederholung: Was ist eine Kongruenzabbildung?
Betrachten wir dazu einmal dieses rechtwinklige Dreieck ABC.
Dieses Dreieck kann ich in der Ebene, zum Beispiel auf dieser Fläche hin- und herschieben: Nach oben, nach unten, nach links, nach rechts und sogar schräg in alle Richtungen. Diese Kongruenzabbildung nennt man Verschiebung der Figur.
Ich kann das Dreieck aber auch um diesen Punkt rotieren lassen. Diese Kongruenzabbildung wird Drehung der Figur genannt.
Die dritte Möglichkeit, eine Kongruenzabbildung des Dreiecks zu erzeugen, ist, das Dreieck an einer beliebigen Achse zu spiegeln. Dasheißt Achsenspiegelung.
Du kannst deine Figur aber auch punktspiegeln! Dazu spiegelst du jeden einzelnen Punkt deines Dreiecks an einem beliebigen Punkt in der Ebene.
Wenn du eine Figur kongruent abbildest, dann bleiben zum Beispiel die Seitenlängen und Winkel deiner Figur unverändert. Du änderst in der Regel lediglich die Lage deiner Figur, indem du sie verschiebst, drehst, an einer Achse spiegelst oder an einem Punkt spiegelst.
Eine Kongruenzabbildung ist also eine kongruente, das heißt deckungsgleiche Abbildung der ursprünglichen Figur. Erinnerst du dich noch, was “zentrische Streckung” bedeutet? In dem Begriff steckt das Wort “Zentrum”. Außer einer Figur, die du strecken möchtest, wie zum Beispiel diesem Parallelogramm, brauchst du noch ein Streckzentrum z. Das kann ein Punkt außerhalb oder sogar innerhalb der Figur sein. Eine Figur zentrisch zu strecken, bedeutet, sie zu vergrößern oder zu verkleinern. Dabei verändern sich die Seitenlängen der Figur und unter Umständen auch die Lange der Figur.
Wie die Seitenlängen sich verändern, bestimmt der Streckfaktor k. Nehmen wir an, das Streckzentrum befindet sich hier und der Streckfaktor ist k gleich 2. Zuerst zeichnet man von z aus durch alle Punkte des Parallelogramms Halbgeraden und misst jeweils den Abstand zwischen z und den Punkten der Figur. Du musst nun den Abstand zwischen z und den Punkten mit zwei multiplizieren, also verdoppeln. Die neuen Punkte trägst du auf den Halbgeraden ein. Zum Schluss verbindest du alle Punkte und hast nun ein um den Faktor 2 gestrecktes Parallelogramm.
Was passiert, wenn der Streckfaktor k kleiner als 1 oder sogar negativ ist, werden wir in unseren Beispielen sehen, wenn wir zentrische Streckung und Kongruenzabbildung verbinden. Wenn man bei einer Figur eine zentrische Streckung UND eine Kongruenzabbildung (oder anders herum) durchführt, nennt man die Abbildung auch Ähnlichkeitsabbildung. Nehmen wir als Beispiel dieses Trapez . Am besten ist es, dieses in einem Koordinatensystem zu zeichnen. Hier hat es die mit den Punkten A(-10 | 1), B(0 | 1), C(-2 | 6), D(-7 | 6). Wir führen zuerst eine zentrische Streckung durch. Was brauchen wir dafür? Achja, das Streckzentrum. Hier soll der Punkt A das Streckzentrum sein. Wir zeichnen also von diesem Punkt aus Halbgeraden durch die Punkte B, C und D.
Als zweites brauchen wir einen Streckfaktor k. Hier soll k gleich 1/2 sein. Wenn dein Streckfaktor k zwischen minus 1 und 1 liegt, wird die Figur verkleinert. Das ist hier der Fall. Wir müssen nun also den Abstand zwischen z und den Punkten des Trapezes mit ½ multipizieren, bzw. den Abstand halbieren.. Verbindest du die neu enstandenen Punkte A’, B’, C’ und D’, hast du ein um den Faktor ½ gestrecktes Trapez gezeichnet. Das gestreckte Trapez wollen wir jetzt kongruent abbilden, indem wir es mit einer Achsenspiegelung an der y-Achse spiegeln.
Das funktioniert folgendermaßen:Wir legen das Geodreieck mit der Mittellinie auf die y-Achse und messen den Abstand der Punkte zur y-Achse. Im gleichen Abstand zeichnen wir dann auf der anderen Seite der y-Achse die Punkte A’’, B’’, C’’ und D’’ ein. Wir verbinden sie und erhalten das gespiegeltes Trapez.
Wir haben nun hintereinander eine zentrische Streckung und eine Kongruenzabbildung durchgeführt, also haben wir eine Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt. Das Trapez A’’B’’C’’D’’ ist nun ähnlich zum ursprünglichen Trapez ABCD. Schauen wir und nun ein weiteres Beispiel an. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(3 | 3), B(12 | 5) und C(5 | 10). Als Streckzentrum ist z(0 | 0), also der Ursprung, vorgegeben.
Der Streckfaktor soll k gleich -2 sein. Nun aufgepasst! k ist kleiner als Null, also negativ! Wir müssen durch z und die Punkte keine Halbgeraden, sondern Geraden zeichnen. Wir strecken nämlich unsere Figur in die andere Richtung. Der Abstand von z zu A sind 2 cm und nun muss dieses Abstand mit -2 multiplizieren. Ich erhalte -4. Den Punkt A’ zeichne ich in entgegengesetzter Richtung auf der Geraden ab. Diesen Vorgang mache ich auch mit B und C. Ich erhalte mein neues Dreieck A’B’C’. Das Dreieck A’B’C’ soll nun mit einer Punktspiegelung an dem Punkt P(7 | 2) gespiegelt werden. Dazu lege ich die Null von meinem Geodreieck an den Punkt P an. Dann messe ich nacheinander die Abstände von P zu Punkten A’, B’, C’ und zeichne die neuen Punkte A’’, B’’, C’’ im gleichen Abstand zu P jeweils auf der Verlängerung der Strecken A’ P, B’ P und C’ P ein. Verbinde ich diese Punkte A’’, B’’, C’’, erhalte ich mein gespiegeltes Dreieck A’’B’’C’’.
Dieses Dreieck ist nun ähnlich zum ursprünglichen Dreieck. Nach diesem Beispielen können wir nun einen Merksatz formulieren: Wenn man zentrische Streckungen und kongruente Abbildungen hintereinander ausführt, so erhält man ein Figur, die ähnlich zu der Ausgangsfigur ist. Den Vorgang nennt man Ähnlichkeitsabbildung. Mir hat das heute viel Spaß gemacht. Geometrisches Zeichnen ist toll! Ich hoffe, es hat dir genauso gefallen und wir sehen uns bald wieder!
Tschüss!
Ähnlichkeitsabbildungen Übung
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Beschreibe, was eine Ähnlichkeitsabbildung ist.
TippsEin anderer Begriff für kongruent ist deckungsgleich.
Du kannst dir die Kongruenz wie folgt vorstellen. Wenn du zwei kongruente Figuren ausschneidest und diese übereinander legst, so decken diese sich komplett ab.
Hier siehst du als Beispiel die zentrische Streckung eines Parallelogramms.
LösungGeometrische Figuren heißen kongruent (deckungsgleich) zueinander, wenn alle Seitenlängen und alle Winkel gleich groß sind.
Zum Beispiel bei Dreiecken gibt es verschiedene Kongruenzsätze. Diese geben an, wann Dreiecke kongruent sind. Sie zeigen auf der anderen Seite auch Möglichkeiten, wie ein Dreieck eindeutig konstruiert werden kann.
Ein Kongruenzsatz lautet SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.
Wenn eine Figur
- verschoben,
- gedreht oder
- an einer Achse beziehungsweise an einem Punkt gespiegelt wird,
Wichtig: Wenn alle Winkel übereinstimmen, müssen die Figuren nicht kongruent sein. Sie sind dann nur ähnlich. Kongruenz ist ein Spezialfall von Ähnlichkeit.
Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Für eine zentrische Streckung benötigt man:
- ein Streckzentrum (einen Punkt) $Z$ sowie
- einen Streckfaktor $k$.
Wenn man eine zentrische Streckung und kongruente Abbildungen hintereinander ausführt, so erhält man eine Figur, die ähnlich zu der Ausgangsfigur ist. Eine solche Abbildung heißt dann Ähnlichkeitsabbildung.
-
Ergänze die Erklärung zur zentrischen Streckung.
TippsHier siehst du beispielhaft die zentrische Streckung eines Parallelogramms.
Hier siehst du den Einfluss des Streckfaktors $k$ am Beispiel der Streckung einer Strecke.
Ein negativer Streckfaktor steht für eine Spiegelung der Figur an dem Streckzentrum.
LösungHier ist beispielhaft die zentrische Streckung eines Punktes zu sehen. Damit diese Streckung sinnvoll ist, wird sie allerdings meistens an Figuren wie Drei-, Vier- und anderen Vielecken ausgeführt.
Soll ein Vieleck gestreckt werden, so wird analog jeder Eckpunkt gespiegelt. Die so erhaltenen Bildpunkte werden zuletzt miteinander verbunden.
Für eine zentrische Streckung benötigt man
- ein Streckzentrum $Z$ sowie
- einen Streckfaktor $k$.
- Gegeben ist das Streckzentrum $Z$ und der Streckfaktor $k=2$ sowie ein Punkt $A$.
- Zunächst zeichnet man eine Halbgerade von $Z$ durch $A$.
- Dann wird der Abstand von $Z$ zu $A$ gemessen.
- Dieser Abstand wird mit dem Streckfaktor (hier $k=2$) multipliziert.
- Zuletzt wird $Z$ aus eine Strecke mit der Länge des doppelten Abstandes abgetragen.
- Am Ende dieser Strecke befindet sich der Bildpunkt $A'$ des Ausgangspunktes $A$.
-
Entscheide, welche Figuren ähnlich zueinander sind.
TippsBei ähnlichen Figuren stimmen die Seitenverhältnisse überein.
Es können nur die Dreiecke zueinander oder die Rechtecke zueinander ähnlich sein.
Zu jedem Element gehören zwei Figuren.
Um die Seitenverhältnisse zu bestimmen, kannst du die Kästchen zählen.
LösungZu dem grünen Rechteck können nur Rechtecke ähnlich sein:
- Das eine Rechteck ist gedreht. Die Anzahl der Kästchen und auch die Seitenverhältnisse stimmen überein.
- Das andere ähnliche Rechteck ist verkleinert: Es hat drei Kästchen für die längere und zwei für die kürzere Seite. Die Seitenverhältnisse stimmen überein.
- Aber das Rechteck, welches nicht ähnlich zu dem grünen ist, hat eine deutlich längere lange als kurze Seite als das grüne Rechteck. Die Seitenverhältnisse stimmen also nicht überein und das Rechteck kann daher nicht ähnlich sein.
-
Prüfe die folgenden Aussagen zur Ähnlichkeit von geometrischen Figuren.
TippsDu kannst auch Kreise zentrisch strecken. Hierfür gehst du wie folgt vor:
- Zunächst führst du die zentrische Streckung eines Punktes mit dem Mittelpunkt des Kreises durch.
- Der Radius des Originalkreises wird mit dem Betrag des Streckfaktors $|k|$ multipliziert.
- Zuletzt zeichnest du einen Kreis um den Bildpunkt des Mittelpunktes mit dem multiplizierten Radius. So erhältst du den Bildkreis.
Bei ähnlichen Figuren sind die Winkel gleich groß.
In gleichseitigen Dreiecken sind alle Winkel gleichgroß, nämlich $60^\circ$.
Hier siehst du ein Rechteck und ein Quadrat.
Auch ein Quadrat ist ein Rechteck.
Wenn du bei einer Aussage denkst, dass sie falsch sein könnte, überlege dir ein Gegenbeispiel.
LösungWie kann man Figuren auf Ähnlichkeit überprüfen?
Zunächst einmal können nur Figuren ähnlich zueinander sein, wenn sie die gleiche Anzahl an Eckpunkten haben: Ein Dreieck kann nicht ähnlich zu einem Viereck sein.
Ein Sonderfall ist ein Kreis. Dieser besitzt keine Ecken. Da Kreise immer einen Mittelpunkt und einen Radius haben, sind diese immer ähnlich zueinander. Dies kann man sich an der zentrischen Streckung eines Kreises klarmachen:
- Der Mittelpunkt dient als Streckzentrum.
- Um diesen Mittelpunkt zeichnet man einen Kreis mit dem $|k|$-fachen des Ausgangsradius.
Bei ähnlichen Figuren stimmen nicht nur die Winkel überein, sondern auch die Verhältnisse der Seitenlängen zueinander.
Damit folgt auch, dass
- alle Quadrate und
- alle gleichseitigen Dreiecke
Da ein Quadrat auch ein Rechteck ist, bei einem Rechteck jedoch die Seiten nicht gleich lang sind, sind ein Quadrat und ein beliebiges Rechteck nicht ähnlich zueinander. Also sind auch nicht alle Rechtecke ähnlich.
Die gilt auch für gleichschenklige Dreiecke. Diese sind ebenfalls nicht ähnlich zueinander.
-
Gib an, welche der folgenden Abbildungen Kongruenzabbildungen sind.
TippsBei kongruenten Figuren stimmen alle Seiten und Winkel überein.
Bei diesem Dreieck stimmen alle Winkel überein. Sie sind jedoch nicht kongruent.
Kongruent bedeutet deckungsgleich. Das bedeutet, dass zwei Figuren kongruent sind, wenn man sie übereinanderlegen kann und sie sich dann komplett abdecken.
LösungDurch eine Kongruenzabbildung wird eine Figur auf eine kongruente (deckungsgleiche) Figur abgebildet.
Deckungsgleich bedeutet dabei, dass sowohl die Seiten als auch die Winkel der Figuren übereinstimmen.
Durch die folgenden Abbildungen werden Figuren auf kongruente Figuren abgebildet:
- Wenn eine Figur verschoben wird, entsteht eine kongruente Figur.
- Wenn man eine Figur dreht, so bleibt die Bildfigur deckungsgleich zu der Ausgangsfigur.
- Jede Spiegelung, ob an einer Achse oder an einem Punkt, führt zu einer kongruenten Figur.
Eine zentrische Streckung entspricht einer Vergrößerung oder Verkleinerung dieser Figur, je nach Streckfaktor $k$.
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Gib die Eigenschaften einer zentrischen Streckung an.
TippsBei kongruenten Figuren stimmen alle Seiten und alle Winkel überein.
Stimmen zum Beispiel bei zwei Dreiecken alle Winkel überein, dann sind diese ähnlich.
Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.
LösungBei zentrischen Streckungen mit dem Streckzentrum $Z$ und dem Streckfaktor $k$ gelten die folgenden Eigenschaften:
- Strecken werden auf parallele Strecken abgebildet.
- Die Bildstrecke ist $|k|$ mal so groß wie die Ausgangsstrecke. Dies ist an dem nebenstehenden Bild gut zu erkennen: Die grüne Strecke ist die Ausgangsstrecke ($k=1$). Für $k=0,5$ entsteht eine kürzere Strecke, die blaue. Diese ist halb so lang wie die grüne. Die rote Strecke mit $k=2$ ist doppelt so lang wie die grüne.
- Für $k=-1$ erhält man die an dem Streckzentrum $Z$ gespiegelte Strecke.
- Wenn Vielecke (Dreiecke, Vierecke, ...) gestreckt werden, bleiben alle Winkel gleich groß.
Eigenschaften ähnlicher Dreiecke
Ähnlichkeitsabbildungen
Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele
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Danke für diese ausführliche Erklärung!