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Zentrische Streckung – positiver Streckfaktor

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Team Digital
Zentrische Streckung – positiver Streckfaktor
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Grundlagen zum Thema Zentrische Streckung – positiver Streckfaktor

Inhalt

Die zentrische Streckung

Im intergalaktischen Streckzentrum können alle geometrischen Lebewesen ihre Körpergröße vergrößern oder verkleinern lassen. Dazu wird die zentrische Streckung mit positivem Streckfaktor auf sie angewendet. Schauen wir uns genauer an, was es damit auf sich hat.

Zentrische Streckung – Erklärung

Um zu verstehen, wie die zentrische Streckung funktioniert, betrachten wir ein Beispiel. Wir wollen das Dreieck $ABC$ um den Faktor $3$ strecken. Das Dreieck bezeichnen wir als die Ursprungsfigur.

zentrische Streckung Mathe Ursprungsfigur

Wir zeichnen dazu zunächst ein Streckzentrum $Z$ außerhalb des Dreiecks. Dann zeichnen wir einen Hilfsstrahl von $Z$ durch den Punkt $A$ des Dreiecks und messen die Länge der Strecke $\overline{ZA}$ längs dieses Strahls. In unserem Beispiel beträgt die Länge $4$ Längeneinheiten. Jetzt brauchen wir den Streckfaktor $m$. Weil wir das Dreieck um den Faktor $3$ strecken wollen, ist $m=3$. Wir multiplizieren die Länge der Strecke $\overline{ZA}$ mit dem Streckfaktor und erhalten:

$4 \cdot m = 4 \cdot 3 = 12$

Das Ergebnis ist die Länge der Strecke $\overline{ZA^{\prime}}$ zwischen dem Streckzentrum $Z$ und dem zentrisch gestreckten Punkt $A^{\prime}$, der auch Bildpunkt von $A$ genannt wird. Um den Bildpunkt zu finden, müssen wir also $12$ Längeneinheiten von $Z$ aus längs des Hilfsstrahls abzählen.

zentrische Streckung Mathe, Anwendung

Nach demselben Prinzip können wir die Bildpunkte $B^{\prime}$ und $C^{\prime}$ konstruieren. Im Anschluss können die Punkte $A^{\prime}$, $B^{\prime}$ und $C^{\prime}$ zum zentrisch gestreckten Dreieck verbunden werden.

zentrische Streckung Mathe, Bildfigur

Das zentrisch gestreckte Dreieck nennt man auch die Bildfigur. Sie ist $3$-mal so groß wie die Ursprungsfigur. Die Bildfigur und die Ursprungsfigur sind außerdem ähnlich. Das bedeutet, dass die Winkel $\alpha^{\prime}$ und $\alpha$, $\beta^{\prime}$ und $\beta$, $\gamma^{\prime}$ und $\gamma$ sowie die Seitenverhältnisse beider Figuren gleich sind. Die zentrische Streckung ist also winkeltreu und verhältnistreu.

Zentrische Streckung – Beispiel

Wir betrachten ein weiteres Beispiel, in dem ein positiver Streckfaktor verwendet wird. Dieses Mal soll die Ursprungsfigur allerdings gestaucht, also verkleinert, werden. Dazu muss der Streckfaktor zwischen $0$ und $1$ liegen, also:

$0 < m < 1$

Wir wollen in unserem Beispiel ein Quadrat um den Faktor $m = \frac{1}{4}$ verkleinern. Das Vorgehen ist analog zum Vergrößern: Zunächst wird ein Streckzentrum $Z$ außerhalb der Ursprungsfigur gezeichnet. Dann werden Hilfsstrahlen zwischen dem Streckzentrum $z$ und den vier Eckpunkten $A$, $B$, $C$ und $D$ des Quadrats konstruiert und die Länge der entstehenden Strecken gemessen. Diese Längen werden mit dem Streckfaktor $m = \frac{1}{4}$ multipliziert, um die Entfernung zwischen dem Streckzentrum und dem entsprechenden Bildpunkt zu finden. Die Bildfigur liegt im Falle der Stauchung zwischen dem Streckzentrum und der Ursprungsfigur.

Einfluss der Lage des Streckzentrums

In unseren Beispielen haben wir das Streckzentrum $Z$ immer außerhalb der Ursprungsfigur gezeichnet. Hätte es einen Unterschied gemacht, wenn wir das Streckzentrum an einer anderen Position gezeichnet hätten?

Solange das Streckzentrum außerhalb der Ursprungsfigur liegt, befinden sich sowohl Ursprungs- als auch Bildfigur auf einer Seite des Streckzentrums. Ihre Reihenfolge hängt davon ab, ob eine Vergrößerung oder eine Stauchung vorliegt: Bei einer Vergrößerung ist die Reihenfolge, vom Streckzentrum aus gelaufen: Streckzentrum, Ursprungsfigur, Bildfigur. Bei einer Stauchung, wieder vom Streckzentrum aus gelaufen: Streckzentrum, Bildfigur, Ursprungsfigur. Ändert sich der Abstand des Streckzentrums von der Ursprungsfigur, ändern sich die Abstände zwischen $Z$ und den Bild- beziehungsweise Ursprungspunkten in gleichem Maße – die Vergrößerung beziehungsweise Verkleinerung bleibt allerdings genau gleich.

Das Streckzentrum kann auch innerhalb der Ursprungsfigur liegen. In diesem Fall kann die Bildfigur über der Ursprungsfigur liegen, oder die beiden Figuren liegen ineinander. Das Vorgehen bei der Konstruktion der Bildfigur ändert sich dabei nicht.

Zentrische Streckung – Zusammenfassung

In diesem Video zur zentrischen Streckung erhältst du eine kurze Einführung in das Thema. Anhand von Beispielen wird dir gezeigt, wie du die gestreckte Bildfigur konstruieren kannst. Du findest neben Text und Video interaktive Übungen mit Lösungen sowie ein Arbeitsblatt zu diesem Thema.

Transkript Zentrische Streckung – positiver Streckfaktor

Willkommen im intergalaktischen Streckzentrum! Wer mit seiner Körpergröße unzufrieden ist, kann sich hier vom mächtigen Extendor, dem intergalaktischen Vollstrecker. strecken oder stauchen lassen. Aus dem ganzen Universum kommen Kunden hierher, um ihre Körpergröße anpassen zu lassen. Der erste Kunde – "Didier Dreieck" – möchte um den Faktor DREI gestreckt werden. Der mächtige Extendor richtet sein Astroszepter auf das Dreieck und löst den Streckstrahl aus. Dieser Vorgang lässt sich durch die "zentrische Streckung mit positivem Streckfaktor" erklären. Zunächst brauchen wir bei der zentrischen Streckung ein Streckzentrum. Diesen festen Punkt bezeichnen wir mit Z. Außerdem brauchen wir eine Figur, die gestreckt werden soll: "Die Ursprungsfigur". Bei uns also das Dreieck. Die Eckpunkte des Dreiecks bezeichnen wir, wie gewohnt, mit A, B und C. Der positive Streckfaktor m ist eine reelle Zahl größer 0. In unserem Beispiel lautet der Streckfaktor 3. Die Konstruktion verläuft so: Für jeden Punkt der Ursprungsfigur, zeichnen wir einen Hilfsstrahl von Z ausgehend durch diesen Punkt. Beginnen wir mit dem Hilfsstrahl durch den Punkt A. Anschließend messen wir die die Länge der Strecke zwischen Z und A. - Die ist hier gleich vier. Diese Länge multiplizieren wir mit dem Streckfaktor m. Also rechnen wir 3 mal 4... das ist zwölf. Wir messen also 12 Einheiten entlang des Hilfsstrahls von Z ab. Dort liegt der zentrisch gestreckte Punkt, oder auch Bildpunkt, A'. Auf dieselbe Weise erhalten wir die Punkte B' und C'. Durch Verbinden der Punkte A', B' und C', entsteht nun das um den Faktor drei gestreckte Dreieck. Wir nennen die entstandene Figur auch Bildfigur. Dir wird auffallen, dass sie genauso aussieht wie das ursprüngliche Dreieck, nur größer. Das liegt daran, dass die zentrische Streckung winkeltreu und verhältnistreu ist. Das bedeutet, dass diese Winkel gleich groß sind und das Verhältnis zweier Seiten ursprünglichen Dreiecks das gleiche ist wie das Verhältnis der entsprechenden Seiten der Bildfigur. Der einzige Unterschied ist: Die Seiten der Bildfigur sind dreimal so lang wie die der Ursprungsfigur. Im Intergalaktischen Streckzentrum ist nun der nächste Kunde an der Reihe. Die arme Gigantoquadratina wäre lieber etwas kleiner. Sie möchte mit einem Faktor von einem Viertel gestaucht werden. Wieder hebt Extendor sein Szepter und löst den Streckstrahl aus. Schauen wir uns auch diese Streckung genau an. Dieses Quadrat mit den Eckpunkten A, B, C und D ist unsere Ursprungsfigur. Wieder brauchen wir ein Streckzentrum Z. Für eine Verkleinerung, man sagt auch Stauchung, verwendet man einen Streckfaktor zwischen null und 1. In unserem Fall ist m gleich 1/4. Als nächstes zeichnen wir die Hilfsstrahlen von Z durch jeden Punkt der Ursprungsfigur. Wir messen die Länge der Strecke zwischen Z und A - sie beträgt acht. Um die Eckpunkte des gestauchten Quadrats zu erhalten, tragen wir diesmal aber nur ein Viertel der Strecke ab. Also beträgt die Länge der Strecke ZA' ein Viertel von 8, also 2. Auch die Bildfigur ist wieder ein Quadrat, da die zentrische Streckung winkeltreu und verhältnistreu ist. Jetzt schauen wir uns an, welchen Einfluss die Lage des Streckzentrums hat. Liegt es außerhalb der ursprünglichen Figur, so liegen beide Figuren auf einer Seite des Streckzentrums. Bewegen wir Z von der Ursprungsfigur weg, so werden auch die Abstände zwischen ursprünglicher und Bildfigur größer. Beachte also beim Zeichnen, dass du genügend Platz hast, um auch noch die Bildfigur auf deinem Blatt unterzubringen. Die Lage von Z hat aber keinen Einfluss auf die Größe der Bildfigur. Das Streckzentrum kann auch im Inneren der Figur liegen. Dann liegen Bildfigur und Ursprungsfigur aufeinander. Das Streckzentrum kann sogar auf einem Eckpunkt der Ursprungsfigur liegen. In diesem Fall haben die Bildfigur und die Ursprungsfigur einen gemeinsamen Punkt, das Streckzentrum. Fassen wir noch einmal alles zusammen: Bei einer zentrischen Streckung gibt es ein Streckzentrum Z und einen Streckfaktor m. Um eine Ursprungsfigur um einen Faktor m zentrisch zu strecken, gehst du so vor: Zuerst zeichnest du von Z aus je einen Hilfsstrahl durch jeden Eckpunkt der Figur. Diese Längen multiplizierst du mit m und trägst die Ergebnisse als Längen auf dem Hilfsstrahl ab. Dort liegen die Bildpunkte. Diese Bildpunkte verbindest du so miteinander wie bei der ursprünglichen Figur. Jetzt bist du fertig! Die Lage des Streckzentrums beeinflusst die Lage der gestreckten Figur, aber nicht ihre Größe. Liegt das Streckzentrum im inneren der Ursprungsfigur, sieht die Streckung SO aus. Wenn m zwischen 0 und 1 liegt, wird die Figur gestaucht. Wenn m größer als 1 ist, wird die Figur gestreckt. Doch was passiert, wenn der Streckfaktor genau 1 ist? Dann ist die Bildfigur genau gleich der Ursprungsfigur. Was im intergalaktischen Streckzentrum aber immer vergessen wird: Die Kunden sind gar nicht so flach und zweidimensional.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. LoL, die Namen aus dem Video sind zu lustig... Quadrina...

    Von Ramonkos, vor 8 Monaten
  2. hallo hat mir geholfen

    Von Temiz55, vor 10 Monaten
  3. Hallo M Hopp 2, das 3-mal bezieht sich auf die Seitenlängen. Aber Du hast recht, die Fläche des Bilddreiecks ist 9-mal so groß. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor 11 Monaten
  4. Fehler im Video, was ansonsten wirklich gut ist...
    -> Die mit dem Faktor 3 gestreckte Bildfigur ist nicht 3-mal, sondern 9-mal so groß wie die Ursprungsfigur.

    Wieso wird eigentlich "m" als Streckfaktor bezeichnet? In den Büchern heißt es oft "k".

    Von M Hopp 2, vor 11 Monaten
  5. Hallo Burberry1, vielen Dank für das positive Feedback. Schön, dass du es verstanden hast. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor fast 2 Jahren
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Zentrische Streckung – positiver Streckfaktor Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentrische Streckung – positiver Streckfaktor kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zur zentrischen Streckung.

    Tipps

    Die Bildfigur ist das Ergebnis der zentrischen Streckung.

    Verhältnistreu bedeutet, dass die Verhältnisse der Längen der Bildfigur den Verhältnissen der Längen der Ursprungsfigur entsprechen. Zum Beispiel gilt bei einer zentrischen Streckung eines Dreiecks mit Eckpunkten $A$, $B$ und $C$:

    $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}$.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch.

    „Das Streckzentrum liegt immer außerhalb der Ursprungsfigur.“

    • Das Streckzentrum kann auch innerhalb der Ursprungsfigur liegen. In diesem Fall liegen Ursprungs- und Bildfigur übereinander.
    „Bei einem Streckfaktor $m<0$ wird die Ursprungsfigur bei der Streckung verkleinert oder gestaucht.“

    • Eine Stauchung, das heißt eine Streckung, in der die Bildfigur nach der Streckung kleiner als die Ursprungsfigur ist, hat einen Streckfaktor von $0<m<1$. Die Längen der Ursprungsfigur werden hier mit einem Faktor $0<m<1$ multipliziert, also verkleinert.
    „Die zentrische Streckung ist zwar winkeltreu, aber nicht verhältnistreu.“

    • Die aus einer zentrischen Streckung resultierende Bildfigur erhält sowohl die Winkel als auch die Verhältnisse der Längen der Ursprungsfigur.
    Diese Aussagen sind korrekt.

    „Gilt für den Streckfaktor $m>1$, wird die Ursprungsfigur bei der Streckung vergrößert.“

    • Hier werden die Längen der Ursprungsfigur mit einem Faktor $m>1$ multipliziert, also vergrößert.
    „Die Lage des Streckzentrums beeinflusst die Längen der Bild- und Ursprungsfiguren nicht.“

  • Beschreibe das Vorgehen bei einer zentrischen Streckung.

    Tipps

    Das Streckzentrum $Z$ und die Bild- und ihre zugehörigen Ursprungspunkte liegen auf einer Geraden.

    Um die Bildpunkte zu einer Bildfigur zu verbinden, musst du zuerst die einzelnen Bildpunkte konstruieren.

    Lösung

    Die zentrische Streckung verläuft so:

    Zuerst suchst du dir einen festen Punkt der Zeichnung, das Streckzentrum $Z$.

    • Ist das Streckzentrum nicht vorgegeben, kannst du es beliebig wählen. Du solltest dabei allerdings darauf achten, dass deine Zeichnung auf dein Blatt Papier passt.
    Dann zeichnest du eine Gerade durch das Streckzentrum $Z$ und den ersten Eckpunkt $A$ des Dreiecks.

    Anschließend misst du die Länge $\overline{AZ}$ auf dieser Geraden und multiplizierst die Länge mit dem Streckfaktor $m$.

    So erhältst du die Länge $\overline{A'Z}$. Diese trägst du nun ausgehend vom Streckzentrum $Z$ auf der Geraden durch $Z$ und $A$ ab und erhältst den ersten Bildpunkt $A'$.

    • In diesem Fall müssen Ursprungspunkt $A$ und Bildpunkt $A'$ auf einer Seite des Streckzentrums liegen. Das liegt daran, dass der Streckfaktor $m$ positiv, also größer null ist.
    Die anderen Bildpunkte $B'$ und $C'$ kannst du genauso bestimmen.

    Um die Bildfigur zu erhalten, musst du nur noch die Bildpunkte wie in der Ursprungsfigur verbinden.

  • Ermittle die Längen der Streckung.

    Tipps

    Den Abstand eines Bildpunkts zum Streckzentrum $\overline{A'Z}$ kannst du wie folgt bestimmen:

    $\overline{A'Z}=m \cdot \overline{AZ}$.

    Dabei bezeichnet $m$ den Streckfaktor und $\overline{AZ}$ den Abstand des Ursprungspunktes $A$ zum Streckzentrum $Z$.

    Durch Umstellen der obigen Gleichung kannst du den Streckfaktor $m$ bestimmen. Du erhältst dann:

    $m = \dfrac{\overline{A'Z}}{ \overline{AZ}}$.

    Lösung

    Den Abstand eines Bildpunkts zum Streckzentrum $\overline{A'Z}$ kannst du wie folgt bestimmen:

    $\overline{A'Z}=m \cdot \overline{AZ}$.

    Dabei bezeichnet $m$ den Streckfaktor und $\overline{AZ}$ den Abstand des Ursprungspunktes $A$ zum Streckzentrum $Z$.

    Damit erhältst du folgende Paare:

    • Aus $\overline{AZ}=3$ und $m=4$ folgt $\overline{A'Z}=12$.
    • Mit $\overline{AZ}=12$ und $m=\frac{1}{2}$ erhältst du $\overline{A'Z}=6$.
    Durch Umstellen der obigen Gleichung kannst du den Streckfaktor $m$ bestimmen. Du erhältst dann

    $m = \dfrac{\overline{A'Z}}{ \overline{AZ}}$.

    So kannst du die anderen beiden Paare bestimmen zu:

    • Aus $\overline{AZ}=5$ und $\overline{A'Z}=25$ folgt $m=5$.
    • Mit $\overline{AZ}=25$ und $\overline{A'Z}=5$ erhältst du $m=\frac{1}{5}$.
  • Bestimme die gestauchte Figur.

    Tipps

    Hast du die Entfernung $\overline{BZ}$ und den Streckfaktor $m$ gegeben, kannst du die fehlende Länge $\overline{B'Z}$ so bestimmen:

    $\overline{B'Z}=m \cdot \overline{BZ}$.

    Das Streckzentrum, der Ursprungs- und sein zugehöriger Bildpunkt müssen immer auf einer Geraden liegen.

    Überlege dir, ob deine Zeichnung Sinn ergibt. Wenn nicht, hast du möglicherweise die Skala falsch gewählt. Eine Längeneinheit sollte genau einem Zentimeter (also zwei Kästchen in deinem Heft) entsprechen.

    Lösung

    Die Stauchung wird wie folgt durchgeführt.

    Zuerst zeichnet sie das Streckzentrum $Z$ bei $(0 \vert 0)$ ein.

    • Das Streckzentrum $Z$ liegt im Koordinatenursprung, also bei $(0 \vert 0)$.
    Dann zeichnet sie eine Gerade durch das Streckzentrum $Z$ und den ersten Ursprungspunkt $A$. Danach misst sie den Abstand der beiden Punkte zu:

    $ \overline{AZ}\approx 4,47$.

    • Das Streckzentrum, der Ursprungs- und sein zugehöriger Bildpunkt müssen immer auf einer Geraden liegen.
    Um die Lage des Bildpunktes $A'$ zu bestimmen, berechnet sie dessen Abstand zum Streckzentrum $Z$.

    $\overline{A'Z}=m \cdot \overline{AZ}= \frac{1}{2} \cdot 4,47 \approx 2,24$

    Diese Länge misst sie auf der Geraden durch $A$ und $Z$ ab. Der Punkt $A'$ liegt also bei $(1 \vert 2)$.

    • Wenn du nur zwei Variablen der Formel $\overline{A'Z}=m \cdot \overline{AZ}$ gegeben hast, kannst du die fehlende mit der Formel bestimmen.
    Die anderen Bildpunkte bestimmt sie genauso. Damit erhält sie $B'(5\vert 1)$ und $C'(4 \vert 4)$. Im Anschluss verbindet sie die Punkte zur Bildfigur.

  • Beschrifte die Zeichnung.

    Tipps

    Bildpunkte werden immer mit dem Buchstaben des zugehörigen Ursprungspunktes und einem Strich bezeichnet.

    Die einzelnen Punkte kannst du zu einer Figur verbinden.

    Lösung

    So kannst du die Zeichnung beschriften:

    • Alle Geraden durch Ursprungs- und Bildpunkte treffen sich in einem Punkt, dem Streckzentrum $Z$.
    • Bildpunkte werden immer mit dem Buchstaben des zugehörigen Ursprungspunktes und einem Strich bezeichnet.
    • Die verbundenen Bild- oder Ursprungspunkte bilden die Bild- oder Ursprungsfigur.
  • Leite die richtigen Aussagen ab.

    Tipps

    Wird eine Ursprungsfigur gestaucht, ist die Bildfigur kleiner als die Ursprungsfigur.

    Vom Streckzentrum aus werden alle Entfernungen gleichermaßen gestreckt. So bleiben die Lagebeziehungen zum Streckzentrum erhalten.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch.

    „Ist die Ursprungsfigur größer als die Bildfigur, weißt du, dass der Streckfaktor größer als null ist.“

    • Ist die Ursprungsfigur größer als die Bildfigur, dann muss der Streckfaktor $m$ größer als eins sein.
    „Wird das Streckzentrum einer Streckung mit $m=1$ verschoben, so verschiebt sich auch die Bildfigur, wobei sie weiterhin genauso groß wie die Ursprungsfigur bleibt.“

    • Bei einer Streckung mit Streckfaktor $m=1$ sind Ursprungs- und Bildfigur identisch. Da ein verschobenes Streckzentrum nie die Ursprungsfigur verschiebt, kann so auch die Bildfigur nicht verschoben werden.
    Diese Aussagen sind wahr:

    „Entspricht das Streckzentrum dem Mittelpunkt einer Kante eines Quadrates, so entspricht es in der Bildfigur ebenfalls dem Mittelpunkt einer Kante.“

    • Vom Streckzentrum aus werden alle Entfernungen gleichermaßen gestreckt. So bleiben die Lagebeziehungen zum Streckzentrum erhalten.
    „Du kannst das Streckzentrum bestimmen, indem du Geraden durch die Ursprungs- und ihre zugehörigen Bildpunkte zeichnest.“

    • Das Streckzentrum, der Ursprungs- und sein zugehöriger Bildpunkt müssen immer auf einer Geraden liegen. Alle Geraden durch die verschiedenen Bild- und Ursprungspunkte verlaufen also durch das Streckzentrum.
    „Liegt das Streckzentrum auf der Mittelsenkrechten einer Strecke, so haben Ursprungs- und Bildstrecke dieselbe Mittelsenkrechte.“

    • Vom Streckzentrum aus werden alle Entfernungen gleichermaßen gestreckt. So bleiben die Lagebeziehungen zum Streckzentrum erhalten. Das gilt auch für die Mittelsenkrechten.
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