30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor 07:07 min

Textversion des Videos

Transkript Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor

Hefte raus! Heute geht es um zentrische Streckung mit einem negativem Streckfaktor. Dafür betrachten wir dieses Huhn!? Wie dem auch sei, das geht bestimmt auch mit Geflügel. Wir vereinfachen das Huhn zu einem Fünfeck. Die Ecken bezeichnen wir mit den Buchstaben A bis E. Das ungestreckte Ausgangshuhn ist die Ursprungsfigur. Und ihre Punkte sind die Ursprungspunkte. Hier liegt der Punkt, an dem wir die zentrische Streckung durchführen wollen. Man nennt ihn Streckenzentrum und wir bezeichnen ihn mit Z. Für den Streckfaktor benutzt man die Variable m. Wir wollen das Huhn um einen Faktor 'm gleich minus 2' strecken. Du weißt vielleicht schon, wie zentrische Streckung mit einem positivem Streckfaktor funktioniert – hier geht es ganz ähnlich. Wir gehen Punkt für Punkt vor. Zunächst zeichnen wir einen Hilfsstrahl durch den Ursprungspunkt A und das Streckzentrum Z. Dann messen wir den Abstand von A zu Z. Der ist hier gleich 3 Zentimeter. Diese Länge multiplizieren wir jetzt mit dem Streckfaktor. Hm, was könnte 'minus 6 cm' jetzt bedeuten? Der entstehende Punkt soll vom Streckzentrum 6 Zentimeter entfernt sein – und auf der anderen Seite des Streckzentrums liegen. Also messen wir 6 Zentimeter vom Streckzentrum aus entlang des Hilfsstrahls in diese Richtung. Hier liegt der neue Punkt. Den nennt man auch Bildpunkt. Bildpunkte kennzeichnet man immer mit einem Strich – das hier ist also 'A Strich'. Wir wiederholen das Vorgehen genauso bei Punkt B. Zuerst der Hilfsstrahl durch Z. Dann messen wir den Abstand zwischen Z und B. Der beträgt hier 7 Zentimeter. Mit 'm' multiplizieren – hier kommt dann 'minus 14 Zentimeter' heraus. Also von Z aus entlang des Hilfsstrahls 14 Zentimeter auf der gegenüberliegenden Seite abmessen. Dort liegt der Bildpunkt 'B Strich'. Ganz genauso geht das mit den übrigen Punkten. Hilfsstrahlen zeichnen Abmessen mit dem Streckfaktor multiplizieren und die Bildpunkte einzeichnen. Jetzt musst du nur noch die Bildpunkte so miteinander verbinden, wie die Ursprungspunkte zur Ursprungsfigur verbunden sind. Und die entstehende Figur ist die Bildfigur. Was fällt dir auf? Die Bildfigur steht auf dem Kopf! Und sie liegt auf der anderen Seite des Streckzentrums. Außerdem ist die Bildfigur vergrößert! Du kannst dir die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor vorstellen wie eine zentrische Streckung mit positivem Streckfaktor, bei der du anschließend das gestreckte Bild noch am Streckzentrum punktspiegelst, oder um 180 Grad um das Streckzentrum drehst. Das Huhn ist ganz konfus vor lauter Streckerei und noch dazu steht es Kopf! Aber schau mal, es legt ein Ei! Dieses Ei hätten wir gerne kleiner und auch auf dem Kopf stehend! Sagen wir mal, wir wollen es um den Faktor 'minus ein Drittel' zentrisch strecken. Bezeichnen wir noch rasch die Punkte des Ei-Dreiecks mit A, B und C. Das Streckzentrum Z liegt hier. Dann kann's ja los gehen: Hilfsstrahl durch A und Z zeichnen. Die Länge ausmessen: 9 Zentimeter. Mit dem Streckfaktor multiplizieren. Das Ergebnis lautet 'minus 3 Zentimeter'. Von Z ausgehend auf der gegenüberliegenden Seite des Ursprungspunkts 3 Zentimeter abmessen. Dort liegt der Bildpunkt 'A Strich'. Und mit den anderen beiden Punkten gehen wir genauso vor. Dann noch alle Punkte verbinden wie in der Ursprungsfigur. Und fertig ist die Bildfigur. Die steht wieder auf dem Kopf und ist kleiner – man sagt gestaucht. Wo liegt denn die Bildfigur immer? Und wie groß ist sie? Untersuchen wir doch mal, wie sich das Bild verändert, wenn wir die Ursprungsfigur und den Streckfaktor gleich lassen, aber das Streckenzentrum verschieben. Die Größe der Bildfigur bleibt immer gleich, egal wo Z liegt. Und sie bleibt auch immer auf dem Kopf stehen. Aber die Lage der Bildfigur verschiebt sich immer mit Z. Das Streckzentrum kann auch im inneren der Ursprungsfigur liegen. Dann liegen Bild- und Ursprungsfigur sozusagen aufeinander. Und wenn wir das Streckzentrum auf eine der Ecken der Ursprungsfigur legen liegt die entsprechende Ecke der Bildfigur genau auf dem gleichen Punkt. Halten wir jetzt das Streckzentrum mal fest und verändern den Streckfaktor. Wenn der Streckfaktor kleiner ist als 'minus 1', ist das Bild größer als die Ursprungsfigur. Aber denk dran: "Kleiner als minus 1" bedeutet "weiter links auf dem Zahlenstrahl". Liegt m zwischen 'minus 1' und 0, ist die Bildfigur KLEINER als die Ursprungsfigur. Und wenn m genau 'minus 1' ist? Dann ist die Bildfigur genau die Punktspiegelung der Ursprungsfigur! Dann fassen wir mal schnell zusammen! Bei einer zentrischen Streckung gibt es ein Streckzentrum Z und einen Streckfaktor m. Hier schauen wir uns an, wie ein negativer Streckfaktor funktioniert, also muss m kleiner als 0 sein. Um eine Ursprungsfigur um den Faktor m zentrisch zu strecken, gehst du so vor: Zuerst zeichnest du durch jeden Eckpunkt der Figur einen Hilfsstrahl durch Z. Dann misst du die Längen der entstandenen Strecken auf den Hilfsstrahlen. Diese Längen multiplizierst du mit m und trägst die Ergebnisse als Strecken von Z aus auf dem Hilfsstrahl ab. Aber Vorsicht: Immer auf der gegenüberliegenden Seite von Z. Dort liegen die Bildpunkte. Alle neu entstandenen Punkte verbindest du wie bei der ursprünglichen Figur. Jetzt bist du fertig! Die Lage des Streckzentrums beeinflusst die Lage der gestreckten Figur, aber nicht ihre Größe oder Orientierung. Der Streckfaktor bestimmt die Größe der Figur: Wenn m zwischen 0 und 'minus 1' liegt, wird die Figur gestaucht. Wenn m kleiner ist als 'minus 1', wird die Figur gestreckt. Du kannst dir eine zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor immer vorstellen als eine Streckung mit positivem Faktor, bei der du anschließende das Bild noch am Streckzentrum punktspiegelst. Was ist das denn für ein Hühnerhaufen hier? Da steht ja alles Kopf! Bei der Produktion dieses Videos kamen keine Tiere zu Schaden.

Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Konstruktion der zentrischen Streckung wieder.

    Tipps

    Ohne Streckzentrum und Streckfaktor kann die Konstruktion nicht beginnen.

    Nachdem alle Bildpunkte konstruiert sind, musst Du sie zur Bildfigur verbinden.

    Der Abstand der Ursprungspunkte zum Streckzentrum wird auf den Hilfsstrahlen abgemessen.

    Lösung

    Die Konstruktion der zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor geschieht in mehreren Schritten. Die Reihenfolge der Schritte ist dieselbe wie bei der zentrischen Streckung mit positivem Streckfaktor. Die korrekte Abfolge sieht so aus:

    • Wähle ein Streckzentrum und den Streckfaktor.
    • Ziehe Hilfsstrahlen von den Ursprungspunkten durch das Streckzentrum.
    • Miss den Abstand der Ursprungspunkte zum Streckzentrum.
    • Multipliziere den Abstand mit dem Streckfaktor.
    • Trage das Produkt auf dem Hilfsstrahl auf der anderen Seite des Streckzentrums ab.
    • Verbinde die Bildpunkte in derselben Weise wie die Ursprungspunkte.
  • Gib die Eigenschaften zentrischer Streckungen an.

    Tipps

    Bei einer zentrischen Streckung wird die Ursprungsfigur gestaucht, wenn der Streckfaktor größer als $-1$ und kleiner als $1$ ist.

    Die zentrische Streckung mit Streckfaktor $m=-2$ geht durch eine Drehung um $180^\circ$ aus der zentrischen Streckung um den Faktor $m=2$ hervor.

    Überlege, wie sich Lage und Größe der Bildfigur ändern, wenn Du das Streckzentrum veränderst.

    Lösung

    Die zentrischen Streckungen mit positivem bzw. negativem Streckfaktor unterscheiden sich nur durch die Orientierung. Bei zentrischen Streckungen mit negativem Streckfaktor steht die Bildfigur gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.

    Folgende Aussagen sind wahr:

    • „Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=2$ ist doppelt so groß wie die Ursprungsfigur.“
    • „Die Größe der Bildfigur hängt von der Wahl des Streckfaktors ab.“
    • „Die Größe der Bildfigur hängt nicht vom Vorzeichen des Streckfaktors ab.“
    Falsch sind dagegen diese Aussagen:

    • „Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=-2$ ist kleiner als die Ursprungsfigur.“ Die Bildfigur ist doppelt so groß wie die Ursprungsfigur und steht gegenüber dieser auf dem Kopf.
    • „Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=2$ steht gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.“ Für den Kopfstand brauchst Du einen negativen Streckfaktor.
    • „Die Größe der Bildfigur hängt von der Wahl des Streckzentrums ab.“ Nur die Lage ist abhängig von der Wahl des Streckzentrums, die Größe und Orientierung der Bildfigur hängen nur vom Streckfaktor ab.
    • „Die Lage der Bildfigur hängt nicht von dem Streckzentrum ab.“ Veränderst Du das Streckzentrum, so ändert sich nur die Lage der Bildfigur, nicht die Größe und Orientierung.
  • Beschreibe die zentrische Streckung.

    Tipps

    Die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor geht ähnlich wie die mit positivem Streckfaktor, es werden nur die Abstände auf der anderen Seite des Streckzentrums abgetragen.

    Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $-\frac{1}{2}$ ist halb so groß wie die Ursprungsfigur.

    Jeder Verbindung der Punkte in der Ursprungsfigur entspricht eine Verbindung der Punkte in der Bildfigur.

    Lösung

    Die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor verwendet verschiedene Punkte und Variablen. Hier ist die korrekte Benennung der einzelnen Konstruktionsschritte:

    • Die Konstrutkion beginnt mit der Wahl eines Streckzentrums $Z$ und eines Streckfaktors $m$. Nun ziehst Du von jedem der Ursprungspunkte einen Hilfsstrahl durch das Streckzentrum. Als Nächstes misst Du den Abstand des Ursprungspunktes zum Streckzentrum und multiplizierst ihn mit dem Streckfaktor.
    • Ist der Streckfaktor negativ, so trägst Du als Nächstes das Ergebnis der Multiplikation auf dem Hilfsstrahl auf der anderen Seite des Streckzentrums ab. Schließlich erhältst Du die Bildfigur, indem Du die Bildpunkte in derselben Weise verbindest wie die Ursprungspunkte.
    • Die so erhaltene Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=-2$ kannst Du auch durch eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $m=2$ konstruieren, indem Du anschließend noch eine Punktspiegelung am Streckzentrum durchführst. Bei dem Streckfaktor $m=-2$ ist die Bildfigur doppelt so groß wie die Ursprungsfigur und steht gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.
  • Analysiere die Aussagen über zentrische Streckungen.

    Tipps

    Überlege, ob in jedem Fall die Größe, Orientierung und Lage der Bildfigur von Streckfaktor und Streckzentrum abhängen. Versuche Spezialfälle zu finden, in denen diese Abhängigkeiten nicht gelten.

    Lösung

    Bei zentrischen Streckungen ändert sich im Allgemeinen die Größe mit dem Betrag des Streckfaktors, die Orientierung mit dem Vorzeichen des Streckfaktors und die Lage mit dem Streckzentrum. Es treten aber einige Spezialfälle auf, die Du beachten solltest.

    Richtig sind folgende Aussagen:

    • „Bei einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=1$ sind Ursprungsfigur und Bildfigur identisch.“ Diese zentrische Streckung verändert die Figur gar nicht. Die Bildfigur ist insbesondere unabhängig von der Wahl des Streckzentrums.
    • „Verändert man das Streckzentrum, so ändert sich die Lage der Bildfigur nur dann, wenn $m\neq 1$.“ Im Fall $m=1$ ist die zentrische Streckung die Identität, unabhängig von der Wahl des Streckzentrums. In allen anderen Fällen bestimmt das Streckzentrum die Lage der Bildfigur.
    • „Es gibt Ursprungsfiguren, die zu ihrer Bildfigur unter einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=-1$ kongruent sind.“ Eine zentrische Streckung mit Streckfaktor $m=-1$ kann man als Parallelverschiebung und anschließende Punktspiegelung bzw. Drehung um $180^\circ$ darstellen. Daher ist in diesem Fall jede Bildfigur zu ihrer Ursprungsfigur kongruent.
    Falsch sind diese Aussagen:

    • „Bei einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=1$ ist die Ursprungsfigur nie mit der Bildfigur kongruent.“ Für den Streckfaktor $m=1$ ist die zentrische Streckung die Identität. Jede Figur ist mit der Bildfigur nicht nur kongruent, sondern sogar identisch.
    • „Es gibt eine Figur aus mehr als einem Punkt, die zu ihrer Bildfigur unter einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m\neq 1,-1$ kongruent ist.“ Besteht eine Figur aus mindestens zwei Punkten, so wird der Abstand der Punkte bei der zentrischen Streckung gestaucht oder gestreckt, da der Streckfaktor $m\neq \pm 1$ ist. Besteht die Figur aber nur aus einem einzelnen Punkt, so ist sie zu jeder Bildfigur unter zentrischen Streckungen mit jedem beliebigen Streckfaktor kongruent.
  • Erschließe die Punkte.

    Tipps

    Suche zuerst das Streckzentrum.

    Das Streckzentrum liegt auf jeder Geraden durch einen Ursprungspunkt und seinen Bildpunkt.

    Die Bildpunkte werden in derselben Weise verbunden wie die Ursprungspunkte.

    Lösung

    Das Streckzentrum $Z$ liegt auf jeder Verbindungsgeraden zwischen einem Ursprungspunkt und seinem Bildpunkt. Die Bildpunkte liegen jeweils auf der anderen Seite des Streckzentrums als die Ursprungspunkte. Die Bildpunkte unterscheiden sich in der Bezeichnung von den Ursprungspunkten durch den Strich: $A'$ ist der Bildpunkt von $A$, usw.

  • Ordne den Bildern die Streckfaktoren zu.

    Tipps

    Überlege, wie sich die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor von der mit positivem Streckfaktor unterscheidet.

    Die Größe der Bildfigur hängt nur von dem Betrag des Streckfaktors ab.

    Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor steht gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.

    Lösung

    Die zentrische Streckung mit einem Streckfaktor $\neq 1$ oder $\neq -1$ ändert nicht die Größe der Figur. Ist der Streckfaktor größer als $-1$ und kleiner als $1$ so wird die Figur verkleinert oder gestaucht, andernfalls gestreckt. Das Vorzeichen des Streckfaktors bestimmt die Orientierung der Bildfigur: Ist der Streckfaktor negativ, so steht die Bildfigur gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf bzw. erscheint um $180^\circ$ gedreht. Bei positivem Streckfaktor hat die Bildfigur dieselbe Orientierung wie die Ursprungsfigur.

    Aus diesen Überlegungen ergibt sich die Zuordnung der Streckfaktoren zu den obigen Bildnummern.

    Bild 1: $\quad m=2$

    Bild 2: $\quad m=-2$

    Bild 3: $\quad m=1$

    Bild 4: $\quad m=-1$

    Bild 5: $\quad m=-\frac{1}{2}$