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Umkehrung der zentrischen Streckung – Streckzentrum und Streckfaktor bestimmen 07:53 min

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Transkript Umkehrung der zentrischen Streckung – Streckzentrum und Streckfaktor bestimmen

Dr. Evil macht Urlaub in Paris und möchte sich ein Souvenir mitnehmen. Aber nicht so einen billigen Eiffelturm-Schlüsselanhänger von diesen Straßenverkäufern. Nein, er will das Original: Den echten Eiffelturm. Gut, dass er seine Schrumpf- und Streck--Maschine dabei hat. Aber, oh, da ist wohl was schief gegangen. Eigentlich sollte der Eiffelturm doch viel stärker schrumpfen! So passt er nicht in seine Tasche. Und außerdem steht er jetzt woanders. Was ist passiert? Um das herauszufinden, benutzen wir die Umkehrung der zentrischen Streckung. Wir wollen herausfinden, wo Dr. Evil genau stand und welchen Streckfaktor er benutzt hat! Hier sehen wir links den ursprünglichen Eiffelturm. Zeichnen wir ihn doch ganz grob als Dreieck in unsere Skizze ein. Dieses Dreieck ist die Ursprungsfigur, die zentrisch gestreckt wurde. Die Eckpunkte A, B und C dieser Figur nennen wir Ursprungspunkte. Rechts sehen wir ihr geschrumpftes Abbild, die Bildfigur. Die Punkte dieser Figur nennen wir Bildpunkte. An der Stelle, an der Dr. Evil stand, muss das Streckzentrum liegen. Diesen Punkt suchen wir. Wir gehen dabei ganz ähnlich vor wie bei der zentrischen Streckung – nur eben umgekehrt! Es müssen nämlich alle Bildpunkte und ihre Ursprungspunkte jeweils auf einer Geraden liegen. Wir beginnen mit dem Punkt A'. Wir zeichnen eine Gerade durch den Ursprungspunkt A und seinen Bildpunkt A'. Als zweiten Punkt wählen wir den Punkt C'. Auch hier zeichnen wir eine Gerade durch den Ursprungspunkt C und C'. Dort wo beide Geraden sich treffen, liegt das Streckzentrum Z. Zur Probe können wir dieses Verfahren noch an dem übrigen Bildpunkt durchführen. Also an B und B'. Die Gerade schneidet die anderen beiden ebenso im Punkt Z. Aber da sich alle Geraden in Z schneiden, reichen uns zwei Geraden. Als Nächstes bestimmen wir den Streckfaktor m. Daran, dass beide Figuren auf einer Seite von Z liegen, können wir sehen, dass der Streckfaktor positiv ist. Dass die Bildfigur kleiner als die Ursprungsfigur ist, sagt uns, dass m kleiner als 1 sein muss. Um den Streckfaktor m zu berechnen, messen wir jeweils die Entfernung von einem beliebigen Ursprungspunkt und seinem Bildpunkt zum Streckzentrum. Hier A und A'. Zuerst messen wir die Strecke zwischen A und Z, also den Abstand zwischen der Spitze des ursprünglichen Turms und dem Streckzentrum. Diese Strecke beträgt 1000 Meter. Dann messen wir die Strecke zwischen A' und Z, also den Abstand zwischen der Spitze der Bildfigur und dem Streckzentrum. Diese Strecke beträgt 500 Meter. Den Abstand des Bildpunktes teilen wir durch den Abstand des Ursprungspunktes. Wir dividieren also die Länge der neuen Strecke von 500 Metern, durch die der alten Strecke von 1000 Metern. Das ergibt hier einen Streckfaktor von 'm gleich einhalb'. Zur Kontrolle können wir den Streckfaktor noch einmal mit zwei anderen Strecken bestimmen. Zum Beispiel mit C und C'. Die Strecke zwischen C und Z beträgt 900 Meter und die zwischen C' und Z 450 Meter. Wir dividieren die Länge der neuen Strecke durch die der alten Strecke also 450 Meter durch 900 Meter. Und erhalten wieder 'm gleich einhalb'. Dr. Evil bekommt allmählich Angst. Wer weiß, was ihm geschieht, wenn er entdeckt wird. Lieber alles rückgängig machen! Wie war das noch mal mit dem Streckfaktor und wo muss er jetzt stehen? Oh, das sieht falsch aus! Denn nun ist der Eiffelturm zwar viel größer geworden, steht aber auf dem Kopf und wieder ganz woanders! Lasst uns herausfinden, was hier geschehen ist. Wieder suchen wir das Streckzentrum und verbinden zwei Ursprungspunkte mit ihren Bildpunkten. Wir nehmen dafür einfach A und A' sowie C und C'. Wo die Geraden sich schneiden, liegt das Streckzentrum Z. Hier liegt es zwischen den beiden Figuren. Daran können wir erkennen, dass der Streckfaktor in diesem Fall negativ sein muss. Denn nur bei einer zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor liegt jeder Bildpunkt seinem Ursprungspunkt gegenüber. Die Figur hat außerdem, wie bei einer Punktspiegelung, die Orientierung gewechselt: oben und unten sind jetzt vertauscht. Auch das kann nur bei einer zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor geschehen. Zuerst bestimmen wir den Betrag des Streckfaktors. Dazu messen wir den Abstand des Bildpunktes A' zu Z, der beträgt 1500 Meter. Den Abstand des Ursprungspunktes A zum Streckzentrum Z kennen wir noch von zuvor: 500 Meter. Wie zuvor teilen wir die neue Strecke A'Z durch die ursprüngliche Strecke AZ. Das ergibt 3. Das ist jedoch nur der Betrag des Streckfaktors. Eben haben wir ja schon festgestellt, dass m negativ sein muss. Der tatsächliche Streckfaktor ist deswegen minus drei. Während Dr. Evil seine Nerven beruhigt und seine nächsten Schritte plant, fassen wir zusammen. Durch die Umkehrung der zentrischen Streckung kann man den Streckfaktor und das Streckzentrum finden, wenn eine ursprüngliche Figur und ihr zentrisch gestrecktes Bild gegeben sind. Zuerst zeichnet man Geraden durch zwei Ursprungspunkte und ihre jeweiligen Bildpunkte. Am Schnittpunkt beider Verbindungsgeraden liegt das Streckzentrum Z. Zur Bestimmung des Streckfaktors misst man die Abstände eines Bildpunktes und seines Ursprungspunktes zu Z. Der Betrag des Streckfaktors ist dann gleich dem Abstand zum Bildpunkt geteilt durch den Abstand zum Ursprungspunkt. Liegen die Bildfigur und die Ursprungsfigur auf der gleichen Seite, ist m positiv. Liegt das Streckzentrum zwischen den beiden Figuren, ist der Streckfaktor negativ. Die Lage der Bildfigur und der Ursprungsfigur bestimmt also das Vorzeichen von m. Das kann man auch daran erkennen, dass die Bildfigur anders orientiert ist als die Ursprungsfigur. Wie findet man Streckfaktor und Streckzentrum, wenn beide Figuren genau aufeinander liegen? Da alle Längen in der Bildfigur genau so lang sind wie in der Ursprungsfigur, muss der Streckfaktor dann gleich 1 sein. Und das Streckzentrum? Das kann überall liegen. Dr. Evil hat sein Vorhaben endlich aufgegeben und kauft sich dann lieber doch einen Mini-Eiffelturm bei einem Straßenverkäufer. Die haben sich aber schnell neu orientiert.

Umkehrung der zentrischen Streckung – Streckzentrum und Streckfaktor bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Umkehrung der zentrischen Streckung – Streckzentrum und Streckfaktor bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Vorgehen beim Bestimmen des Streckzentrums.

    Tipps

    Das Streckzentrum $Z$, sowie der Ursprungspunkt $A$ und sein Bildpunkt $A'$ müssen auf einer Geraden liegen.

    Das Ziel ist es zu zeigen, dass sich die Geraden durch die Ursprungs- und ihre zugehörigen Bildpunkte im Streckzentrum schneiden.

    Lösung

    Das Streckzentrum $Z$ können wir folgendermaßen bestimmen.

    „Zuerst zeichnen wir eine Gerade durch den Ursprungspunkt $A$ und seinen Bildpunkt $A'$.“

    • Das Streckzentrum $Z$, sowie der Ursprungspunkt $A$ und sein Bildpunkt $A'$ müssen auf einer Geraden liegen.
    „Dann zeichnen wir eine zweite Gerade durch $C$ und $C'$.“

    • Genauso liegen $Z$, $C$ und $C'$ auf einer anderen Geraden.
    „Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt.“

    • Wo sich die beiden Geraden schneiden, liegt das Streckzentrum. Allerdings können beim Zeichnen immer Fehler passieren. Deshalb ist es sicherer noch eine weitere Gerade zu zeichnen, die das Streckzentrum bestätigt.
    „Zur Sicherheit zeichnen wir eine dritte Gerade durch $B$ und $B'$.“

    „Schneiden sich alle drei Geraden in demselben Punkt, können wir sicher sein, dass hier das Streckzentrum liegt.“

  • Beschrifte die Zeichnung.

    Tipps

    Die Bildfigur besteht aus Bildpunkten. Die Bildpunkte werden immer mit einem dem Ursprungspunkt entsprechenden Großbuchstaben und einem Strich bezeichnet.

    Alle Geraden durch Ursprungs- und ihre zugehörigen Bildpunkte schneiden sich im Streckzentrum.

    Lösung

    So wird die Zeichnung beschriftet.

    Die Ursprungsfigur besteht aus den Urspungspunkten, z.B. $A$.

    Die Bildfigur besteht aus den Bildpunkten, z.B. $A'$.

    Im Streckzentrum schneiden sich alle Geraden durch die Bild- und Ursprungspunkte.

  • Berechne den Streckfaktor.

    Tipps

    Liegen Ursprungsfigur und Bildfigur auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums, ist der Streckfaktor negativ.

    Beim Durchführen einer Streckung multiplizierst du den Abstand zwischen Ursprungspunkt und Streckzentrum $\overline{AZ}$ mit dem Streckfaktor $m$, um den Abstand zwischen Bildpunkt und Streckzentrum $\overline{A'Z}$ zu erhalten. Gilt also $m>1$, dann gilt

    $\overline{AZ}<\overline{A'Z}$ .

    Lösung

    Den Streckfaktor kannst du so bestimmen:

    „Da Ursprungs- und Bildfigur auf der gleichen Seite des Streckzentrums liegen, muss der Streckfaktor positiv sein, also:

    $m>0$.

    Da die Bildfigur kleiner als die Ursprungsfigur ist, muss der Streckfaktor kleiner als Eins sein, also gilt:

    $0<m<1$.“

    • Beim Durchführen einer Streckung multiplizierst du den Abstand zwischen Ursprungspunkt und Streckzentrum $\overline{AZ}$ mit dem Streckfaktor $m$, um den Abstand zwischen Bildpunkt und Streckzentrum $\overline{A'Z}$ zu erhalten. Gilt also $m>1$, dann gilt: $\overline{AZ}<\overline{A'Z}$.
    „Den Betrag des Streckfaktors kannst du bestimmen, indem du die Entfernung eines beliebigen Ursprungspunkts und seines Bildpunkts zum Streckzentrum misst. (...)

    Den Streckfaktor $m$ bestimmst du jetzt, indem du die Strecke $\overline{A'Z}$ durch $\overline{AZ}$ teilst.

    $m=\dfrac{\overline{A'Z}}{\overline{AZ}}=\dfrac{00~\text{m}}{1000~\text{m}}=\dfrac{1}{2}$“

    • Beim Durchführen einer Streckung rechnest du $\overline{A'Z}= m \cdot \overline{AZ}$. Da du hier den Streckfaktor $m$ berechnen willst, wurde die Gleichung umgestellt.
  • Leite die richtigen Aussagen ab.

    Tipps

    Nach einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m$ ergibt sich für alle Längen der Bildfigur: $a'= \vert m \vert a$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    „Wird das Quadrat an $X$ mit einem Streckfaktor von $m=-2$ gestreckt, hat die resultierende Bildfigur einen Flächeninhalt von $30~\text{cm}^2$.“

    • Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich durch $A=a^2$. Nach einer zentrischen Streckung ergibt sich für alle Längen der Bildfigur: $a'= \vert m \vert a$. Daraus folgt mit $\vert m \vert =2$ und $a=3~\text{cm} $ für den Flächeninhalt der Bildfigur: $A'=(a')^2=m^2 \cdot a^2=36~\text{cm}^2$.
    „Das Verhältnis der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ beträgt: $\dfrac{ \overline{AC}}{ \overline{AB} }=\sqrt{2}$.

    Streckt man die Figur an $Y$ mit einem Streckfaktor von $m=\sqrt{2}$ beträgt dieses Verhältnis an der Bildfigur: $\dfrac{ \overline{A'C'}}{ \overline{A'B'} }=2$.“

    • Auch hier ist $a'= \vert m \vert a$ hilfreich. Es folgt: $\dfrac{ \overline{A'C'}}{ \overline{A'B'} }=\dfrac{ \sqrt{2} \overline{AC}}{ \sqrt{2} \overline{AB} }=\dfrac{ \overline{AC}}{ \overline{AB} }=\sqrt{2}$.
    Folgende Aussagen sind korrekt:

    „Wird das Quadrat an $Y$ mit einem Streckfaktor von $m=-2$ gestreckt, hat die resultierende Bildfigur einen Flächeninhalt von $36~\text{cm}^2$.“

    „Nach einer Streckung an einem beliebigen Punkt mit Streckfaktor $m=\frac{2}{3}$ beträgt eine beliebige Länge der Bildfigur das $\frac{2}{3}$-fache der entsprechenden Länge an der Ursprungsfigur.“

    „Wird eine Streckung mit $m=\frac{1}{2}$ durchgeführt, wird die Bildfigur immer kleiner als die Ursprungsfigur, unabhängig davon ob an $X$ oder $Y$ gestreckt wird.“

    • Hier ist nur wichtig, dass gilt $0<m<1$. Das bedeutet, dass die Bildfigur kleiner als die Ursprungsfigur ist.
    „Nach einer Streckung mit $m=-\frac{1}{2}$ an $X$, ebenso wie nach einer Streckung mit $m=-\frac{3}{2}$ an $Y$ liegt das Streckzentrum zwischen Ursprungs- und Bildfigur.“

    • Ist der Streckfaktor negativ, also $m<0$, dann liegt das Streckzentrum immer zwischen Ursprungs- und Bildfigur.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu dieser Streckung.

    Tipps

    Den Betrag des Streckfaktors kannst du bestimmen, indem du die Entfernung eines beliebigen Bildpunkts zum Streckzentrum durch die Entfernung seines Ursprungspunkts zum Streckzentrum teilst. Zum Beispiel:

    $\vert m \vert =\dfrac{\overline{A'Z}}{\overline{AZ}}$.

    Alle Geraden durch die Ursprungs- und ihre zugehörigen Bildpunkte schneiden sich in demselben Punkt.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Das Streckzentrum liegt bei $X$. Daraus folgt, dass der Streckfaktor positiv sein muss.“

    • Zeichnest du Geraden durch die Ursprungs- und die zugehörigen Bildpunkte, treffen sich diese im Punkt $Y$. Also liegt hier das Streckzentrum.
    „Der Streckfaktor beträgt: $~m=-\frac{2}{3}$.“

    „Der Streckfaktor beträgt: $~m=\frac{2}{3}$.“

    • Der Betrag des Streckfaktors berechnet sich durch $\vert m \vert =\dfrac{\overline{A'Z}}{\overline{AZ}}=\dfrac{3}{2}$. Das Minuszeichen ist korrekt, da das Streckzentrum zwischen den Figuren liegt.
    „Verbindet man $A$ und $A'$ durch eine Gerade, verläuft diese durch den Punkt $X$. Daraus folgt, dass hier das Streckzentrum liegt.“

    • Auch wenn die Gerade durch $A$ und $A'$ durch den Punkt $X$ geht, folgt daraus nicht, dass hier das Streckzentrum liegt. Dafür müssen alle Geraden durch die Ursprungs- und ihre zugehörigen Bildpunkte sich im selben Punkt schneiden.
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Weil das Streckzentrum zwischen den Figuren liegt, hat die Bildfigur wie bei einer Punktspiegelung die Orientierung gewechselt.“

    „Ist der Streckfaktor negativ, muss das Streckzentrum zwischen den beiden Figuren liegen.“

    „Der Streckfaktor beträgt: $~m=-\frac{3}{2}$.“

  • Ermittle die Streckfaktoren.

    Tipps

    Stehen Ursprungs- und Bildfigur auf einer Seite des Streckzentrums, dann haben beide Figuren die gleiche Ausrichtung und der Streckfaktor ist positiv.

    Für $\overline{A'Z}=5~\text{m}$ und $\overline{AZ}=7~\text{m}$ erhältst du folgenden Betrag für den Streckfaktor:

    $\vert m \vert =\dfrac{5}{7}$.

    Lösung

    Die Streckfaktoren kannst du mit den folgenden Regeln bestimmen:

    Stehen Ursprungs- und Bildfigur auf einer Seite des Streckzentrums, dann haben beide Figuren die gleiche Ausrichtung und der Streckfaktor ist positiv.

    Liegt jedoch das Streckzentrum zwischen Ursprungs- und Bildfigur, dann haben die Figuren eine umgekehrte Ausrichtung und der Streckfaktor ist negativ.

    Den Betrag des Streckfaktors kannst du bestimmen, indem du die Entfernung eines beliebigen Bildpunkts zum Streckzentrum durch die Entfernung seines Ursprungspunkts zum Streckzentrum teilst. Zum Beispiel:

    $\vert m \vert =\dfrac{\overline{A'Z}}{\overline{AZ}}$.

    Damit ergibt sich:

    • Liegt das Streckzentrum zwischen den Punkten $B$ und $B'$ und ist $\overline{A'Z}=6~\text{m}$ und $\overline{AZ}=8~\text{m}$, ergibt sich ein Streckfaktor von $m=-\frac{3}{4}$.
    • Steht die Bildfigur auf dem Kopf und sind folgende Längen gegeben: $\overline{B'Z}=2~\text{m}$ und $\overline{BZ}=5~\text{m}$, dann ergibt sich $m=-\frac{2}{5}$.
    • Haben Ursprungs- und Bildfigur die gleiche Orientierung und gilt: $\overline{CZ}=2~\text{m}$ und $\overline{C'Z}=5~\text{m}$, dann folgt $m=\frac{5}{2}$.
    • Liegen Ursprungs- und Bildfigur links vom Streckzentrum und ist: $\overline{AZ}=4~\text{m}$ und $\overline{A'Z}=3~\text{m}$, dann erhältst du $m=\frac{3}{4}$.