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Punktspiegelung

Erfahre, wie man eine Figur an einem Punkt spiegelt und warum sie dann punktsymmetrisch wird. Was ist ein Spiegelzentrum und wie erkennt man eine Punktspiegelung? Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Beispielen und Übungsaufgaben. Interesse geweckt? Entdecke hier noch mehr zur Punktspiegelung!

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Was ist eine Punktspiegelung?

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Die Autor*innen
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Team Digital
Punktspiegelung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Punktspiegelung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punktspiegelung kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Bei der Konstruktion von Spiegelbildern wird jeder Eckpunkt einzeln gespiegelt. Die Bildpunkte werden dann genau wie die Ursprungsfigur verbunden.

    So sieht eine punktgespiegelte Figur aus.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    Die folgenden drei Aussagen beschreiben Eigenschaften oder das übliche Verfahren beim Durchführen von Punktspiegelungen.

    • Bei einer Punktspiegelung dreht man eine Figur um $180^{\circ}$ um das Spiegelzentrum.
    • Ein durch Spiegelung gefundener Punkt heißt Bildpunkt.
    • Einen Bildpunkt bezeichnet man üblicherweise mit dem Buchstaben des Ursprungspunkts und fügt einen Strich an. Aus $A$ wird demnach $A'$.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Bei der Konstruktion einer Punktspiegelung spiegelt man die komplette Figur auf einmal.
    Bei der Konstruktion einer Punktspiegelung wird jeder Eckpunkt einer Figur einzeln gespiegelt. Die Bildpunkte werden dann entsprechend der Ursprungsfigur miteinander verbunden.

    • Das Spiegelzentrum ist immer ein Punkt der ursprünglichen Figur.
    Man kann eine Figur an einem beliebigen Punkt spiegeln. Dieser Punkt kann, muss aber nicht Teil der ursprünglichen Figur sein.

  • Tipps

    Um eine Figur zu spiegeln, müssen zunächst alle Eckpunkte der Figur einzeln gespiegelt werden.

    Zum Schluss werden die gespiegelten Eckpunkte verbunden.

    Lösung

    Um eine Figur zu spiegeln, müssen zunächst alle Eckpunkte der Figur einzeln gespiegelt werden. Die Punktspiegelung einzelner Punkte funktioniert so:

    • Zuerst zeichnest du einen Hilfskreis um das Spiegelzentrum $P$, der durch den ersten Ursprungspunkt $A$ geht.
    • Dann zeichnest du eine Hilfsgerade durch das Spiegelzentrum $P$ und den ersten Punkt $A$.
    • Der Schnittpunkt von Gerade und Kreis ist der Bildpunkt $A'$.
    Da die komplette Figur gespiegelt werden soll, muss das Verfahren für die anderen Punkte wiederholt werden. Dann kann man alle Bildpunkte entsprechend der ursprünglichen Figur verbinden:

    • Bei der Punktspiegelung aller anderen Eckpunkte der Ursprungsfigur gehst du auch so vor.
    • Schließlich verbindest du alle Bildpunkte entsprechend der Ursprungsfigur und erhältst die Bildfigur.
  • Tipps

    Die fertige Punktspiegelung sieht so aus.

    Der Hilfskreis wird um das Spiegelzentrum gezeichnet.

    Lösung

    Die Konstruktion funktioniert folgendermaßen:

    • Um den ersten Punkt $A(3\vert2)$ zu spiegeln, sticht sie ihren Zirkel in den Koordinatenursprung ein. Dann zeichnet sie einen Hilfskreis durch den Punkt $A$.
    • Im Anschluss legt sie ihr Lineal an den Koordinatenursprung und den Punkt $A$ an. Durch diese beiden Punkte zeichnet sie eine Hilfsgerade, die den Hilfskreis schneidet.
    • Der Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit dem Hilfskreis ist der Bildpunkt $A'$ und liegt bei $(-3\vert-2)$.
    • Die anderen Bildpunkte konstruiert Marie auch so. Damit erhält sie im Koordinatensystem die Punkte $B'(-2\vert-5)$ und $C'(-7\vert-4)$.
    • Im Anschluss verbindet sie alle Bildpunkte entsprechend der Ursprungsfigur miteinander und erhält so die Bildfigur.
  • Tipps

    Mit einem Hilfskreis und einer Geraden kannst du die Punkte einzeln spiegeln. Hast du alle gespiegelt, kannst du sie zu einer geometrischen Figur verbinden.

    Die richtigen Spiegelzentren kannst du herausfinden, indem du die Bilder nacheinander an den verschiedenen möglichen Spiegelzentren spiegelst. Dann überprüfst du, ob deine Bildfigur mit der gegebenen Bildfigur übereinstimmt.

    Lösung

    Die richtigen Spiegelzentren kannst du herausfinden, indem du die Bilder nacheinander an den verschiedenen möglichen Spiegelzentren spiegelst. Dann überprüfst du, ob deine Bildfigur mit der gegebenen Bildfigur übereinstimmt. Die Konstruktion funktioniert folgendermaßen:

    • Um den ersten Punkt $A$ zu spiegeln, stichst du den Zirkel in das Spiegelzentrum ein. Dann zeichnest du einen Hilfskreis durch den Eckpunkt $A$.
    • Im Anschluss legst du dein Lineal an das Spiegelzentrum und den Punkt $A$ an. Durch diese beiden Punkte zeichnest du eine Hilfsgerade, die den Hilfskreis schneidet.
    • Der Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit dem Hilfskreis ist der Bildpunkt $A'$.
    • Die anderen Bildpunkte konstruierst du auch so und verbindest sie im Anschluss entsprechend der Ursprungsfigur zu der Bildfigur.
    Damit ergeben sich die folgenden Spiegelzentren:

    • 1. Bild: $P$
    • 2. Bild: $R$
    • 3. Bild: $Q$
    • 4. Bild: $S$
  • Tipps

    Bildpunkte werden mit dem Buchstaben des Ursprungspunkts und einem Strich gekennzeichnet. Aus $A$ wird demnach $A'$.

    Die Bildpunkte kannst du entsprechend der Ursprungsfigur zur Bildfigur verbinden.

    Lösung

    Die Zuordnung kann folgendermaßen vorgenommen werden:

    • Ein Punkt der ursprünglichen Figur wird Ursprungspunkt genannt. Also ist $B$ ein Ursprungspunkt.
    • Die komplette ursprüngliche Figur wird Ursprungsfigur genannt.
    • Ein Punkt der gespiegelten Figur wird Bildpunkt genannt. Also ist $B'$ ein Bildpunkt.
    • Die komplette gespiegelte Figur wird Bildfigur genannt.
    • Der Punkt, an dem die Figur gespiegelt wird, heißt Spiegelzentrum.
    • Der Kreis, der für die Konstruktion nötig ist, heißt Hilfskreis.
    • Die Gerade, die für die Konstruktion nötig ist, heißt Hilfsgerade.
  • Tipps

    Alle Punkte auf dem Kreisrand haben den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt. Hier wurde ein Kreis um das Spiegelzentrum gezeichnet.

    Eine Gerade spannt genau einen Winkel von $180^{\circ}$ auf.

    Lösung

    Diese Aussagen sind richtig:

    • Da bei einer Punktspiegelung der Ursprungspunkt um $180^{\circ}$ um das Spiegelzentrum gedreht wird, müssen der Ursprungspunkt und der zugehörige Bildpunkt auf einer Geraden durch das Spiegelzentrum liegen.
    Eine Gerade spannt genau einen Winkel von $180^{\circ}$ auf. Deshalb müssen alle diese Punkte auf einer Geraden liegen.

    • Der Bildpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Hilfsgerade und Hilfskreis, da hier zwei Bedingungen erfüllt sind: Ursprungs- und Bildpunkt müssen den gleichen Abstand zum Spiegelzentrum haben. Spiegelzentrum, Ursprungspunkt und zugehöriger Bildpunkt müssen auf einer Geraden liegen.
    • Jeder Ursprungspunkt ist exakt so weit vom Spiegelzentrum entfernt wie sein Bildpunkt. Deshalb müssen Ursprungspunkt und zugehöriger Bildpunkt auf einem Kreis um das Spiegelzentrum liegen.
    Alle Punkte auf dem Kreisrand haben den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt. Hier wurde ein Kreis um das Spiegelzentrum gezeichnet, also müssen Ursprungspunkt und zugehöriger Bildpunkt auf diesem Kreis liegen.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Jeder Ursprungspunkt ist genauso weit vom Spiegelzentrum entfernt wie sein Bildpunkt. Deshalb müssen Ursprungs- und Bildpunkt auf einer Gerade liegen.
    Es stimmt, dass jeder Punkt ebenso weit vom Spiegelzentrum entfernt ist, wie sein Bildpunkt. Allerdings ist das nicht der Grund dafür, dass sie auf einer Gerade liegen.

    • Der Abstand zwischen Ursprungspunkt und Spiegelzentrum sowie zwischen zugehörigem Bildpunkt und Spiegelzentrum kann auch verschieden sein.
    Die beiden Abstände müssen gleich sein.

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