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Achsenspiegelung im Koordinatensystem 06:24 min

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Transkript Achsenspiegelung im Koordinatensystem

Bernadette ist Kunstliebhaberin und -fälscherin. Ihre Spezialität ist das Kopieren berühmter Gemälde. Dazu verwendet sie eine neue Apparatur, in der eine Achsenspiegelung im Koordinatensystem durchgeführt wird. Um zu verstehen, wie das funktioniert, legen wir ein Bild SO in ein Koordinatensystem. Die 4 Eckpunkte sind: A bei (5|4), B bei (8|1), C bei (12|5) und D bei (9|8). Die Spiegelachse soll die x-Achse sein. Wir legen also ein Geodreieck SO an der x-Achse an und positionieren es am Punkt A. Der Abstand zwischen A und der x-Achse beträgt 4cm. Indem wir denselben Abstand auf der ANDEREN Seite der x-Achse abtragen, erhalten wir den gespiegelten Punkt 'A Strich'. Mit dem Punkt B verfahren wir genauso und erhalten 'B Strich'. Aus Punkt C ergibt sich 'C Strich'. Und aus Punkt D 'D Strich'. Damit haben wir das Rechteck an der x-Achse gespiegelt und das BILD aus den Punkten 'A Strich', 'B Strich', 'C Strich' und 'D Strich' erhalten. Ihre Koordinaten können wir einfach ablesen. 'A Strich' liegt bei (5| 'minus 4') 'B Strich' bei (8| 'minus 1') 'C Strich' bei (12| 'minus 5') und 'D Strich' bei (9| 'minus 8'). Wenn wir sie mit den ursprünglichen Koordinaten vergleichen, sehen wir, dass die BETRÄGE der Koordinaten GLEICH sind. Die y-Koordinaten der Bildpunkte haben aber NEGATIVE Vorzeichen. Spiegeln wir eine Figur also an der x-Achse, können wir die x-Koordinaten der Ursprungspunkte für die x-Koordinaten der Bildpunkte übernehmen. Für die y-Koordinaten der Bildpunkte übernehmen wir die y-Koordinaten der Ursprungspunkte MIT UMGEKEHRTEM Vorzeichen. Das gilt IMMER! Auch, wenn einige Ursprungspunkte unterhalb der x-Achse liegen, werden die x-Koordinaten unverändert übernommen. Die y-Koordinaten werden mit umgekehrtem Vorzeichen übertragen. Und selbst wenn die ganze Ursprungsfigur unterhalb der x-Achse liegt, gilt das. Beim Spiegeln an der x-Achse müssen wir die y-Koordinaten anpassen. Also können wir davon ausgehen, dass wir beim Spiegeln an der y-Achse die x-Koordinaten genauso anpassen müssen. Versuchen wir das mal. Die an der y-Achse gespiegelten Bildpunkte müssten also bei ('minus 5'|4) bei ('minus 8'|1) bei ('minus 12'|5) bei ('minus 9'|8) liegen. Um zu überprüfen, ob es sich dabei um die gespiegelten Punkte handelt, messen wir die jeweiligen Abstände zur y-Achse aus. Die müssen genauso groß sein, wie die Abstände der Ursprungspunkte. Wir benutzen dafür das Geodreieck. Für die Punkte 'A' und 'A zwei Strich' stimmt das. Ebenso für 'B' und 'B zwei Strich' für 'C' und 'C zwei Strich und für 'D' 'D zwei Strich'. Also haben wir tatsächlich die gespiegelte Figur erhalten. Und während Bernadette die ersten Fälschungen anfertigt, fassen wir zusammen: Um eine Figur an einer Achse zu spiegeln kannst du ein Geodreieck verwenden. Du positionierst es SO am zu spiegelnden Punkt. Der Abstand zwischen dem Ursprungspunkt und der Spiegelachse wird ausgemessen. Dann misst du auf der ANDEREN Seite der Spiegelachse DENSELBEN Abstand ab. Dort befindet sich der Bildpunkt. So verfährst du mit allen anderen Punkten der Ursprungsfigur. Zum Schluss werden die Punkte der Bildfigur dem Original entsprechend verbunden. Liegt deine Ursprungsfigur in einem Koordinatensystem und sollst du sie an einer der Koordinatenachsen spiegeln geht das sehr viel leichter. Die y-Koordinate eines Punktes gibt gerade seinen Abstand von der x-Achse an. Deshalb hat der an der x-Achse gespiegelte Bildpunkt die GLEICHEN Koordinaten wie der Ursprungspunkt, nur dass die y-Koordinate ein umgekehrtes Vorzeichen hat. Wird der Ursprungspunkt dagegen an der y-Achse gespiegelt, wechselt das Vorzeichen der x-Koordinate. Und Bernadette? Ist sie zufrieden mit der Kopie? Mhhh. Irgendwie sehen die Bilder unterschiedlich aus. Dann hoffen wir mal, dass es dem Käufer nicht auffällt.

Achsenspiegelung im Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Achsenspiegelung im Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne Merkmale der Achsenspiegelung.

    Tipps

    Die $x$-Koordinate gibt immer den Abstand zur $y$-Achse an. Die $y$-Koordinate gibt immer den Abstand zur $x$-Achse an.

    Das Dreieck $\text{ABC}$ (grün) wurde hier an der $x$-Achse gespiegelt.

    Die Bildpunkte des gespiegelten Dreiecks $A$, $B$, $C$ werden mit den Buchstaben $A'$, $B'$ und $C'$ gekennzeichnet.

    Lösung

    Die Achsenspiegelung weist folgende Merkmale auf:

    1. Die Gerade, an der Figuren gespiegelt werden, nennt man Spiegelachse.
    2. Der gespiegelte Punkt heißt Bildpunkt und wird üblicherweise mit demselben Buchstaben wie der Ursprungspunkt beschriftet, nur zusätzlich mit einem Apostroph versehen. Aus $A$ wird also $A'$.
    3. Der Bildpunkt hat stets den gleichen Abstand von der Spiegelachse wie der Ursprungspunkt.
    4. Beim Spiegeln an der $x$-Achse haben die Bildpunkte die Beträge der Koordinaten des Ursprungspunktes übernommen, nur wird das Vorzeichen der $y$-Koordinate gewechselt. Umgekehrt gilt: Beim Spiegeln an der $y$-Achse wechselt die $x$-Koordinate das Vorzeichen, die Beträge der Koordinaten vom Ursprungspunkt werden aber ebenfalls übernommen.
    $\rightarrow$ Der Abstand zur Spiegelachse wird also bei der Spiegelung an der $x$-Achse von der $y$-Koordinate und bei der Spiegelung an der $y$-Achse von der $x$-Koordinate beschrieben.

  • Beschreibe die Vorgehensweise bei einer Achsenspiegelung.

    Tipps

    Bei der Spiegelung einer Figur geht man punktweise vor, d. h. jeder Eckpunkt wird zuerst einzeln gespiegelt.

    Der Bildpunkt hat stets den gleichen Abstand von der Spiegelachse wie der Ursprungspunkt.

    Die Bildpunkte werden zum Schluss zu einer Bildfigur verbunden.

    Lösung

    Achsenspiegelung mit dem Geodreieck

    Zusammenfassung der Vorgehensweise:

    1. Das Geodreieck positioniert man mittig auf der Spiegelachse.
    2. Danach misst man den Abstand zwischen einem gewählten Eckpunkt der Ursprungsfigur und der Spiegelachse und trägt diesen auf der gegenüberliegenden Seite ab. Den gespiegelten Bildpunkt beschriftet man, indem man den Großbuchstaben des Ursprungspunktes mit einem Apostroph ergänzt. Aus $B$ an der Ursprungsfigur wird demnach $B'$ an der Bildfigur.
    3. Alle weiteren Eckpunkte der Ursprungsfigur werden analog gespiegelt.
    4. Abschließend verbindet man die gespiegelten Bildpunkte zu einer Bildfigur.
  • Bestimme die Bildpunkte der zu spiegelnden Figuren.

    Tipps

    Liegt ein zu spiegelnder Punkt auf der Spiegelachse, so sind Ursprungspunkt und Bildpunkt identisch.

    Wird ein Punkt an der $y$-Achse gespiegelt, so haben die Bildpunkte dieselben Beträge der Koordinaten des Ursprungspunktes und das Vorzeichen der $x$-Koordinate wechselt.

    Das Dreieck $\text{ABC}$ wurde hier an der $y$-Achse gespiegelt.

    Lösung

    Bei einer Spiegelung an der $x$- oder $y$-Achse werden die Beträge des Ursprungspunktes immer übernommen. Zusätzlich wird eine Koordinate in Abhängigkeit von der jeweiligen Spiegelachse angepasst.

    Einfach erklärt:

    • beim Spiegeln an der $x$-Achse wird die $y$-Koordinate angepasst
    • beim Spiegeln an der $y$-Achse wird die $x$-Koordinate angepasst
    Dies geschieht, indem wir das Vorzeichen der jeweiligen Koordinate wechseln. Die Beträge der Koordinaten stimmen jedoch immer mit denen des Ursprungspunktes überein.

    Zudem gilt immer: Liegt ein zu spiegelnder Punkt auf der Spiegelachse, so sind Ursprungspunkt und Bildpunkt identisch.

    Die Bildpunkte zu den jeweiligen Spiegelungen:

    1. Ursprungsfigur:
    $A(1|0) \quad B(3|0) \quad C(2|3)$ $\quad \quad \quad \ \ $ Bildfigur: $A'(1|0) \quad B'(3|0) \quad C'(2|{-}3)$

    1. Ursprungsfigur:
    $A(1|0) \quad B(3|2) \quad C(2|3)$ $\quad \quad \quad \ \ $ Bildfigur: $A'({-}1|0) \quad B'({-}3|2) \quad C'({-}2|3)$

    1. Ursprungsfigur:
    $A(1|{-}2) \quad B(3|{-}2) \quad C(1|2)$ $\quad \quad$ Bildfigur: $A'(1|2) \quad B'(3|2) \quad C'(1|{-}2)$

    1. Ursprungsfigur:
    $A(2|0) \quad B(3|2) \quad C(0|2)$ $\quad \quad \quad \ \ $ Bildfigur: $A'({-}2|0) \quad B'({-}3|2) \quad C'(0|2)$

  • Ermittle die Koordinaten der Ursprungspunkte und deren Bildpunkte zu den jeweiligen Spiegelungen.

    Tipps

    Ursprungspunkt und Bildpunkt müssen stets denselben Abstand zur Spiegelachse haben.

    Wenn wir z. B. den Punkt $P(4|7)$ an der $x$-Achse spiegeln, erhalten wir den Bildpunkt $P'(4|-7)$.

    Lösung

    • Wenn man die Figur $ABCD$ mit
    $\quad$ $A(-6|0)$, $B(-7|-3)$, $C(-3|-9)$ und $D(1|-4)$

    an der $x$-Achse spiegelt, erhält man die Bildfigur $A'B'C'D'$ mit den folgenden Koordinaten:

    $\quad$ $A'(-6|0) \quad B'(-7|3) \quad C'(-3|9) \quad D'(1|4)$

    $\rightarrow$ Die Koordinaten der Bildpunkte haben dieselben Beträge wie die des Ursprungspunktes, jedoch hat sich das Vorzeichen der $y$-Koordinate geändert. Die $y$-Koordinate gibt also hier den Abstand zur Spiegelachse an.

    • Wenn man die Figur $ABCD$ jedoch an der $y$-Achse spiegelt, so erhält man die Figur $A''B''C''D''$ mit den folgenden Koordinaten:
    $\quad$ $A''(6|0) \quad B''(7|-3) \quad C''(3|-9) \quad D''(-1|-4)$

    $\rightarrow$ Die Koordinaten der Bildpunkte haben dieselben Beträge wie die des Ursprungspunktes, jedoch hat sich das Vorzeichen der $x$-Koordinate geändert. Die $x$-Koordinate gibt also hier den Abstand zur Spiegelachse an.

  • Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des Vierecks.

    Tipps

    Die erste Koordinate eines Punktes beschreibt den $x$-Wert.

    Die zweite Koordinate eines Punktes beschreibt den $y$-Wert.

    Der Punkt P hat folgende Koordinaten: $P(4|2)$.

    Lösung

    Punkte im Koordinatensystem sind durch ihre Koordinaten eindeutig bestimmt und werden durch ein Zahlenpaar wie folgt angegeben: $P(x|y)$. Dieses Zahlenpaar gibt jeweils den Abstand zur $x$- bzw. $y$-Achse an.

    Beispiel:

    Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(2|3)$.

    Um den Punkt zu finden, messen wir vom Ursprung aus 2 Einheiten auf der $x$-Achse und dann 3 Einheiten auf der $y$-Achse ab.

    Allgemein gilt:

    • bei einem positiven $x$-Wert gehen wir nach rechts und bei einem negativen $x$-Wert nach links
    • bei einem positiven $y$-Wert gehen wir nach oben und bei einem negativen $y$-Wert nach unten
    Das Ablesen von Punkten erfolgt auf die umgekehrte Weise.

  • Untersuche, welche Koordinaten die Spiegelfigur des Vierecks $\text{ABCD}$ besitzt.

    Tipps

    Liegt ein zu spiegelnder Punkt auf der Spiegelachse, so sind Ursprungspunkt und Bildpunkt identisch.

    Der Ursprungspunkt und der zugehörige Bildpunkt liegen auf einer Lotgeraden auf die Spiegelachse.

    Lösung

    Wenn man die Figur $\text{ABCD}$ mit $A(2|3)$, $B(4|2)$, $C(7|3)$ und $D(7|7)$ an der orangefarbenen Spiegelachse spiegelt, erhält man die Bildfigur $A'B'C'D'$ mit folgenden Koordinaten:

    $A'(3|2) \quad B'(2|4) \quad C'(3|7) \quad D'(7|7)$

    Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Punkte zu bestimmen:

    • Geodreieck: Mit dem Geodreieck haben wir die Möglichkeit, die Abstände direkt zu messen und auf der anderen Seite der Spiegelachse abzutragen.
    • Orientierung im Koordinatensystem: Da die Spiegelachse in diesem Fall nicht die $x$- bzw. $y$-Achse ist, können wir nicht wie gewohnt die entsprechende Koordinate anpassen. Diese Spiegelachse hier hat jedoch eine Besonderheit: Durch ihre Lage im Koordinatensystem ist die $x$-Achse eine Spiegelung der $y$-Achse. Das bedeutet, dass die Punkte auf der $x$-Achse die Bildpunkte der Punkte auf der $y$-Achse sind.
    $\rightarrow$ Aus $P_1(0|1)$ wird $P_1'(1|0)$, aus $P_2(0|2)$ wird $P_2'(2|0)$, aus $P_3(0|3)$ wird $P_3'(3|0)$ etc.

    $\rightarrow$ Die Koordinaten der Bildpunkte ergeben sich aus den vertauschten Koordinaten der Ursprungspunkte. Und das gilt hier auch für alle anderen Punkte, die nicht auf der $x$- oder $y$-Achse liegen.

    Bemerkung: Spiegelachsen, bei denen aus ganzzahligen Ursprungspunkten wieder ganzzahlige Bildpunkte entstehen, sind Spezialfälle. Es gibt natürlich auch Spiegelachsen, bei denen ganzzahlige Koordinaten der Ursprungspunkte zu nicht-ganzzahligen Koordinaten der Bildpunkte werden.