Symmetrieachsen finden
Krista sucht auf der Nordpol-Forschungsstation nach Eiskristallen, die keine Symmetrieachse haben. Erfahre, wie man Symmetrieachsen identifiziert und anhand von Beispielen feststellt, ob eine Figur achsensymmetrisch ist. Interessiert? Dies und vieles mehr erwarten dich im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Symmetrieachsen finden
Symmetrieachsen in Mathe
Auf der Forschungsstation am Nordpol ist Krista Snöflak mit einem speziellen Projekt beschäftigt. Um endlich eine Auszeichnung für ihre Forschungsarbeit zu bekommen, ist sie auf der Suche nach besonderen Eiskristallen, die nicht achsensymmetrisch sind. Dazu muss sie wissen, wie man Symmetrieachsen finden kann. Das wollen wir uns gemeinsam anschauen.
Wie finde ich Symmetrieachsen?
Bevor wir Symmetrieachsen suchen können, müssen wir uns daran erinnern, was eine Symmetrieachse überhaupt ist. Jede achsensymmetrische Figur hat mindestens eine Symmetrieachse. An dieser Achse kann die Figur durch Spiegelung auf sich selbst abgebildet werden. Das kannst du dir so vorstellen:
Wenn du eine achsensymmetrische Figur auf ein Blatt Papier zeichnest und es entlang der Symmetrieachse der Figur faltest, liegen die beiden Hälften der Figur deckungsgleich übereinander. Das wollen wir uns anhand einiger einfacher Beispiele noch einmal genauer anschauen.
Symmetrieachse – Beispiele
Wir betrachten zunächst das Drachenviereck:
Die lange Diagonale, die vertikal verläuft, ist eine Symmetrieachse des Drachenvierecks. Wenn wir es an dieser Kante falten, liegen beide Seiten genau übereinander. Das Drachenviereck ist also eine achsensymmetrische Figur. Es hat aber nur eine Symmetrieachse. Die horizontale Diagonale ist nämlich keine Symmetrieachse! Wenn du das Viereck an dieser Linie faltest, liegen die beiden Hälften nicht deckungsgleich übereinander.
Auch diese beiden Figuren sind achsensymmetrisch:
Das Rechteck hat zwei Symmetrieachsen, und zwar die Mittelsenkrechten der Seiten. Das sind die Geraden, die jeweils durch die Mittelpunkte von zwei gegenüberliegenden Seiten verlaufen. Der Kreis hat sogar unendlich viele Symmetrieachsen – nämlich alle Geraden, die durch seinen Mittelpunkt verlaufen.
Mit dieser kurzen Wiederholung können wir uns kompliziertere Figuren anschauen.
Symmetrieachsen finden – Beispiele
Beispiel 1
Wenn wir herausfinden wollen, ob eine Figur achsensymmetrisch ist, untersuchen wir zunächst ihre Grundform. Betrachten wir beispielsweise diese Figur:
Das ist die japanische Nationalflagge. Die Grundform dieser Flagge ist ein Rechteck. Wir wissen also schon, dass die Grundform zwei Symmetrieachsen hat – und zwar die Mittelsenkrechten des Rechtecks. Nun müssen wir allerdings berücksichtigen, dass sich innerhalb des Rechtecks noch eine Figur befindet, und zwar ein Kreis. Die Flagge ist nur dann achsensymmetrisch, wenn die Symmetrieachsen des Rechtecks zugleich Symmetrieachsen des darin liegenden Kreises sind. Da der Kreis genau in der Mitte des Rechtecks liegt, laufen die Mittelsenkrechten des Rechtecks genau durch den Mittelpunkt des Kreises. Wir wissen schon, dass alle Geraden, die durch den Kreismittelpunkt laufen, Symmetrieachsen sind. Also hat die japanische Nationalflagge zwei Symmetrieachsen. Sie ist also achsensymmetrisch.
Beispiel 2
Schauen wir uns diese Figur an. Du hast so eine Spielkarte bestimmt schon einmal gesehen:
Zunächst betrachten wir wieder die Grundform. Auch dieses Mal handelt es sich dabei um ein Rechteck. Die Grundform hat also die beiden Mittelsenkrechten als Symmetrieachsen. Aber sind das auch Symmetrieachsen der gesamten Figur?
Betrachten wir zunächst die vertikale, also längere, Symmetrieachse des Rechtecks. Sie verläuft genau mittig durch die beiden aufgezeichneten Gesichter. Auf einer Seite ist jeweils der Hinterkopf, auf der anderen Seite das Gesicht. Diese beiden Hälften sind natürlich nicht deckungsgleich, wenn wir sie übereinanderlegen. Diese Achse ist also keine Symmetrieachse der Spielkarte.
Wie sieht es mit der horizontalen Mittelsenkrechten aus? Auf den ersten Blick sieht es so aus, als könnte die Karte an dieser Achse gespiegelt werden. Wenn wir aber genauer hinsehen, stellen wir fest, dass die Hälften dann nicht deckungsgleich sind. Das Gesicht schaut einmal nach links, einmal nach rechts. Die Spielkarte ist also nicht achsensymmetrisch.
Symmetrieachsen erkennen – Zusammenfassung
Um eine Symmetrieachse zu finden, kannst du dir zunächst die Grundform einer Figur anschauen. Handelt es sich um eine achsensymmetrische Figur, kannst du die Symmetrieachsen der Grundform einzeichnen. Dann musst du dir genau anschauen, ob sich auch die gesamte Figur an dieser Achse deckungsgleich spiegeln lässt.
Transkript Symmetrieachsen finden
Auf der Forschungsstation am Nordpol ist Krista Snöflak mit einem ganz besonderen Projekt beschäfigt. Um endlich eine Auszeichnung für ihre Forschungsarbeit zu bekommen, ist sie auf der Suche nach ganz besonderen Eiskristallen, die nicht achsensymmetrisch sind. Dazu untersucht sie jeden Eiskristall unter dem Mikroskop. Um zu entscheiden, ob ein Eiskristall achsensymmetrisch ist, helfen wir Krista beim Finden von Symmetrieachsen. Schauen wir uns dazu noch einmal an, was Achsensymmetrie überhaupt bedeutet. Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie durch Spiegelung an der Symmetrieachse auf sich selbst abbildbar ist. Das bedeutet: Klappen wir die Figur entlang der Symmetrieachse zu sind die beiden Seiten deckungsgleich. Die Symmetrieachse ist dabei die gedachte Linie, die diese Figur in zwei spiegelbildlich gleiche Figuren teilt. Wie wir sehen, kann eine Figur auch mehrere Symmetrieachsen besitzen. Doch nicht immer ist es ganz leicht, die Symmetrieachse einer Figur zu finden. Um Krista bei der Suche zur unterstützen, schauen wir uns zunächst die Symmetrieeigenschaften einiger geometrischer Grundformen an. Diese Figur ist ein Drachenviereck. Gibt es hier eine Symmetrieachse? Ja und zwar verläuft die Symmetrieachse des Drachenvierecks hier. Stell dir vor, du bastelst dieses Drachenviereck aus Papier. Klappst du es entlang der Symmetrieachse zusammen, liegt die eine Seite exakt über der anderen. Gibt es noch eine weitere Symmetrieachse hier vielleicht? Nein, denn dann wären beide Seiten nicht mehr deckungsgleich. Wie sieht es bei der Raute – auch Rhombus genannt – aus? Ähnlich wie beim Drachenviereck verläuft hier die Symmetrieachse. Doch die Raute hat noch eine weitere Symmetrieachse, nämlich hier. Die Symmtrieachsen verlaufen also durch die Diagonalen der Raute. Gilt das auch für das Rechteck? Nein. Hier würde das Zusammenklappen an den Diagonalen nicht zu einer Deckungsgleichheit führen. Stattdessen verlaufen die Symmetrieachsen hier und hier. Das Quadrat ist eine besondere Form des Rechtecks und der Raute. Es vereinigt die Eigenschaften von Raute und Rechteck und somit auch deren Symmetrieachsen. Und wie sieht es beim Kreis aus? Durch den Kreis verlaufen unendlich viele Symmetrieachsen. Diese müssen allerdings durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufen. Doch nicht nur Figuren in der Geometrie besitzen Symmetrieachsen. Auch in der Umwelt kann man in vielen Formen Symmetrieachsen finden. Dieses Vorfahrtsschild kennen wir aus dem Straßenverkehr. Doch wo verlaufen hier die Symmetrieachsen? Schauen wir genau hin, sehen wir, dass es die Form eines Quadrates besitzt. Wir erinnern uns: Das Quadrat hat vier Symmetrieachsen. Somit hat das Vorfahrtsschild ebenso viele Symmetrieachsen. Auch in der Natur findet man häufig achsensymmetrische Pflanzen. Schauen wir uns diese Blüte einmal genauer an. Können wir diese zusammenklappen, sodass beide Hälften dann deckungsgleich sind? Ja und zwar so. Somit verläuft hier eine Symmetrieachse. Doch schauen wir genauer hin, sehen wir, dass dies auch an vielen weiteren Stellen der Fall ist. Auch in Flaggen sind oftmals Symmetrieachsen zu finden. Hier in der Flagge Japans ist ein Kreis zu sehen. Wir erinnern uns: Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen. Dann müsste diese Flagge doch auch unendlich viele Symmetrieachsen haben, oder? Nein! Denn wie wir hier sehen, ist die Form der Flagge rechteckig. Somit verlaufen die Symmetrieachsen auch nur hier und hier. Bei manchen Gegenständen muss man allerdings genauer hinschauen, ob sie wirklich eine Symmetrieachse besitzen. Diese Spielkarte besitzt die Form eines Rechtecks. Es sieht so aus, als verlaufe hier eine Symmetrieachse. Doch klappen wir die Spielkarte an dieser Achse zusammen, sind beide Hälften nicht mehr deckungsgleich. Die Karte ist also nicht achsensymmetrisch. Jetzt, da Krista Snöflak endlich alles über Symmetrieachsen weiß, fassen wir zusammen: Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie durch Spiegelung an der Symmetrieachse auf sich selbst abgebildet werden kann. Oder anders gesagt: Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sie entlang der Symmetrieachse zusammenklappen kann und die so entstandenen Hälften deckungsgleich sind. Die Symmetrieachse ist dabei eine gedachte Linie, die die Figur in zwei spiegelbildlich gleiche Figuren teilt. Eine Figur kann auch mehrere Symmetrieachsen besitzen. Endlich hat Krista Snöflak einen Eiskristall gefunden der nicht achsensymmetrisch ist. Doch da war sie wohl zu lange in der Kälte.
Symmetrieachsen finden Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Symmetrieachsen.
TippsFaltet man eine achsensymmetrische Figur an der Achse, dann sind die beiden Teile der Figur deckungsgleich.
Die Symmetrieachsen eines Quadrats verlaufen jeweils durch die sich gegenüberliegenden Ecken des Quadrats und durch die Mittelpunkte der sich gegenüberliegenden Seitenlinien.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Eine Figur kann maximal vier Symmetrieachsen besitzen.“
- Eine Figur kann unendlich viele Symmetrieachsen besitzen.
- Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen. Sie verlaufen alle durch den Mittelpunkt des Kreises.
„Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie durch Spiegelung an der Symmetrieachse auf sich selbst abbildbar ist.“
„Eine Symmetrieachse ist eine Linie, die die Figur in zwei spiegelbildlich gleiche Teile teilt.“
- Faltet man eine achsensymmetrische Figur an der Achse, dann sind die beiden Teile der Figur deckungsgleich.
- Diese verlaufen jeweils durch die Ecken des Quadrats und durch die Mittelpunkte der Seitenlinien.
-
Beschreibe die Symmetrieachsen an verschiedenen Figuren.
TippsFaltest du eine Figur entlang seiner Symmetrieachse, dann sind die beiden Figuren deckungsgleich. Das funktioniert nur bei Symmetrieachsen.
Das sind die Symmetrieachsen dieses Eiskristalls.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie durch Spiegelung an der Symmetrieachse auf sich selbst abbildbar ist. Ein Drachenviereck hat genau eine dieser Achsen.“
- Faltest du diese Figur entlang der Achse, dann sind die beiden Figuren deckungsgleich.
Ein Rechteck hat zwei Symmetrieachsen. Sie verlaufen jeweils durch die Mittelpunkte zweier sich gegenüberliegender Seitenlinien.“
- Diese beiden Figuren haben jeweils zwei Symmetrieachsen, die durch unterschiedliche Stellen verlaufen. Nur bei Spiegelung entlang dieser Achsen sind die Teilfiguren deckungsgleich.
Dieser Eiskristall hat sechs Symmetrieachsen.“
- Die Symmetrieachsen dieses Kristalls siehst du oben rechts.
-
Arbeite heraus, welche dieser Symmetrieachsen korrekt eingezeichnet wurden.
TippsEin regelmäßiges Sechseck hat genau sechs Symmetrieachsen, die durch den Mittelpunkt und zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch den Mittelpunkt und zwei gegenüberliegende Mittelpunkte der Seitenlängen verlaufen.
Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen, die alle durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufen.
LösungHier siehst du alle Symmetrieachsen einer Ellipse und eines Sechsecks.
- Das „Vorgeschriebene Vorbeifahrt" Schild (blauer Grund mit weißem Pfeil) hat genau eine Symmetrieachse, die durch den Pfeil verläuft.
- Das „Absolute Halteverbot" Schild hat genau vier Symmetrieachsen, die alle eingezeichnet sind.
- Eine Ellipse hat genau zwei Symmetrieachsen, die senkrecht zueinander stehen. Eine dieser Achsen teilt die Ellipse genau an der längsten Seite und die andere an seiner kürzesten Seite. Damit sind die oben eingezeichneten Symmetrieachsen falsch.
- Ein Sechseck hat genau sechs Symmetrieachsen, die durch den Mittelpunkt und zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder den Mittelpunkt und zwei gegenüberliegende Mittelpunkte einer Seitenlänge verlaufen. Damit sind die Symmetrieachsen im linken Sechseck korrekt, während beim rechten Sechseck eine Achse nicht durch den Mittelpunkt verläuft. Diese Achse ist somit keine Symmetrieachse.
- Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen, die alle durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufen. Hier verläuft eine Achse nicht durch diesen Punkt. Es ist somit keine Symmetrieachse.
-
Bestimme die Anzahl der Symmetrieachsen.
TippsDas Zeichen $\infty$ steht für unendlich.
Zeichne die Figuren ab und versuche alle Symmetrieachsen zu finden.
Die Symmetrieachsen eines gleichseitigen Fünfecks verlaufen durch Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
LösungDu kannst bestimmen, welche Figur wie viele Symmetrieachsen hat, indem du die Figuren zeichnest und anschließend die Symmetrieachsen bestimmst. Dann erhältst du:
- Ein Kreis hat unendlich ($\infty$) viele Symmetrieachsen.
- Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Sie verlaufen durch jeden Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
- Ein gleichseitiges Fünfeck hat fünf Symmetrieachsen. Sie verlaufen durch jeden Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
- Die Schneeflocke hat acht Symmetrieachsen.
-
Gib die Anzahl der Symmetrieachsen an.
TippsDu kannst die Figuren in die richtige Reihenfolge bringen, indem du die Figuren zeichnest und anschließend die Anzahl der Symmetrieachsen bestimmst.
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie durch Spiegelung an der Symmetrieachse auf sich selbst abbildbar ist. Faltest du also eine Figur entlang der Symmetrieachse, dann sind die beiden Figuren deckungsgleich.
LösungDu kannst die Figuren in die richtige Reihenfolge bringen, indem du die Figuren zeichnest und anschließend die Anzahl der Symmetrieachsen bestimmst. Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie durch Spiegelung an der Symmetrieachse auf sich selbst abbildbar ist. Faltest du also eine Figur entlang der Symmetrieachse, dann sind die beiden Figuren deckungsgleich. So erhältst du:
- Die Drachenraute hat eine Symmetrieachse.
- Das Rechteck hat zwei Symmetrieachsen.
- Das Quadrat hat vier Symmetrieachsen.
- Die Schneeflocke hat sechs Symmetrieachsen.
- Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen.
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Prüfe, ob diese Funktionen achsensymmetrisch zur $y$- Achse sind.
TippsDu kannst überprüfen, ob die Funktionen achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind, indem du sie zeichnest und anschließend überprüfst, ob du sie anhand dieser Achse in zwei deckungsgleiche Teile einteilen kannst.
LösungDu kannst überprüfen, ob die Funktionen achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind, indem du sie zeichnest und anschließend überprüfst, ob du sie anhand dieser Achse in zwei deckungsgleiche Teile einteilen kannst.
- So erhältst du, dass diese beiden Funktionen achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind.
- Teilst du die anderen Funktionen an der $y$-Achse, erhältst du zwei Figuren, die nach einer Faltung an dieser Achse nicht deckungsgleich sind. Sie sind somit nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
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Wer das ließt, weiß was die Symetrie ist!!!!!!! ;) ;) ;) ;) ;) ;) ;) :) :) :)