Geraden- und Punktspiegelung mit dem Geodreieck – Einführung

Geraden- und Punktspiegelung mit dem Geodreieck – Einführung Übung

• Gib an, ob die Figur achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder beides ist.

  Tipps

  Wenn du eine punktsymmetrische Figur um $180^\circ$ drehst, sieht sie so aus wie vorher.

  Durch Spiegelung an der Symmetrieachse ist eine achsensymmetrische Figur auf sich selbst abbildbar.

  Lösung

  Achsensymmetrische Figuren werden durch eine Gerade in zwei spiegelbildlich gleiche Hälften unterteilt. Diese beiden Hälften sind deckungsgleich.
  Punktsymmetrische Figuren haben ein Symmetriezentrum und werden durch eine halbe Drehung auf sich selbst abgebildet.

  Das Kreuzzeichen und das Rad sind achsensymmetrisch und punktsymmetrisch. Sie verfügen über eine Symmetrieachse und einen Spiegelpunkt.

  Der Schmetterling und die Blüte sind achsensymmetrisch. Sie haben eine Spiegelachse. Durch Spiegelung an dieser Symmetrieachse sind sie auf sich selbst abbildbar.

  Das Verkehrsschild ist punktsymmetrisch. Es wird durch eine halbe Drehung auf sich selbst abgebildet.

• Beschreibe das Vorgehen bei einer Geradenspiegelung.

  Tipps

  Die Symmetrieachse wird auch Spiegelgerade genannt.

  Lösung

  Achsensymmetrische Figuren werden durch eine Gerade in zwei spiegelbildlich gleiche Hälften unterteilt. Diese beiden Hälften sind deckungsgleich. Die Gerade, welche die Figur unterteilt, nennt man Symmetrieachse oder auch Spiegelgerade.
  Durch eine Geradenspiegelung können wir achsensymmetrische Figuren erzeugen.

  Bei der Geradenspiegelung gehen wir wie folgt vor:
  

  • Wenn diese noch nicht gegeben ist, wird als erstes die Symmetrieachse bzw. die Spiegelgerade eingezeichnet.
  • Wir legen nun unser Geodreieck mit der Mittellinie auf die Spiegelgeraden. Dadurch können wir im Folgenden die Abstände einfach ausmessen.
  • Wir messen den Abstand des ersten Punktes zur Spiegelgeraden und zeichnen den Spiegelpunkt dann im gleichen Abstand auf der anderen Seite der Spiegelgeraden ein.
  • Wir verschieben das Geodreieck auf der Spiegelgeraden bis zum nächsten Punkt. Die Mittellinie bleibt dabei auf der Spiegelgeraden. Wir verfahren mit dem Punkt genauso wie mit dem ersten Punkt: Wir messen seinen Abstand zur Spiegelgeraden und zeichnen den Spiegelpunkt auf der anderen Seite im gleichen Abstand ein. So verfahren wir mit allen weiteren Punkten.
  • Zum Schluss können wir die Umrisse der gespiegelten Figur mit Hilfe der Spiegelpunkte einzeichnen.

• Bestimme das Spiegelzentrum der Punktspiegelung des Dreiecks.

  Tipps

  Bildpunkt und Originalpunkt haben den gleichen Abstand zum Symmetriezentrum.

  Hier ist der Punkt $Z$ das Spiegelzentrum.

  Lösung

  Der Punkt $Q$ ist das Spiegelzentrum, da er auf jeder Verbindungslinie von Original- und Bildpunkt liegt.

  Bei der Punktspiegelung verbinden wir jeden Originalpunkt mit dem Spiegelzentrum und verlängern diese Strecke auf der anderen Seite des Spiegelzentrums um die gleiche Länge.

  Um das Spiegelzentrum zu ermitteln, können wir umgekehrt jeden Originalpunkt mit seinem zugehörigen Bildpunkt verbinden. Das Spiegelzentrum liegt dann genau in der Mitte jeder Verbindungsstrecke.

• Überprüfe die Figuren auf Punktsymmetrie.

  Tipps

  Hier siehst du eine punktsymmetrische Figur.

  Punktsymmetrische Figuren haben ein Symmetriezentrum und werden durch eine halbe Drehung auf sich selbst abgebildet.

  Lösung

  Folgende Verkehrsschilder sind punktsymmetrisch:

  • eingeschränktes Halteverbot
  • Haltestelle
  • Durchfahrt verboten

  Wenn man diese Schilder um $180^\circ$ dreht, sehen sie wieder identisch aus.
  Der Spiegelpunkt liegt jeweils in der Mitte des Schildes.

  Folgende Verkehrsschilder sind nicht punktsymmetrisch:

  • verengte Fahrbahn
  • rechts vorbei fahren

  Ein um $180^\circ$ gedrehtes Schild kann hier von unterschieden werden.
  Diese Schilder haben daher auch keinen Spiegelpunkt.

• Nenne die richtigen Fachbegriffe zur Geradenspiegelung.

  Tipps

  Spiegelgerade und Symmetrieachse sind zwei Begriffe für die gleiche Linie.

  Originalpunkt und Bildpunkt liegen immer auf einer Verbindungslinie, welche einen rechten Winkel mit der Symmetrieachse bildet.

  Lösung

  Die Gerade, welche die beiden deckungsgleichen Hälften der Figur trennt, nennt man Spiegelachse oder auch Symmetrieachse. Wir nennen den Punkt $A$ Originalpunkt und den Punkt $A'$ Spiegelpunkt oder auch Bildpunkt. Originalpunkt und Spiegelpunkt liegen auf einer Verbindungslinie, welche einen rechten Winkel mit der Spiegelachse bildet.

• Überprüfe die Aussagen zu Geraden- und Punktspiegelung.

  Tipps

  Eine punktsymmetrische Figur wird durch eine $180^\circ$ Drehung auf sich selbst abgebildet.

  Originalpunkt und Bildpunkt haben bei punktsymmetrischen Figuren den gleichen Abstand zum Symmetriezentrum.

  Lösung

  Falsche Aussagen:

  • Das Geodreieck dient bei der Geradenspiegelung nur zum Abmessen der Abstände.

  Das stimmt nicht. Das Geodreieck wird auch zur Bestimmung der richtigen Position des Bildpunktes verwendet. Dazu wird die Mittellinie des Geodreiecks auf die Symmetrieachse gelegt. Bei geraden Figuren dient das Geodreieck außerdem zum Verbinden der Spiegelpunkte.

  • Eine punktsymmetrische Figur kann nicht achsensymmetrisch sein.

  Das stimmt nicht. Es gibt Figuren, die sowohl achsen- als auch punktsymmetrisch sind. Ein Beispiel wäre das Kreuz im Bild.

  Richtige Aussagen:

  • Spiegelpunkt und Bildpunkt sind zwei Begriffe, die den gleichen Punkt meinen.

  Das ist richtig. Der Spiegelpunkt hat den gleichen Abstand zur Symmetrieachse bzw. zum Symmetriezentrum wie der Originalpunkt.

  • Bei der Punktspiegelung liegen Originalpunkt und Bildpunkt auf einer Geraden, die durch das Symmetriezentrum verläuft.

  Das ist richtig. Das Symmetriezentrum liegt genau in der Mitte zwischen Originalpunkt und Bildpunkt.