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Mathematik
Geometrie – Flächen, Körper und Symmetrie
Symmetrie und Spiegelung
Geraden- und Punktspiegelung mit dem Geodreieck – Einführung

Geraden- und Punktspiegelung mit dem Geodreieck – Einführung

In diesem Text wird erklärt, wie Geradenspiegelung und Punktspiegelung mit dem Geodreieck funktionieren, einschließlich Achsensymmetrie und Punktsymmetrie. Lerne, wie du Figuren an einer Geraden oder einem Punkt spiegeln kannst. Interessiert? All das und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Inhaltsverzeichnis zum Thema Geraden- und Punktspiegelung mit dem Geodreieck – Einführung

Einführung: Wie spiegelt man Figuren mit dem Geodreieck an einer Gerade oder einem Punkt?
Zusammenfassung: Geradenspiegelung und Punktspiegelung mit dem Geodreieck

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Einführung: Wie spiegelt man Figuren mit dem Geodreieck an einer Gerade oder einem Punkt?

In diesem Text werden die Geradenspiegelung und die Punktspiegelung mit dem Geodreieck einfach erklärt. Dafür schauen wir uns zunächst noch einmal an, was wir unter den Begriffen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie verstehen. Im Anschluss schauen wir uns anhand von Beispielen an, wie man mithilfe des Geodreiecks eine Figur an einer Achse oder einem Punkt spiegeln kann.

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie – Wiederholung

Eine achsensymmetrische Figur besitzt eine Gerade, die sogenannte Symmetrieachse, die die Figur in zwei spiegelbildlich gleiche Hälften teilt. Sind Figuren achsensymmetrisch, so werden sie durch Spiegelung an der Symmetrieachse auf sich selbst abgebildet. Dies können wir auch durch Falten der achsensymmetrischen Figur entlang der Symmetrieachse überprüfen: Beide Hälften der Figur liegen genau übereinander. Man sagt, beide Seiten sind deckungsgleich.

Punktsymmetrische Figuren haben hingegen ein Symmetriezentrum. Sie werden durch eine halbe Drehung, also eine Drehung um $180^\circ$, um das Symmetriezentrum auf sich selbst abgebildet.

Es gibt auch Figuren, die achsen- und punktsymmetrisch sind. Wie du erkennst, ob eine Figur achsen- oder punktsymmetrisch ist, lernst du im Video über symmetrische Figuren.

Geradenspiegelung mit dem Geodreieck – Anleitung

Ist eine Hälfte einer achsensymmetrischen Figur gegeben, so kann die zweite Hälfte mithilfe der Geradenspiegelung ergänzt werden. Beim Spiegeln wird die Symmetrieachse auch Spiegelachse oder Spiegelgerade genannt.
Jeder Punkt der Figur wird nun an der Spiegelgerade gespiegelt. Schauen wir uns dafür die folgende Figur an. Der Ursprungspunkt $A$ liegt auf der oberen Flügelspitze des halben Schmetterlings. Der gespiegelte Bildpunkt $A^\prime$ liegt auf der anderen Seite der Spiegelgerade, hat jedoch den gleichen Abstand zu ihr wie der Ursprungspunkt $A$.

Geradenspiegelung mit dem Geodreieck Beispiel

Um diesen Abstand abzumessen und somit die genaue Position von $A^\prime$ zu ermitteln, muss die Mittelgerade des Geodreiecks auf der Spiegelgerade liegen. Die Punkte $A$ und $A^\prime$ liegen daher auf einer Geraden, die senkrecht zur Spiegelgeraden verläuft. Um die weiteren Punkte zu spiegeln, verschieben wir das Geodreieck mit der Mittellinie entlang der Spiegelgeraden.
Sind alle Bildpunkte eingezeichnet, so können die fehlenden Strecken ergänzt werden. Dabei ist jede Bildstrecke genauso lang wie die entsprechende Strecke in der Ausgangsfigur.

Punktspiegelung mit dem Geodreieck – Anleitung

Ist eine Hälfte einer punktsymmetrischen Figur gegeben, so kann die zweite Hälfte mithilfe einer Punktspiegelung ergänzt werden. Das Symmetriezentrum wird beim Spiegeln auch Spiegelzentrum oder Spiegelpunkt genannt.
Bei der Punktspiegelung ist es wichtig, dass der Mittelpunkt der langen Seite des Geodreiecks, der sogenannte Nullpunkt, am Spiegelzentrum $Z$ anliegt. Die Bildpunkte finden wir dann, indem wir den Abstand zwischen Ausgangspunkt und Spiegelzentrum ablesen und ihn auf der gegenüberliegenden Seite von $Z$ abtragen.

Punktspiegelung mit dem Geodreieck Beispiel

Die Punkte $B$ und $B^\prime$ liegen also auf einer Geraden, die durch das Spiegelzentrum verläuft. Der Abstand zwischen $B$ und $Z$ ist genauso groß wie der Abstand zwischen $B^\prime$ und $Z$, das bedeutet, $Z$ liegt genau in der Mitte zwischen Punkt und Bildpunkt. Das Gleiche wiederholen wir für alle wichtigen Punkte der Figur. Dafür drehen wir das Geodreieck um das Spiegelzentrum $Z$. Der Nullpunkt muss dabei stets genau im Spiegelzentrum liegen. Zudem muss die lange Seite des Geodreiecks an dem Punkt anliegen, den wir spiegeln wollen.
Die Bildfigur erhalten wir dann, indem wir die Bildpunkte wie in der ursprünglichen Figur verbinden.

Zusammenfassung: Geradenspiegelung und Punktspiegelung mit dem Geodreieck

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zur Geradenspiegelung und Punktspiegelung mit dem Geodreieck zusammen.

Figuren mit dem Geodreieck an einer Geraden spiegeln:

Die Punkte werden an der Spiegelgeraden gespiegelt.
Die Mittellinie des Geodreiecks muss dabei genau auf der Spiegelgeraden liegen.
Punkt und Bildpunkt haben den gleichen Abstand zur Spiegelgeraden.
Die Verbindungslinien zwischen Punkt und Bildpunkt verlaufen senkrecht zur Spiegelgeraden.

Figuren mit dem Geodreieck an einem Punkt spiegeln:

Die Punkte werden am Spiegelzentrum gespiegelt.
Der Nullpunkt des Geodreiecks muss dabei genau auf dem Spiegelzentrum liegen.
Punkt und Bildpunkt haben den gleichen Abstand zum Spiegelzentrum.
Die Verbindungslinien zwischen Punkt und Bildpunkt verlaufen durch das Spiegelzentrum.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor weitere Übungen und Aufgaben zum Thema Geradenspiegelung und Punktspiegelung mit dem Geodreieck.

Forscherin Anina Retter ist bis zum Corbett National Park nach Indien gereist, um die Symmetrien in Flora und Fauna zu untersuchen. Ihre Forschungsergebnisse will sie in einem Logbuch festhalten. Damit ihre Skizzen auch wirklich symmetrisch sind, nutzt sie die „Geraden- und Punktspiegelung“. Sie hat auch schon einige interessante Entdeckungen in ihrem Logbuch. Zum Beispiel diesen Käfer. Der ist achsensymmetrisch. Das heißt, es gibt eine Gerade, die den Käfer in zwei spiegelbildlich gleiche Hälften teilt. Diese Gerade wird Symmetrieachse genannt. Achsensymmetrische Figuren werden durch Spiegelung an der Symmetrieachse auf sich selbst abgebildet. Anders gesagt: Wenn wir die Zeichnung entlang der Symmetrieachse falten, würden beide Hälften genau übereinander liegen. Diese Orchideenblüte ist auch achsensymmetrisch da die linke und die rechte Seite Deckungsgleich sind. Ist sie nicht wunderschön? Auch auf dem Weg in den Nationalpark hat Anina schon einige achsensymmetrische Objekte gesehen. Eine Hängebrücke, und einen Regenbogen. Beide haben eine Symmetrieachse. Es gibt aber auch Punktsymmetrie. Die kennt Anina bisher nur von Verkehrsschildern oder Skatkarten. Punktsymmetrische Figuren haben ein Symmetriezentrum und werden durch eine halbe Drehung auf sich selbst abgebildet. Wenn man die Figuren also um einhundertachtzig Grad um das Symmetriezentrum dreht, sehen sie so aus wie vorher. Manche Figuren sind auch achsen- und punktsymmetrisch. Zum Beispiel diese Symbole. Wo hat Anina die nur gesehen? Huch, was ist das? Dieser seltene Schmetterling muss direkt ins Logbuch. Anina zeichnet die erste Hälfte und vervollständigt die andere Hälfte durch Geradenspiegelung. Zum Glück hat sie ein Geodreieck dabei. Der Schmetterling ist achsensymmetrisch, also zeichnet Anina die Symmetrieachse ein. Beim Spiegeln wird die Symmetrieachse auch Spiegelgeraden genannt. Nun wird jeder Punkt auf der anderen Seite gespiegelt. Die gespiegelten Punkte werden Bildpunkte genannt und mit einem kleinen Strich versehen. Zum Beispiel liegt Punkt A auf der oberen Flügelspitze. Der Spiegelpunkt A Strich hat dabei denselben Abstand von der Spiegelgeraden. Das sind sechs Zentimeter. Hier befindet sich also die andere Flügelspitze. Bei der Geradenspiegelung muss die Mittellinie des Geodreiecks dabei immer genau auf der Spiegelgeraden liegen. A und A Strich liegen dadurch auf einer Geraden, die senkrecht zur Spiegelgeraden verläuft. Um die anderen Punkte zu spiegeln, wird das Geodreieck nun auf der Spiegelgeraden hoch- und runtergeschoben. Der Bildpunkt B Strich liegt hier. Und der Bildpunkt C Strich ist hier. Wenn alle wichtigen Punkte gespiegelt sind, können die fehlenden Strecken eingezeichnet werden. Strecke und Bildstrecke sind dabei gleich lang. Fertig ist die gespiegelte Figur! Anina hat schon ein neues Forschungsobjekt erblickt. Diese schöne Blüte ist doch auch symmetrisch. Aber Moment sie ist nicht achsensymmetrisch. Die Rundungen stimmen nicht überein, wenn wir sie falten würden. Diese Blüte ist Punktsymmetrisch, weil sie nach einer halben Drehung genauso aussieht wie vorher. Wie kann man so eine Punktspiegelung durchführen? Dafür wird das Geodreieck an das Symmetriezentrum Z angelegt. Das Symmetriezentrum wird auch Spiegelzentrum oder Spiegelpunkt genannt. Wichtig ist hier, dass immer der Mittelpunkt der langen Seite des Geodreiecks auf dem Spiegelpunkt liegt. Der Bildpunkt des Punktes A liegt dabei genau gegenüber dem Spiegelpunkt. Wir müssen wieder den Abstand messen und auf der anderen Seite abtragen. A Strich liegt also hier. Wir sehen, A und A Strich liegen auf einer Geraden, die durch den Spiegelpunkt verläuft. Der Abstand zwischen A und Z ist genauso groß wie der Abstand zwischen A Strich und Z. Für die anderen Punkte müssen wir nun das Geodreieck um den Spiegelpunkt drehen. Der Nullpunkt des Geodreieckes muss dabei immer genau auf dem Spiegelpunkt liegen. Der Bildpunkt von B muss zu Z den gleichen Abstand haben wie B und Z. B Strich liegt also hier. Und C Strich liegt hier. Jetzt müssen wir nur noch die Bildpunkte verbinden und dann ergibt sich die Bildfigur. Während Anina weitere Entdeckungen aufzeichnet, fassen wir zusammen. Bei der Geradenspiegelung werden die Punkte an der Spiegelgeraden gespiegelt. Wichtig ist dabei, dass die Mittellinie des Geodreiecks genau auf der Spiegelgeraden liegt. Dabei haben Punkt und Bildpunkt den gleichen Abstand zur Spiegelgeraden und liegen auch selbst auf einer Geraden, die senkrecht zur Spiegelgeraden verläuft. Bei der Punktspiegelung werden die Punkte am Spiegelpunkt gespiegelt. Wichtig ist hier, dass der Nullpunkt des Geodreiecks auf dem Spiegelpunkt liegt. Dabei haben Punkt und Bildpunkt den gleichen Abstand zum Spiegelpunkt und liegen außerdem auf einer Geraden, die durch den Spiegelpunkt verläuft. Und wie weit ist unsere Forscherin gekommen? Oh, oh. Sie hat sich wohl zu sehr in die Arbeit vertieft. Jetzt aber nichts wie weg!

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Die Autor*innen

Team Digital

Geraden- und Punktspiegelung mit dem Geodreieck – Einführung

lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Geraden- und Punktspiegelung mit dem Geodreieck – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geraden- und Punktspiegelung mit dem Geodreieck – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

Gib an, ob die Figur achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder beides ist.

Tipps

Wenn du eine punktsymmetrische Figur um $180^\circ$ drehst, dann sieht sie so aus wie vorher.

Durch Spiegelung an der Symmetrieachse ist eine achsensymmetrische Figur auf sich selbst abbildbar.

Lösung

Achsensymmetrische Figuren werden durch eine Gerade in zwei spiegelbildlich gleiche Hälften unterteilt. Diese beiden Hälften sind deckungsgleich.
Punktsymmetrische Figuren haben ein Symmetriezentrum und werden durch eine halbe Drehung auf sich selbst abgebildet.
Das Kreuzzeichen und das Rad sind achsensymmetrisch und punktsymmetrisch: Sie verfügen über eine Symmetrieachse und einen Spiegelpunkt.
Der Schmetterling und die Blüte sind achsensymmetrisch: Sie haben eine Spiegelachse. Durch Spiegelung an dieser Symmetrieachse sind sie auf sich selbst abbildbar.
Das Verkehrsschild ist punktsymmetrisch: Es wird durch eine halbe Drehung auf sich selbst abgebildet.
Beschreibe das Vorgehen bei einer Geradenspiegelung.
Tipps

Die Symmetrieachse wird auch Spiegelgerade genannt.

Lösung
Achsensymmetrische Figuren werden durch eine Gerade in zwei spiegelbildlich gleiche Hälften unterteilt. Diese beiden Hälften sind deckungsgleich. Die Gerade, welche die Figur unterteilt, nennt man Symmetrieachse oder auch Spiegelgerade.
Durch eine Geradenspiegelung können wir achsensymmetrische Figuren erzeugen.
Bei der Geradenspiegelung gehen wir wie folgt vor:
- Wenn diese noch nicht gegeben ist, wird als Erstes die Symmetrieachse bzw. die Spiegelgerade eingezeichnet.
- Nun legen wir unser Geodreieck mit der Mittellinie auf die Spiegelgeraden. Dadurch können wir im Folgenden die Abstände einfach ausmessen.
- Wir messen den Abstand des ersten Punktes zur Spiegelgeraden und zeichnen den Spiegelpunkt dann im gleichen Abstand auf der anderen Seite der Spiegelgeraden ein.
- Dann verschieben wir das Geodreieck auf der Spiegelgeraden bis zum nächsten Punkt. Die Mittellinie bleibt dabei auf der Spiegelgeraden. Wir verfahren mit dem Punkt genauso wie mit dem ersten Punkt: Wir messen seinen Abstand zur Spiegelgeraden und zeichnen den Spiegelpunkt auf der anderen Seite im gleichen Abstand ein. So verfahren wir mit allen weiteren Punkten.
- Zum Schluss können wir die Umrisse der gespiegelten Figur mithilfe der Spiegelpunkte einzeichnen.
Bestimme das Spiegelzentrum der Punktspiegelung des Dreiecks.

Tipps

Bildpunkt und Originalpunkt haben den gleichen Abstand zum Symmetriezentrum.

Hier ist der Punkt $Z$ das Spiegelzentrum.

Lösung

Der Punkt $Q$ ist das Spiegelzentrum, da er auf jeder Verbindungslinie von Original- und Bildpunkt liegt.
Bei der Punktspiegelung verbinden wir jeden Originalpunkt mit dem Spiegelzentrum und verlängern diese Strecke auf der anderen Seite des Spiegelzentrums um die gleiche Länge.
Um das Spiegelzentrum zu ermitteln, können wir umgekehrt jeden Originalpunkt mit seinem zugehörigen Bildpunkt verbinden. Das Spiegelzentrum liegt dann genau in der Mitte jeder Verbindungsstrecke.
Überprüfe die Figuren auf Punktsymmetrie.
Tipps

Hier siehst du eine punktsymmetrische Figur.

Punktsymmetrische Figuren haben ein Symmetriezentrum und werden durch eine halbe Drehung auf sich selbst abgebildet.

Lösung
Folgende Verkehrsschilder sind punktsymmetrisch:
- eingeschränktes Halteverbot
- Haltestelle
- Durchfahrt verboten
Wenn man diese Schilder um $180^\circ$ dreht, dann sehen sie wieder identisch aus.
Der Spiegelpunkt liegt jeweils in der Mitte des Schildes.
Folgende Verkehrsschilder sind nicht punktsymmetrisch:
- verengte Fahrbahn
- rechts vorbeifahren
Ein um $180^\circ$ gedrehtes Schild kann hiervon unterschieden werden.
Diese Schilder haben daher auch keinen Spiegelpunkt.
Nenne die korrekten Fachbegriffe zur Geradenspiegelung.

Tipps

Spiegelgerade und Symmetrieachse sind zwei Begriffe für die gleiche Linie.

Originalpunkt und Bildpunkt liegen immer auf einer Verbindungslinie, welche einen rechten Winkel mit der Symmetrieachse bildet.

Lösung

Die Gerade, welche die beiden deckungsgleichen Hälften der Figur trennt, nennt man Spiegelachse oder auch Symmetrieachse. Wir nennen den Punkt $A$ Originalpunkt und den Punkt $A'$ Spiegelpunkt oder auch Bildpunkt. Originalpunkt und Spiegelpunkt liegen auf einer Verbindungslinie, welche einen rechten Winkel mit der Spiegelachse bildet.
Überprüfe die Aussagen zu Geraden- und Punktspiegelung.
Tipps

Eine punktsymmetrische Figur wird durch eine $180^\circ$-Drehung auf sich selbst abgebildet.

Originalpunkt und Bildpunkt haben bei punktsymmetrischen Figuren den gleichen Abstand zum Symmetriezentrum.

Lösung
Folgende Aussagen sind falsch:
- Das Geodreieck dient bei der Geradenspiegelung nur zum Abmessen der Abstände.
Das stimmt nicht. Denn das Geodreieck wird auch zur Bestimmung der richtigen Position des Bildpunktes verwendet. Dazu wird die Mittellinie des Geodreiecks auf die Symmetrieachse gelegt. Bei geraden Figuren dient das Geodreieck außerdem zum Verbinden der Spiegelpunkte.
- Eine punktsymmetrische Figur kann nicht achsensymmetrisch sein.
Das ist nicht korrekt: Es gibt Figuren, die sowohl achsen- als auch punktsymmetrisch sind. Ein Beispiel dafür ist das Kreuz im Bild.
Folgende Aussagen sind richtig:
- Spiegelpunkt und Bildpunkt sind zwei Begriffe, die den gleichen Punkt meinen.
Das stimmt: Der Spiegelpunkt hat den gleichen Abstand zur Symmetrieachse bzw. zum Symmetriezentrum wie der Originalpunkt.
- Bei der Punktspiegelung liegen Originalpunkt und Bildpunkt auf einer Geraden, die durch das Symmetriezentrum verläuft.
Das ist ebenfalls korrekt. Denn das Symmetriezentrum liegt genau in der Mitte zwischen Originalpunkt und Bildpunkt.

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