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Flächeninhalt und Umfang von regelmäßigen Fünfecken 04:39 min

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Transkript Flächeninhalt und Umfang von regelmäßigen Fünfecken

Wer im Wiesendschungel seine Flugprüfung ablegt, der wählt für seine sichere Landung gerne die fünfeckige Prunkwinde. Zur Flugtheorie gehören deshalb stets die Berechnungen von Flächeninhalt und Umfang von regelmäßigen Fünfecken. Die Winkelgrößen sind in jedem regelmäßigen Fünfeck gleich - ganz egal wie groß das Fünfeck ist. Jedes hat nämlich fünf Innenwinkel von jeweils 108 Grad und lässt sich in fünf deckungsgleiche, gleichschenklige Dreiecke aufteilen. Der Mittelpunktswinkel beträgt in jedem davon 72 Grad und die Basiswinkel jeweils 54 Grad. Die Schenkel bezeichnen wir mit r und die Grundseiten jeweils mit a. Um den Umfang des Fünfecks zu berechnen, nehmen wir fünf mal die Grundseite a. Der Flächeninhalt des Fünfecks wiederum beträgt fünf mal so viel wie "eine Dreiecksfläche". Aber wie groß ist die? Für diese Berechnung müssen wir die gleichschenkligen Dreiecke an ihrer Höhe h entlang halbieren. So kommen wir zu der Aufteilung der Fünfecksfläche in zehn deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke. Der Flächeninhalt von jedem rechtwinkligen Dreieck berechnet sich mittels "Grundseite mal Höhe durch 2". Die Grundseite des rechtwinkligen Dreiecks beträgt die Hälfte von a, also a Halbe. Der Flächeninhalt beträgt somit "a halbe" mal "h" durch 2! Umgestellt ergibt sich diese Formel und zwar für jedes der zehn rechtwinkligen Dreiecke! Noch durch zwei gekürzt, haben wir hier die Flächeninhaltsformel eines regelmäßigen Fünfecks! Aber was ist, wenn dir nicht die Längen der Seiten a und h gegeben sind, sondern nur die der Seite r? Die Seite r ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die Ankathete zum 54-Grad-Winkel ist die Hälfte der Grundseite a. Und die Gegenkathe zum 54-Grad-Winkel ist die Höhe h. Das Ganze ruft doch nahezu nach den Sinus-, Cosinus- und Tangensformeln für rechtwinklige Dreiecke! Mit dem betrachteten 54-Grad-Winkel erhalten wir nach Einsetzen der passenden Größen diese drei Formeln für die Berechnung der Seitenlängen. Lass uns ein Beispiel rechnen: Diese Blüte hat eine Grundseite a von 4,72 Zentimetern. Für die Berechnung des Flächeninhalts brauchen wir aber mehr als nur eine der Seitenlängen. Und genau da helfen uns die Formeln vom Sinus, Cosinus und Tangens. Mithilfe der Cosinusformel können wir r ausrechnen und mithilfe der Tangensformel h. Wenn du diese beiden Berechnungen gerne Schritt für Schritt durchgehen möchtest, schaue dir doch das Video zu Winkelgrößen und Seitenlängen im regelmäßigen Fünfeck an. Um den Umfang zu berechnen, setzen wir nun a in die passende Formel ein, und erhalten 23,6 Zentimeter. Für den Flächeninhalt setzen wir ebenfalls unsere Werte, a und h, ein. Dabei rechnen wir Zentimeter mal Zentimeter - das ergibt Quadratzentimeter. Gerundet beträgt die Fläche des Fünfecks somit 38,35 Quadratzentimeter. Lass uns doch noch einmal einen Blick auf die Formeln werfen. Fünf a ist doch genau der Ausdruck für den Umfang. Das erinnert jetzt ein wenig an "Grundseite mal Höhe durch 2". Lass uns ein wenig rumexperimentieren! Mit einer Grundseite von der Länge des Umfangs, darauf der Höhe h und hier dem 54-Grad-Winkel können wir ein Parallelogramm konstruieren. Dessen Flächeninhalt beträgt dann genau diese Grundseite mal die Höhe. Hier steht jedoch noch "ein Halb". Deshalb halbieren wir unsere Fläche noch geschickt. Das ganze zusammengefaltet ergibt - voilà - unser regelmäßiges Fünfeck! Was haben wir also alles gelernt? Die Basiswinkel betragen in jedem regelmäßigen Fünfeck 54 Grad. Dir unbekannte Seitenlängen kannst du davon ausgehend mithilfe der Sinus-, Cosinus- oder Tangensformel bestimmen. Anhand der Seitenlängen berechnest du Umfang und Flächeninhalt des Fünfecks. Für den Umfang benötigst du die Länge der Grundseite a und für den Flächeninhalt sowohl die Grundseite a als auch die Höhe h, beziehungsweise den Umfang und die Höhe. Wie läuft denn die Praxisstunde der Glühwürmchen? Ist bei der Rechnung etwas schiefgelaufen?! Aber nein! - Bei all den Rechnungen hat der Prüfling ganz vergessen, sein Fluglicht anzuschalten!

1 Kommentar
  1. 🥇

    Von Yiren Y., vor 7 Monaten

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Flächeninhalt und Umfang von regelmäßigen Fünfecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt und Umfang von regelmäßigen Fünfecken kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Formeln für Umfang und Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks an.

    Tipps

    Ein Dreieck heißt gleichseitig, wenn alle drei Seiten gleich lang sind.

    Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist halb so groß wie die Fläche des Rechtecks, das du durch Verdoppelung des Dreiecks erhältst.

    Der Umfang eines regelmäßigen Siebenecks ist siebenmal so groß wie eine Seite des Siebenecks.

    Lösung

    Da die betrachteten Fünfecke regelmäßg sind, sind allle ihre Innenwinkel gleich groß. Ihr Wert beträgt $108^\circ$. Durch Halbierung der Innenwinkel kannst du das Fünfeck in $5$ gleichschenklige Dreiecke aufteilen. Die Basiswinkel der Dreiecke sind dann $54^\circ$. Den Mittelpunktswinkel kannst du aus der Winkelsumme des gleichschenkligen Dreiecks erschließen, die für alle Dreiecke $180^\circ$ ist. Er beträgt $180^\circ - 54^\circ -54^\circ =$ $72^\circ$.

    Halbierst du die Dreiecke entlang ihrer Höhe, so erhältst Du eine Unterteilung des Fünfecks in $10$ rechtwinklige Dreiecke. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts von Grundseite und Höhe des Dreiecks. Der Flächeninhalt des Fünfecks ist das Zehnfache dieser Dreiecksfläche.

    Bezeichnen wir die Grundseite des regelmäßigen Fünfecks mit $a$, so ist der Umfang gegeben durch

    $U =$ $5 \cdot a$

    Die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks nennen wir $h$, die Grundseite ist dann $\frac{a}{2}$. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks beträgt $\frac{a \cdot h}{4}$. Der Flächeninhalt des Fünfecks ergibt sich daraus. Er ist:

    $A =$ $\frac{5 \cdot a \cdot h}{2}$

  • Gib die Eigenschaften von Dreiecken und Fünfecken an.

    Tipps

    Den Umfang eines $n$-Ecks findest du heraus, indem du die Längen der $n$ Seiten addierst.

    Sinus, Cosinus oder Tangens helfen dir, den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, von dem du nur die Innenwinkel und eine Seitenlänge kennst.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Der Umfang eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge $a$ ist $5 \cdot a$.“
    • „Der Tangens eines Winkels ist der Quotient aus Gegenkathete und Ankathete.“
    • „Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks kannst du ausrechnen, wenn du nur die Länge der Grundseite $a$ kennst.“
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Ein regelmäßiges Fünfeck kannst du in $5$ rechtwinklige Dreiecke aufteilen.“ Die Fünfteilung liefert gleichschenklige, nicht rechtwinklige Dreiecke.
    • „Der Sinus eines Winkels ist das Produkt aus Gegenkathete und Hypotenuse.“ Der Sinus ist nicht das Produkt, sondern der Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse.
    • „Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse.“ Die Höhe ist immer eine der beiden Katheten, denn sie steht senkrecht auf der Grundseite, d.h. auf der anderen Kathete. Welche der beiden Katheten du als Höhe und welche als Grundseite nimmst, ist nicht festgelegt.
    • „Wenn du den Sinus, Cosinus oder Tangens eines Winkels nicht kennst, brauchst du zur Berechnung des Flächeninhalts eines regelmäßigen Fünfecks die Grundseite und den Umfang.“ Der Umfang ist das Fünffache der Grundseite, liefert also keine weitere Information. Für die Berechnung des Flächeninhalts brauchst du eine der Winkelgrößen, den Schenkel $r$ oder die Höhe $h$.
  • Erschließe die Seitenlängen, den Umfang und den Flächeninhalt.

    Tipps

    Die Höhe ist größer als die Ankathete und kleiner als die Grundseite.

    Die Gegenkathete ist das Produkt aus dem Tangens und der Ankathete.

    Beträgt der Sinus des Winkels $\approx 0,81$ und die Gegenkathete $\approx 1,12~\text{cm}$, so ist die Hypotenuse $1,12~\text{cm} : 0,81 \approx 1,38~\text{cm}$.

    Lösung

    Für die Rechnung verwenden wir jeweils zwei Nachkommastellen und rechnen mit den gerundeten Werten weiter.

    Die Grundseite der Blüte hat eine Länge von $\approx 1,62~\text{cm}$. Der Basiswinkels ist $54^\circ$, seine Ankathete ist die Hälfte der Grundseite, sie ist demnach $\approx 0,81~\text{cm}$ lang. Der Cosinus des Winkels $54^\circ$ beträgt $\approx 0,59$. Die Hypotenuse ist der Quotient aus der Ankathete und dem Cosinus. Sie hat eine Länge von $0,81~\text{cm}: 0,59 \approx 1,37~\text{cm}$.

    Die Länge der Gegenkathete des Basiswinkels $54^\circ$ kannst Du mit Hilfe des Tangens berechen, denn der Tangens ist das Verhältnis aus Gegenkathethe und Ankathete. Hier ist $\tan(54^\circ) \approx 1,38$. Die Gegenkathete hat dann die Länge $1,38 \cdot 0,81~\text{cm} \approx 1,12~\text{cm}$.

    Der Umfang der Blüte ergibt sich aus der Grundseite: er ist $5 \cdot 1,62~\text{cm} = 8,1~\text{cm}$. Den Flächeninhalt kannst du aus der Grundseite und der Gegenkathete $h$ ausrechnen. Die Formel lautet:

    $A = \frac{U \cdot h}{2}$

    Die Blüte hat daher einen Flächeninhalt von $\frac{8,1 \cdot 1,12}{2}~\text{cm}^2 \approx 4,54~\text{cm}^2$.

    Diese gerundeten Werte erhältst du, wenn du mit genau den hier angegebenen Formeln rechnest. Verwendest du andere Formeln (z.B. andere Winkelfunktionen oder den Satz des Pythagoras), so erhältst du evtl. andere Nachkommastellen.

  • Ordne die Größen einander zu.

    Tipps

    Setze $a = 2~\text{cm}$ in die Formeln für die verschiedenen Größen ein.

    Verwende $\tan(54^\circ) \approx 1,38$ für die Berechnung.

    Ist $a = 2,31~\text{cm}$, so ist $h = 1,38 \cdot \frac{2,31}{2}~\text{cm} = 1,60~\text{cm}$.

    Lösung

    Um die Paare zu finden, verwenden wir folgende Formeln:

    $\begin{array}{lll} U &=& 5 \cdot a \\ \\ A &=& \frac{5 \cdot a \cdot h}{2} \\ \\ \sin(54^\circ) &=& \frac{h}{r} \\ \\ \cos(54^\circ) &=& \frac{a}{2r} \\ \\ \tan(54^\circ) &=& \frac{2h}{a} \end{array}$

    Wir erhalten dann folgende passenden Paare:

    • Zu $a = 2~\text{cm}$ passt $A = 6,9~\text{cm}^2$: d
    Das findest du heraus mit der Tangens-Formel für die Höhe $h$ und der Formel für den Flächeninhalt.
    • Zu $U = 5~\text{cm}$ gehört $r = 0,85~\text{cm}$. Du kannst zunächst $a = \frac{U}{5}$ ausrechnen und dann in die Tangens-Formel einsetzen.
    • Zu $r=1,67~\text{cm}$ passt $h=1,35~\text{cm}$. Hier kannst du die Sinus-Formel benutzen.
    • $a = 1,23~\text{cm}$ passt zu $U = 6,15~\text{cm}$, denn $5 \cdot 1,23~\text{cm} = 6,15~\text{cm}$.
    • Zu $a=3,27~\text{cm}$ passt $h = 2,23~\text{cm}$: Hier verwendest du am einfachsten die Tangens-Formel.
  • Bestimme die Seiten und Winkelfunktionen.

    Tipps

    Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind kürzer als die Hypotenuse.

    Der Sinus des Basiswinkels $54^\circ$ ist das Verhältnis aus der Höhe des gleichschenkligen Dreiecks zum Schenkel.

    Die Gegenkathete eines Winkels liegt dem Winkel gegenüber.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende, längste Seite Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Die einem nicht-rechten Winkel anliegende Seite heißt die Ankathete des Winkels, die dem Winkel gegenüberliegende Seite die Gegenkathete. Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und Hypotenuse, der Cosinus das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse und der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.

  • Erschließe die Winkelgrößen und die Formeln.

    Tipps

    Überlege genau, wie sich die Formeln für Umfang, Höhe, Schenkel und Flächeninhalt ändern, wenn man das regelmäßige Fünfeck durch ein Siebeneck ersetzt.

    Lösung

    Wir übertragen die Überlegungen zur Berechnung regelmäßiger Fünfecke auf regelmäßige Siebenecke. Wir müssen uns dabei vor allem die Berechnung der Winkel klar machen.

    Ein regelmäßiges Siebeneck kann man in sieben kongruente gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Dies geschieht wie beim Fünfeck durch die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Siebenecks. Der Mittelpunktswinkel dieser Dreiecke ergibt sich durch die Siebenteilung des vollen Kreiswinkels, er beträgt demnach $\frac{1}{7}$ von $360^\circ$, das sind $\approx 51,43^\circ$. Den Basiswinkel können wir jetzt aus der Innenwinkelsumme des gleichschenkligen Dreiecks erschließen. Er beträgt nämlich:

    $180^\circ -2 \cdot 51,43^\circ \approx 77,14^\circ$

    Die Formel zur Berechnung des Umfangs $U$ des Blütenbodens aus der Seitenlänge $a$ lautet:

    $U = 7 \cdot a$,

    denn der Umfang eines Siebenecks ist die Summe der sieben Seitenlängen, bei einem regelmäßigen Siebeneck ist das das Siebenfache einer Seitenlänge.

    Die Höhe $h$ können wir mit dem Tangens des Basiswinkels $51,43^\circ$ aus der Grundseite berechnen. Für den Flächeninhalt des regelmäßigen Siebenecks erhält man so die neue Formel:

    $A = \frac{U \cdot h}{2} = \frac{7 \cdot a \cdot a \cdot \tan(51,43^\circ)}{2 \cdot 2} = \frac{7 \cdot a^2}{4} \cdot \tan(51,43^\circ)$.