Regelmäßiges Fünfeck – Seitenlängen und Winkelgrößen

Regelmäßiges Fünfeck – Seitenlängen und Winkelgrößen Übung

• Berechne die Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks.

  Tipps

  Jede volle Kreisumdrehung, auch die um den Mittelpunkt eines Fünfecks, beträgt $360^{\circ}$.

  Die fünf kongruenten Dreiecke des Fünfecks sind gleichschenklig. Das bedeutet unter anderem, dass die beiden Basiswinkel $\alpha$ gleich groß sind. Außerdem musst du wissen, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck $180^{\circ}$ ergibt.

  Lösung

  Die Innenwinkel eines Fünfecks kannst du folgendermaßen berechnen:

  Teile das Fünfeck vom Mittelpunkt aus in fünf kongruente gleichschenklige Dreiecke.

  Der Mittelpunktswinkel jedes dieser Dreiecke beträgt ein Fünftel des Vollwinkels.

  Der Mittelpunktswinkel beträgt also: $~\dfrac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$.

  • Jede volle Kreisumdrehung, auch die um den Mittelpunkt eines Fünfecks, beträgt $360^{\circ}$. Dieser Winkel wird gleichmäßig auf die Mittelpunktswinkel der Dreiecke verteilt.

  Ausgehend von diesem Mittelpunktswinkel ergibt sich für die Basiswinkel folgende Rechnung:

  $\begin{array}{lrl} &2 \alpha + 72^{\circ} &=180^{\circ} \\ \Leftrightarrow & \alpha &=54^{\circ} \\ \end{array}$

  • Die fünf Dreiecke des Fünfecks sind gleichschenklig. Das bedeutet unter anderem, dass die beiden Basiswinkel $\alpha$ gleich groß sind. Außerdem musst du wissen, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck $180^{\circ}$ ergibt.

  Die Innenwinkel betragen das Doppelte der Basiswinkel:

  $\beta=2 \alpha= 2 \cdot 54^{\circ} =108^{\circ} $.

• Bestimme die Formeln zur Berechnung der Seitenlängen eines regelmäßigen Fünfecks.

  Tipps

  Die hier angewandten Gleichungen sind:

  • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Du kannst die Seitenlängen bestimmen, indem du die richtige Formel auswählst (das ist die Formel, in der die gesuchte und die gegebene Länge vorkommen) und du diese Formel anschließend nach deiner gesuchten Länge umstellst, die gegebenen Werte einsetzt und berechnest.

  Lösung

  So kannst du die Seitenlängen berechnen:

  Zuerst teilt sie eines der fünf kongruenten gleichschenkligen Dreiecke des Fünfecks noch einmal in der Mitte. Dabei erhält sie zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlängen $r$, $h$ und $\frac{a}{2}$. Einer der Winkel des Dreiecks entspricht dem Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks und beträgt somit $54^{\circ}$.

  • In der Mathematik ist es oft hilfreich, komplexe Figuren in bekannte, kleinere Figuren aufzuteilen. Da Dreiecke die Vielecke mit der geringsten Anzahl an Ecken sind und da ihre Eigenschaften sehr gut bekannt sind, sind sie dafür besonders beliebt.

  Ausgehend von diesem Winkel benennt sie die Seiten des Dreiecks, um die trigonometrischen Formeln anwenden zu können. Die längste Seite des Dreiecks ist immer die Hypotenuse. Hier heißt sie $r$. Die am Winkel anliegende Seite $\frac{a}{2}$ heißt Ankathete und die gegenüberliegende Seite $h$ nennt man Gegenkathete.

  • Ist ein Winkel und eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben, kannst du die anderen Seiten und Winkel berechnen. Dazu musst du wissen, wie man die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bezeichnet.

  Damit ergeben sich folgende Formeln:

  $\sin(54^{\circ})=\dfrac{h}{r}$

  $\cos(54^{\circ})=\dfrac{a}{2r}$

  $\tan(54^{\circ})=\dfrac{2h}{a}$

  • Die hier angewandten Gleichungen sind:

  $\qquad\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$

  $\qquad\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}$

  Ist also eine Seitenlänge mit $a=4,72$ Längeneinheiten gegeben, kann Larissa alle anderen Längen ausrechnen. Sie beginnt mit der Länge $r$. Um diese zu berechnen, verwendet sie die Formel mit dem Cosinus und erhält:

  $r=\dfrac{a}{2 \cos(54^{\circ})}= \dfrac{4,72}{2 \cos(54^{\circ})}\approx 4,02$

  Um mit der bekannten Seite $a$ die Seite $h$ zu berechnen, benötigt sie die Formel mit dem Tangens. Damit erhält sie:

  $h=\dfrac{a \tan(54^{\circ}) }{2}= \dfrac{4,72~\text{m} \tan(54^{\circ})}{2 }\approx 3,25$

  • Du kannst die Seitenlängen bestimmen, indem du die richtige Formel auswählst (das ist die Formel, in der die gesuchte und die gegebene Länge vorkommen) und du diese Formel anschließend nach deiner gesuchten Länge umstellst, die gegebenen Werte einsetzt und berechnest.

• Ermittle die Winkel der Fünfecke.

  Tipps

  Die Winkel eines Fünfecks kannst du dir logisch herleiten.

  Überlege dir, wovon die Winkel eines Fünfecks abhängig sind.

  Lösung

  Die Winkel eines Fünfecks sind in jedem Fünfeck gleich.

  • Der Mittelpunktswinkel beträgt immer: $72^{\circ}$.

  • Der Basiswinkel beträgt: $54^{\circ}$.

  • Der Innenwinkel: $108^{\circ}$.

• Ermittle die fehlenden Seitenlängen.

  Tipps

  Diese Formeln sind zur Berechnung der Seitenlängen hilfreich:

  $\sin(\alpha)=\dfrac{h}{r}$

  $\cos(\alpha)=\dfrac{a}{2r}$

  $\tan(\alpha)=\dfrac{2h}{a}$

  Wähle die korrekte Formel aus, setze die gegebenen Werte ein und stelle nach dem gesuchten Wert um.

  Lösung

  Diese Formeln sind zur Berechnung der Seitenlängen hilfreich:

  $\sin(54^{\circ})=\dfrac{h}{r}$

  $\cos(54^{\circ})=\dfrac{a}{2r}$

  $\tan(54^{\circ})=\dfrac{2h}{a}$

  Für die erste Länge verwendest du die Cosinus-Formel, stellst sie um, setzt ein und rechnest aus:

  • $r=\dfrac{a}{2 \cos(54^{\circ})}= \dfrac{5~\text{m}}{2 \cos(54^{\circ})}=4,25~\text{m}$

  Analog erhältst du:

  • Ein Fünfeck hat die Seitenlänge $r=3~\text{m}$. Damit ist $h=2,43~\text{m}$.

  • Ein Fünfeck hat die Seitenlänge $h=2~\text{m}$. Damit ist $a=5,94~\text{m}$.

  • Ein Fünfeck hat die Seitenlänge $\frac{a}{2}=3~\text{m}$. Damit ist $r=5,10~\text{m}$.

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Fünfecken.

  Tipps

  Fünfecke können unterschiedlich groß sein. Allerdings verändert sich ihre Form nicht.

  Mit $\cos(54^{\circ})=\dfrac{a}{2r}$ kannst du, wenn eine Länge gegeben ist, die fehlende Länge berechnen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Bei einem regelmäßigen Fünfeck sind die Seitenlängen immer gleich lang, egal wie groß die Winkel sind.“

  • Regelmäßige Fünfecke können unterschiedlich groß sein. Allerdings verändert sich ihre Form nicht. Also sind die einzelnen Winkel immer gleich groß, während die Seitenlängen variabel sind.

  „Jedes Fünfeck hat einen Innenwinkel von $104^{\circ}$.“

  • Hier haben sich gleich zwei Fehler eingeschlichen. Korrekt hieße es: Jedes regelmäßige Fünfeck hat einen Innenwinkel von $108^{\circ}$. Also ist einerseits der angegebene Winkel falsch, andererseits muss das Fünfeck zusätzlich regelmäßig sein, um diese Aussage machen zu können. Sonst wissen wir über die Innenwinkel nur, dass ihre Summe $540^{\circ}$ ist (das gilt auch für das regelmäßige Fünfeck: $5\cdot108^\circ=540^\circ$).

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Die Seitenlängen $a$ eines regelmäßigen Fünfecks kannst du berechnen, wenn du die Strecke vom Mittelpunkt des Fünfecks bis zu einer Ecke $r$ gegeben hast.“

  • Mit $\cos(54^{\circ})=\dfrac{a}{2r}$ kannst du, wenn eine Länge gegeben ist, die fehlende Länge berechnen. Der Winkel, der hier benötigt wird, ist der Basiswinkel der Dreiecke. Dieser beträgt hier $54^{\circ}$.

  „Bei einem regenmäßigen Fünfeck sind die einzelnen Winkel immer gleich groß, egal wie groß die Seitenlängen sind.“

  „Die Seitenlängen von Fünfecken kannst du mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens bestimmen.“

• Erarbeite die Bestimmung des Flächeninhalts von gleichmäßigen Fünfecken.

  Tipps

  Die Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken lautet $A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$. Hier bezeichnet $g$ die Grundseite und $h$ die Höhe (diese liegt senkrecht auf $g$ und endet im gegenüberliegenden Eckpunkt) des Dreiecks.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  Zunächst teilt sie das regelmäßige Fünfeck in fünf kongruente gleichschenklige Dreiecke. Eines davon teilt sie in der Mitte, sodass zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke entstehen.

  (...) Sie benötigt die Formel für deren Flächeninhalt. Hier lautete diese:

  $A=\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h$

  • Die Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken lautet $A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$. Hier bezeichnet $g$ die Grundseite und $h$ die Höhe (diese liegt senkrecht auf $g$ und endet im gegenüberliegenden Eckpunkt) des Dreiecks. Setzt du die Längenbezeichnungen des Fünfecks ein, erhältst du obige Formel.

  Von diesen rechtwinkligen Dreiecken ist nur die Seite $\frac{a}{2}$ und der Winkel $54^{\circ}$ bekannt.

  Die Höhe $h$ muss sie zuerst berechnen. Dazu benötigt sie die Tangens-Formel. Damit erhält sie:

  $h=\frac{a}{2} \cdot \tan(54^{\circ})$

  • Wie gewohnt wählst du die richtige Formel aus und formst sie nach der gesuchten Länge um. Damit erhältst du einen Ausdruck für $h$.

  Das setzt sie in die Formel des Flächeninhalts ein und erhält:

  $A=\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \tan(54^{\circ})$

  Vereinfacht ergibt das:

  $A=\frac{1}{8} \cdot a^2 \cdot \tan(54^{\circ})$

  • Den eben bestimmten Ausdruck für $h$ kannst du in die Formel des Flächeninhalts einsetzen. Damit ist die Formel nur noch von der Seitenlänge $a$ abhängig.

  Ein Fünfeck besteht aus zehn dieser Dreiecke. Also lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Fünfecks:

  $A=\frac{10}{8} \cdot a^2 \cdot \tan(54^{\circ})$

  • Zuvor haben wir das Fünfeck in zehn Teile geteilt. Jetzt, da wir den Flächeninhalt eines dieser Teile kennen, können wir die Formel mit $10$ multiplizieren, um den Gesamtflächeninhalt zu erhalten.

  Ein Fünfeck mit einer Seitenlänge von $a=5~\text{cm}$ hat also einen Flächeninhalt von

  $A=43,01~\text{cm}^2$

  • Diese Zahl erhältst du durch Einsetzen in unsere Formel.