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Eigenschaften von Vielecken

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Team Digital
Eigenschaften von Vielecken
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Grundlagen zum Thema Eigenschaften von Vielecken

Inhalt

Was ist ein Vieleck?

Im Straßenverkehr herrscht Chaos, wenn jeder fährt, wie er will. Um Ordnung in das Verkehrschaos zu bringen, helfen Vielecke – wenn man sie als Verkehrszeichen verwendet. In diesem Video lernst du, welche Vielecke bei den Verkehrszeichen vorkommen. Du erfährst außerdem, was Vielecke in Mathe sind, welche Eigenschaften sie haben und wie man sie beschreibt.

Vielecke – Eigenschaften

Ein Vieleck ist eine ebene Figur, die aus Eckpunkten besteht. Die Eckpunkte werden so durch Strecken verbunden, dass von jedem Eckpunkt genau zwei Strecken ausgehen. Das Vieleck hat dann genau so viele Strecken wie Eckpunkte. Vielecke werden auch als $n$-Ecke bezeichnet. Hierbei steht $n$ für die Anzahl der Ecken. Ein $n$-Eck mit $n=5$ ist ein Fünfeck, ein $n$-Eck mit $n=9$ ist ein Neuneck und so weiter. Ein $n$-Eck hat also $n$ Eckpunkte, die durch $n$ Strecken verbunden werden.

Regelmäßige Vielecke

In Mathe unterscheidet man regelmäßige von unregelmäßigen Vielecken. Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Strecken gleich lang und die Winkel an jedem Eckpunkt sind gleich groß. Hier im Bild siehst du regelmäßige Vielecke:

Regelmäßige Vielecke

Bei einem regelmäßigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Winkel haben dieselbe Größe, nämlich $60^\circ$. Als Verkehrszeichen kommt das regelmäßige Dreieck bei Gefahren-Schildern und beim Schild Vorfahrt gewähren vor.

Man nennt ein regelmäßiges Dreieck auch gleichseitiges Dreieck. Denn jedes Dreieck mit drei gleich langen Seiten ist ein regelmäßiges Dreieck. Die Eigenschaft, dass auch alle Winkel dieselbe Größe haben, ergibt sich von selbst. Dies gilt aber nur bei Dreiecken.

Damit ein Viereck regelmäßig ist, genügt es nicht, dass alle vier Seiten gleich lang sind. Es müssen zusätzlich alle vier Winkel dieselbe Größe haben. Ein solches Viereck kennst du bestimmt: Man nennt es Quadrat. Im Bild hier siehst du neben dem Quadrat ein weiteres Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang, aber nicht alle Winkel gleich groß sind. Dieses Viereck ist unregelmäßig.

Diagonalen in regelmäßigen und unregelmäßigen Vielecken

Ein Quadrat hat noch weitere interessante Eigenschaften: Die beiden Diagonalen haben dieselbe Länge. Das Quadrat hat genauso viele Symmetrieachsen wie Eckpunkte, nämlich vier. Außerdem ist es punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Das Quadrat ist das einzige regelmäßige Viereck. Alle anderen Vierecke, zum Beispiel Rechtecke, Parallelogramme und Trapeze, sind unregelmäßig, auch wenn sie eine oder mehrere Symmetrieachsen haben.

Unregelmäßige Vielecke

Ein Vieleck heißt unregelmäßig, wenn nicht alle Strecken gleich lang oder nicht alle Winkel gleich groß sind. Ein unregelmäßiges Viereck mit gleich langen Seiten und ungleichen Winkeln hast du schon oben im Bild gesehen.

Zwei besonders auffällige Verkehrszeichen sind diese unregelmäßigen
$n$-Ecken:

Unregelmäßige Vielecke

Findest du heraus, um welche Vielecke es sich handelt? Der Pfeil oben im Bild ist ein unregelmäßiges Fünfeck mit verschieden langen Seiten und verschieden großen Winkeln. Die Figur unten im Bild heißt als Verkehrszeichen Andreaskreuz, das an Bahnübergängen die Vorfahrt für Schienenfahrzeuge anzeigt. Zähle genau nach: Das Andreaskreuz ist kein Achteck, sondern ein Zwölfeck. Es hat verschieden lange Seiten und verschieden große Winkel.

Regelmäßige und unregelmäßige Vielecke – Vergleich

Zum Vergleich mit dem Pfeil schauen wir uns ein regelmäßiges Fünfeck an:

Regelmäßiges Fünfeck

Das regelmäßige Fünfeck oder Pentagon hat fünf gleich lange Seiten und fünf gleich große Winkel. Seine $10$ Diagonalen haben alle dieselbe Länge und bilden zusammen einen Fünfstern (Pentagramm). Das Pentagon hat fünf Symmetrieachsen und ist nicht punktsymmetrisch.

Halten wir die Eigenschaften regelmäßiger Vielecke fest:

  • Alle Strecken haben dieselbe Länge.
  • Alle Winkel haben dieselbe Größe.
  • Alle Diagonalen haben dieselbe Länge.
  • Ein regelmäßiges $n$-Eck hat $n$ Symmetrieachsen.
  • Ein regelmäßiges $n$-Eck ist genau dann punktsymmetrisch, wenn $n$ gerade ist.

Transkript Eigenschaften von Vielecken

So ein Verkehrschaos! Alles geht drunter und drüber, jeder fährt, wie er will! So geht das nicht weiter! Der Bürgermeister beauftragt die Designer Dr. Deborah Sign und Dr. Ray Gular eine Lösung zu finden. Die beiden haben die Idee Verkehrsschilder müssen her! Und für die beiden ist das kein Problem, denn sie kennen die Eigenschaften von Vielecken. Dr. D. Sign entwirft am liebsten Verkehrsschilder, die wie unregelmäßige Vielecke geformt sind. Wie du siehst, sind das ebene Figuren, die eine bestimmte Anzahl von Ecken haben, die mit der gleichen Anzahl an Strecken verbunden werden. Solche Figuren bezeichnet man als Vielecke. Manchmal wird ein Vieleck auch als 'n-Eck' bezeichnet. Das n steht dann als Platzhalter für die Anzahl der Ecken bzw. Verbindungsstrecken. Ein n-Eck hat also n Ecken, die durch n Strecken verbunden werden. Dr. R. Gular bevorzugt Verkehrsschilder, die wie regelmäßige Vielecke geformt sind. Bei diesen regelmäßigen Vielecken sind alle Seiten gleich lang und die Winkel in den Ecken sind alle gleich groß. Hier siehst du Dr. R. Gulars erstes Schild. Es handelt sich um ein dreieckiges Achtung-Schild mit rotem Rand. Man beachte das formschöne und doch auffällige Design, das jedem Autofahrer sofort zeigt, dass er hier sehr aufmerksam fahren muss. Das Dreieck ist regelmäßig. Das erkennst du daran, dass es drei gleich lange Seiten hat. Und auch die Winkel in den drei Ecken sind mit 60 Grad alle gleich groß. Ein Dreieck, das diese Eigenschaften hat, wird gleichseitiges Dreieck genannt. Alle Dreiecke, die nicht gleichseitig sind, sind keine regelmäßigen Vielecke. Sein nächstes Verkehrszeichen zeigt an, dass der Fahrer auf dieser Straße Vorfahrt hat. Die klassisch geformte Figur mit der hellen Farbe gibt dem Fahrer zu verstehen, dass er hier recht hat. Erkennst du die Figur wieder? Sie hat 4 gleich lange Seiten und 4 gleich große Winkel von 90 Grad. Bei diesem regelmäßigen Viereck handelt es sich also um ein Quadrat. Es hat noch mehr Besonderheiten. Die beiden Diagonalen sind gleich lang, es gibt insgesamt 4 Symmetrieachsen und es ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Alle anderen Vierecke, also lustig geformte allgemeine Vierecke oder auch Rechtecke, Trapeze und Parallelogramme sind unregelmäßige Vielecke. Hier zeigt Dr. D. Sign einen fünfeckigen Pfeil. Die auffällige Asymmetrie in der Gestaltung gibt exzellent die Richtung an, in welche der Autofahrer fahren muss. Dieses Fünfeck ist ein unregelmäßiges Fünfeck, denn weder die Seitenlängen noch die Winkel sind alle gleich groß. Kannst du dir vorstellen, wie ein regelmäßiges Fünfeck aussieht? Hier siehst du es. Es hat fünf gleich lange Seiten und alle Winkel sind gleich groß. Auch die 5 Diagonalen sind gleich lang. Außerdem hat ein regelmäßiges Fünfeck 5 Symmetrieachsen, ist aber nicht punktsymmetrisch. Dr. R. Gular stellt hier sein Stoppschild vor. Das ist ein regelmäßiges Achteck. Es hat 8 gleich lange Seiten und die acht Winkel in den Ecken sind auch alle gleich groß. Die vier Diagonalen der gegenüberliegenden Punkte sind gleich lang es hat sogar 8 Symmetrieachsen und es ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Dr. D. Sign entwirft noch ein Andreaskreuz. Das kennzeichnet den Bahnübergang. Auch das ist ein Vieleck. Schau mal, wie viele Ecken es hat es sind zwölf, denn auch die Einbuchtungen musst du als Ecken mitzählen. Da die Winkel und Verbindungsstrecken nicht alle gleich groß sind handelt es sich hier um ein unregelmäßiges Zwölfeck. Fassen wir nochmal zusammen. Ein Vieleck, auch n-Eck genannt, ist eine ebene Figur mit einer bestimmten Anzahl von Ecken und genauso vielen Verbindungsstrecken. Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel in den Ecken gleich groß und alle Verbindungsstrecken gleich lang. Außerdem hat es so viele Symmetrieachsen, wie es Ecken hat. Regelmäßige Vielecke mit gerader Eckenanzahl sind außerdem punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Der Bürgermeister ist begeistert! Aber da hat ihn wohl der Schilderwahn gepackt!

11 Kommentare

11 Kommentare
  1. Die hätten auch einfach eine Fahrschule erfinden können

    Von Ben, vor 11 Tagen
  2. regelmassigs Funfeck=\[ist] ein pentagon!
    wieso wissen sie das sogar nicht

    Von Team Digital, vor 2 Monaten
  3. find ich gut

    Von Die Astrogurke, vor 4 Monaten
  4. gutes video

    Von Julian s., vor 8 Monaten
  5. stimmt ja. Deutschland ist ein Schilderwald

    Von Ckoch72, vor 8 Monaten
Mehr Kommentare

Eigenschaften von Vielecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Eigenschaften von Vielecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe regelmäßige und unregelmäßige Vielecke.

    Tipps

    Zähle die Ecken der Figuren.

    Beachte auch die Ecken der spitzen Winkel.

    Diese Figur ist ein unregelmäßiges Fünfeck, denn es hat fünf Ecken, und die Winkel sind nicht alle gleich groß.

    Lösung
    1. Das erste Bild zeigt ein Achteck, denn die Figur hat $8$ Ecken und $8$ Seiten. Dieses Achteck ist regelmäßig. Das erkennst Du daran, dass seine Winkel alle gleich groß sind. Wie jedes regelmäßige Vieleck hat es genauso viele Symmetrieachsen wie Ecken.
    2. Die zweite Figur ist ein Sechseck, denn sie hat $6$ Ecken und $6$ Seiten. Obwohl alle Seiten gleich lang sind, ist das Sechseck unregelmäßig, denn nicht alle Winkel sind gleich groß.
    3. Das Andreaskreuz hat $12$ Ecken und $12$ Seiten und ist daher ein Zwölfeck. Da die Winkel und Verbindungsstrecken nicht alle gleich groß sind, ist es ein unregelmäßiges Vieleck. Das Andreaskreuz hat zwei Symmetrieachsen.
  • Benenne die Eigenschaften von Vielecken.

    Tipps

    Ein gleichschenkliges Dreieck ist kein regelmäßiges Dreieck.

    Bei einem Parallelogramm müssen die Seiten nicht verschieden lang sein.

    Ein regelmäßiges Fünfeck ist nicht punktsymmetrisch, ein regelmäßiges Dreieck auch nicht.

    Lösung

    Folgende Sätze sind richtig:

    • „Sind bei einem $n$-Eck zwei Seiten unterschiedlich lang, so ist es unregelmäßig.“
    • „Ist ein regelmäßiges $n$-Eck punktsymmetrisch, so ist die Anzahl der Ecken gerade.“
    • „Ein regelmäßiges Dreieck ist dasselbe wie ein gleichseitiges Dreieck.“
    • „Die Anzahl der Seiten eines Vielecks ist gleich der Anzahl der Ecken.“
    Diese Sätze sind falsch:

    • „Bei einem unregelmäßigen $3$-Eck sind alle drei Seiten unterschiedlich lang.“ Gleichschenklige Dreiecke haben zwei gleich lange Seiten, die Schenkel, sind aber keine regelmäßigen Vielecke, denn dazu müssten alle drei Seiten gleich lang und alle drei Winkel gleich groß sein.
    • „Sind bei einem $n$-Eck alle Seiten gleich lang, so ist es ein regelmäßiges $n$-Eck.“ Es gibt unregelmäßige $n$-Ecke, bei denen alle Seiten gleich lang sind, aber die Winkel nicht alle gleich groß, z.B. Rauten mit vier gleich langen Seiten, die keine Quadrate sind oder Parallelogramme mit vier gleich langen Seiten.
    • „Ein regelmäßiges Fünfeck hat fünf Symmetrieachsen und ist punktsymmetrisch.“ Punktsymmetrisch zum Mittelpunkt sind nur die regelmäßigen $n$-Ecke mit einer geraden Anzahl an Ecken.
  • Charakterisiere regelmäßige und unregelmäßige Vielecke.

    Tipps

    Eine Symmetrieachse eines Vielecks ist eine Gerade, an der Du das Vieleck spiegeln kannst, so dass das Spiegelbild mit dem ursprünglichen Vieleck deckungsleich ist.

    Ein regelmäßiges $n$-Eck hat genau $n$ Symmetrieachsen.

    Dies ist ein unregelmäßiges Fünfeck, denn es hat $5$ Ecken und keine Symmetrieachsen.

    Lösung

    Die Bilder zeigen ein regelmäßiges Siebeneck, ein regelmäßiges Achteck und ein unregelmäßiges Achteck. Das unregelmäßige Achteck hat ungleiche Winkel, die regelmäßigen Vielecke haben $7$ bzw. $8$ gleiche Winkel. Das regelmäßige Siebeneck hat $7$ Symmetrieachsen, das regelmäßige Achteck $8$ Symmetrieachsen. Das hier gezeigte unregelmäßigen Achteck hat keine Symmetrieachsen. Das regelmäßige Achteck ist zudem punktsymmetrisch zum Mittelpunkt, das Siebeneck nicht.

  • Erschließe die Eigenschaften von Vielecken.

    Tipps

    An einer Spiegelachse kannst Du eine Figur so spiegeln, dass sie mit ihrem Spiegelbild deckungsleich ist.

    Eine Punktspiegelung ist dasselbe wie eine Drehung um $180^\circ$.

    Lösung

    Der Pfeil für die Einbahnstraße ist ein Fünfeck. Würde der Pfeil in beide Richtungen zeigen, so wäre er als Straßenschild witzlos, aber als Vieleck ein Sechseck, denn es würde nur eine weitere Ecke hinzukommen: die Spitze in der entgegengesetzten Richtung. Das Fünfeck ist unregelmäßig, denn seine Seiten sind nicht alle gleich lang. Sieh genau hin: es gibt bei diesem Schild genau $3$ verschiedene Seitenlängen, denn die beiden waagerechten Seiten sowie die beiden schrägen Seiten an der Spitze sind jeweils gleich lang. Dadurch ist das Schild nicht völlig asymmetrisch: es hat genau $1$ Symmetrieachse. Es ist aber nicht punktsymmetrisch.

    Das Andreaskreuz für den Bahnübergang ist ein Zwölfeck, denn es hat $12$ Ecken und $12$ Seiten. Das Andreaskreuz ist zwar nicht regelmäßig, es hat aber trotzdem nur $3$ verschiedene Winkel. Der rechte Winkel tritt sogar insgesamt $8$ mal auf.

    Wie der Pfeil ist auch das Andreaskreuz nicht völlig asymmetrisch: einerseits ist es punktsymmetrisch zum Mittelpunkt, andererseits hat es auch mehr als eine Symmetrieachse, nämlich $2$.

  • Bestimme die Vielecke.

    Tipps

    Zähle die Seiten der Figuren.

    Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel gleich groß.

    Das regelmäßige Achteck bedeutet im Straßenverkehr: STOP!

    Lösung
    1. Die Figur hat $4$ Ecken und keine Symmetrien. Es ist daher ein unregelmäßiges Viereck.
    2. Hier ist ein regelmäßiges Fünfeck zu sehen, denn alle $5$ Seiten und alle $5$ Winkel sind gleich groß.
    3. Diese Figur ist ebenfalls regelmäßig: alle $8$ Winkel und $8$ Seiten sind bei diesem Achteck gleich.
    4. Zähle genau: diese Figur hat $6$ Ecken. Auch die einspringende Ecke in der Einbuchtung zählt mit. Das Sechseck ist unregelmäßig, denn die Winkel sind nicht alle gleich.
    5. Hier ist noch einmal ein Sechseck zu sehen, dieses ist aber regelmäßig.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel gleich groß. Überlege, welche Aussage bei einem unregelmäßigen Vieleck für die Winkel gilt.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Bei einem unregelmäßigen Vieleck gibt es mindestens zwei verschieden lange Diagonalen.“ Rechtecke sind ein gutes Gegenbeispiel: Hier sind die beiden Diagonalen gleich lang.
    • „Hat ein $n$-Eck mehrere Symmetrieachsen und ist punktsymmetrisch, so ist es ein regelmäßiges Vieleck mit einer geraden Anzahl an Ecken.“ Das Andreaskreuz ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt und hat zwei Symmetrieachsen, ist aber nicht regelmäßig. Die Aussage wäre richtig, wenn die Anzahl der Symmetrieachsen gleich der Anzahl der Ecken vorausgesetzt wäre.
    • „Es gibt kein unregelmäßiges Vieleck, bei dem die Winkel zwischen je zwei benachbarten Diagonalen alle gleich groß sind.“ Ein regelmäßiger Fünfstern ist ein gutes Gegenbeispiel. Der Fünfstern ist ein Zehneck mit fünf Symmetrieachsen. Die Winkel zwischen je zwei benachbarten Diagonalen sind gleich groß. Aber der Fünfstern ist kein regelmäßiges Zehneck.
    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Anzahl der Symmetrieachsen eines Vielecks ist höchstens so groß wie die Anzahl der Ecken.“ Verwendest Du mehr Spiegelachsen als Du Ecken hast, so entstehen bei der Spiegelung neue Ecken. Denn bei jeder neuen Spiegelung entsteht ein Spiegelbild der Ecke. Hast Du weniger Ecken als Spiegelachsen, so kommen durch die Spiegelung neue Ecken dazu. Das Prinzip kennst Du vielleicht vom Papierfalten.
    • „Hat ein Dreieck zwei Symmetrieachsen, so ist es regelmäßig.“ Ein regelmäßiges Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Ein unregelmäßiges Dreieck kann aber höchstens eine Symmetrieachse haben, es ist dann gleichschenklig. Sobald eine zweite Symmetrieachse auftritt, müssen bereits alle drei Winkel gleich groß sein, d.h. es das Dreieck ist gleichseitig, und es gibt notwendig eine dritte Symmetrieachse. Findest Du eine ähnliche Aussage für Vielecke? Versuche es erstmal mit Vierecken!
    • „Sind die Winkel zwischen je zwei benachbarten Diagonalen eines Vielecks gleich groß und alle Diagonalen gleich lang, so ist das Vieleck regelmäßig.“ Aus der Winkelgleichheit und der Gleichheit der Diagonalen kannst Du mit etwas Geschick folgern, dass auch alle Seiten gleich lang sein müssen.
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