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Vielecke im Überblick

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Mathe-Team
Vielecke im Überblick
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Vielecke im Überblick

Zu Beginn lernst du, was ein Vieleck ist. Dabei werden die Begriffe Ecke, Diagonale, Seite (Kante), Winkel in einem Vieleck veranschaulicht und erklärt. Danach lernst du, wie du diese Elemente eines Vielecks korrekt beschreibst. Anschließend werden dir verschiedene regelmäßige und unregelmäßige Vielecke vorgestellt. Zum Schluss lernst du, wie man mit Hilfe eines Zirkels und Lineals ein regelmäßiges Dreieck und Sechseck konstruiert.

Transkript Vielecke im Überblick

Heute wirst du erfahren, was ein Vieleck ist und was für verschiedene Arten von Vielecken es gibt.

  • Erstens erkläre ich dir, was für Begriffe mit dem Vielecken zusammenhängen, damit du ein Vieleck richtig beschreiben kannst.
  • Als nächstes zeige ich dir, wann ein Vieleck regelmäßig und wann es unregelmäßig ist.
  • Am Ende wirst du noch die Möglichkeit haben, dir viele Beispiele von regelmäßigen und unregelmäßigen Vielecken anzuschauen und manche von den regelmäßigen Vielecken zu konstruieren.

Auch im Alltag kann man auf viele Arten von Vielecken treffen. Ein berühmtes Vieleck ist zum Beispiel das Pentagon, also der Hauptsitz des US-amerikanischen Verteidigungsministeriums. Grundriss dieses Gebäudes ist nämlich ein Fünfeck, also anders ausgedrückt ein Pentagon.

Schaue dir jetzt die Frankreichkarte an. Frankreich wird aufgrund seiner geographischen Form als Hexagon, also anders ausgedrückt als ein Sechseck bezeichnet. Vielleicht kennst du sogar noch weitere Beispiele für “berühmte” Vielecke?

Was ist ein Vieleck?

Ein Vieleck ist eine geometrische Figur, die auch als Polygon bezeichnet wird. Du erhältst es, indem du mindestens drei nicht auf der gleichen Geraden liegende Punkte miteinander verbindest, sodass eine geschlossene Figur entsteht und von jedem Punkt immer nur zwei Strecken ausgehen.

Diese Strecken heißen Seiten oder Kanten und ihre gemeinsamen Punkte Ecken des Vielecks. Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten beschriftet man mit Kleinbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn.

Ein Vieleck hat immer genauso viele Ecken wie Seiten. Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, Sechsecke usw. sind Beispiele für Vielecke.

Die Vielecke besitzen auch Innenwinkel. Die Winkel beschriftet man mit griechischen Kleinbuchstaben, passend zum Eckpunkt. Winkel Alpha beim Eckpunkt A, Winkel Beta beim Eckpunkt B, Winkel Gamma beim Eckpunkt C, Winkel Delta beim Eckpunkt D usw.

Die Winkelsumme für die Dreiecke beträgt 180 Grad, für die Vierecke 360 Grad, für die Fünfecke 540 Grad usw. Die Innenwinkelsumme eines n-Ecks kriegst du also raus, wenn du die Anzahl n der Ecken minus 2 mal 180 Grad rechnest: (n - 2)*180°.

Die Vielecke, die mindestens vier Ecken haben, besitzen sogenannte Diagonalen. Solche Diagonalen sind die Verbindungsstrecken von nicht nebeneinander liegenden Ecken. Die Beschriftung der Diagonalen erfolgt mit Kleinbuchstaben.

Regelmäßige und unregelmäßige Vielecke

Vielecke können regelmäßig oder unregelmäßig sein. Wenn alle Innenwinkel und alle Seiten eines Vielecks gleich groß sind, dann ist das Vieleck regelmäßig. Zum Vergleich zeig ich dir jetzt verschiedene regelmäßige und unregelmäßige Vielecke.

Zu den unregelmäßigen Vielecken gehören zum Beispiel:

  • Parallelogramm – Ein Viereck bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.
  • Trapez – Ein Viereck mit mindestens zwei parallel zueinander liegenden Seiten.
  • Deltoid oder Drachenviereck – Ein Viereck, bei dem zwei benachbarte Seiten gleich lang sind.
  • Rechteck – Ein Viereck mit 4 rechten Innenwinkeln.

Jetzt noch ein regelmäßiges Vieleck, das du bestimmt kennst, es ist ein Quadrat. Ein Quadrat ist ein Rechteck bei dem alle vier Seiten gleichlang sind.

Es gibt auch Vielecke, die sowohl regelmäßig als auch unregelmäßig sein können. Wie zum Beispiel ein Dreieck oder eine Raute, also ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten.

Beim linken Dreieck sind alle Seiten und Winkel gleich groß. Bei dem Rechten sind die Seiten als auch die Winkel unterschiedlich.

Bei der linken Raute sind alle Seiten und Winkel gleich groß, bei der rechten sind zwar alle Seiten gleichlang, aber die Winkel haben unterschiedliche Größen, deswegen ist diese Raute unregelmäßig.

Auch die Fünf-, Sechs-, Siebenecke usw. können entweder regelmäßig oder unregelmäßig sein. Schaue dir die Beispiele für ein Fünfeck und ein Achteck an. Ein Fünfeck wird auch als Pentagon bezeichnet und ein Achteck als Oktagon.

Konstruktion regelmäßiger Vielecke

Einige von den regelmäßigen Vielecken kannst du mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören zum Beispiel ein regelmäßiges Dreieck und Sechseck. Schaue dir die Konstruktion an.

Man konstruiert zuerst mit dem Zirkel einen Kreis. Als nächstes trägt man mit dem Zirkel auf dem Kreisbogen sechsmal den gleichen Radius ab. Die Verbindungstrecken der Schnittpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Verbindet man nur jeden zweiten Schnittpunkt, dann bilden die Verbindungstrecken ein regelmäßiges Dreieck.

Zusammenfassung

Du hast heute viel gelernt. Du weißt jetzt was ein Vieleck ist. Du hast auch viele Begriffe kennengelernt, mit deren Hilfe du die Vielecke beschreiben kannst, wie zum Beispiel Ecke, Seite oder Kante, Winkel und Diagonale. Du kannst diese Elemente des Vielecks auch korrekt beschreiben.

Du kannst jetzt auch die regelmäßigen und unregelmäßigen Vielecke voneinander unterscheiden und du kennst auch viele Beispiele von regelmäßigen und unregelmäßigen Vielecken. Manche der regelmäßigen Vielecke, wie zum Beispiel ein regelmäßiges Dreieck und ein Sechseck kannst du jetzt konstruieren.

Ich hatte heute viel Spaß und hoffe du auch. Ich freue mich dich bald wieder zu sehen. Tschüss!

22 Kommentare

22 Kommentare
  1. gut

    Von Sy Ying, vor 2 Monaten
  2. :DANKE

    Von Abboodasj, vor 2 Monaten
  3. Hallo Trolex B. ,
    zur Berechnung der Anzahl von Diagonalen in Vielecken gibt es eine Formel. Diese lautet: n(n-3)/2 , n ist die Anzahl der Ecken. Sie ergibt sich daraus, dass du jeden Punkt, mit jedem anderen Punkt verbinden musst. Ich hoffe das hilft dir.
    Viele Grüße aus der Redaktion.

    Von Saskia Huebner, vor etwa einem Jahr
  4. Wie kann man die Anzahl der Diagonalen eines Vielecks bestimmen???

    Von Trolex B., vor etwa einem Jahr
  5. Hallo Lianakatze,
    zur Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks haben wir leider kein Video. Vielleicht hilft dir folgendes Video dennoch bei der Konstruktion:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/regelmaessiges-fuenfeck-seitenlaengen-und-winkelgroessen?topic=1083
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
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Vielecke im Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vielecke im Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen über Vielecke zusammen.

    Tipps

    Das Gebäude des amerikanischen Verteidungsministeriums ist ein Pentagon und der Grundriss von Frankreich sieht so ähnlich aus wie ein Hexagon.

    Nimm ein Blatt Papier und zeichne ein Vieleck, zum Beispiel ein Viereck. Benenne es, wie du es gelernt hast. Das hilft dir beim Lösen des Lückentextes.

    Lösung

    Polygon heißt wörtlich übersetzt eigentlich „viele Winkel". Da Winkel aber nur da entstehen können, wo zwei Linien aufeinander treffen, wird Polygon oft mit „viele Ecken" oder Vieleck übersetzt. Die Vorsilbe „penta" steht für fünf, „hexa" für sechs.

    Die Benennung von Vielecken ist einheitlich festgelegt: Die Außenlinien sind die Seiten, Kanten oder Seitenkanten und werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Die Enden der Seiten sind Punkte und werden mit Großbuchstaben bezeichnet.

    Eigentlich ist die Benennung der Punkte und Seiten egal. So können die Eckpunkte eines Dreiecks auch E, U und Y heißen und die Seiten g, i und m. Zur Vereinfachung verwendet man aber meistens A, B, C für die Punkte und a, b und c für die Seiten.

    Bei Dreiecken heißen die Seiten so wie die gegenüberliegenden Punkte. Bei Vierecken heißen die Seiten wie die anliegenden Punkte.

    Um nun die Innenwinkel zu beschriften, benutzt man - da Groß- und Kleinbuchstaben schon vergeben sind - das griechische Alphabet.

    Bei den Diagonalen wiederum denkt man daran, dass es sich dabei um Strecken handelt und verwendet deswegen zur Benennung Kleinbuchstaben.

  • Benenne die abgebildeten Vielecke.

    Tipps

    Beginne mit Begriffen, die dir leicht fallen.

    Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel zueinander sind.

    Bei einem Parallelogramm sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Rauten, Rechtecke und Quadrate sind besondere Arten von Parallelogrammen.

    Lösung

    Zähle die Ecken, so kannst du Dreieck, Fünfeck und Sechseck leicht zuordnen.

    Quadrat, Raute, Rechteck, Parallelogramm und Trapez sind Vierecke.

    Im Trapez ist ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel.

    Im Parallelogramm, einem besonderen Trapez, sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang.

    Rechtecke sind besondere Parallelogramme: Dort sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang und alle Winkel betragen 90°.

    Auch die Raute ist ein besonderes Parallelogramm: Sie hat vier gleich lange Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel.

    Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten, jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und alle Winkel betragen 90°. Es ist sowohl ein besonderes Rechteck als auch eine besondere Raute.

  • Entscheide, welche Bedingungen für regelmäßige Vielecke gelten.

    Tipps

    Ein gleichseitiges Dreieck ist das einfachste regelmäßige Vieleck. Überlege, welche der Aussagen auf diese Figur zutreffen.

    Nur zwei Aussagen sind richtig.

    Lösung

    In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel und alle Seiten gleich groß.

    Das abgebildete Pentagon zum Beispiel ist ein regelmäßiges Fünfeck. Man erkennt deutlich, dass alle Winkel zwar gleich groß sind, aber nicht 90° betragen.

    Außerdem sieht man, dass alle Seiten zwar gleich lang sind, aber nicht parallel zueinander.

    Das einfachste regelmäßige Vieleck ist ein gleichseitiges Dreieck. Es gibt also auch regelmäßige Vielecke mit weniger als vier Ecken.

  • Benenne die Bestandteile des Vierecks.

    Tipps

    Bei Dreiecken werden die Seiten benannt wie die gegenüberliegenden Punkte. Bei Vierecken erhalten die Seiten den gleichen Buchstaben wie die anliegenden Seiten.

    Der griechische Buchstabe für a ist $\alpha$. Er befindet sich bei Punkt A in Vierecken.

    Lösung

    Die Seiten eines Vierecks werden entgegen des Uhrzeigersinns mit Kleinbuchstaben benannt. Also muss die obere Seite mit c bezeichnet werden, die untere Seite mit a.

    Der Punkt A liegt links an der Seite a an. Die anderen drei Punkte werden entsprechend gegen den Uhrzeigersinn mit B, C und D bezeichnet.

    Die Winkel erhalten die gleichen Buchstaben wie die Punkte, an denen sie sich befinden, allerdings als griechische Buchstaben:

    • α (Alpha) bei A
    • β (Beta) bei B
    • γ (Gamma) bei C
    • δ (Delta) bei D
  • Ordne die Vielecke den passenden Arten zu.

    Tipps

    Vielecke werden nach der Anzahl ihrer Ecken benannt.

    Lösung

    Vielecke werden nach der Anzahl ihrer Ecken sortiert.

    Ein Vieleck muss mindestens drei Ecken haben, eine Obergrenze für die Anzahl der Ecken gibt es nicht.

    Es gibt gerade bei den Vierecken viele unterschiedliche Arten, zum beispiel Quadrat, Raute, Rechteck, Parallelogramm und Trapez. Im Trapez ist ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel.

    Im Parallelogramm, einem besonderen Trapez, sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang.

    Rechtecke sind besondere Parallelogramme: Dort sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang und alle Winkel betragen 90°.

    Auch die Raute ist ein besonderes Parallelogramm: Sie hat vier gleich lange Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel.

    Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten, jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und alle Winkel betragen 90°. Es ist sowohl ein besonderes Rechteck als auch eine besondere Raute.

  • Wie groß ist der Innenwinkel der angegebenen Figur?

    Tipps

    Hier benötigst du eine Nebenrechnung.

    Verwende die Formel zur Berechnung der Winkelsumme eines n-Ecks.

    Die Formel zur Berechnung der Winkelsumme eines n-Ecks lautet:

    Winkelsumme $= (n-2) \cdot 180$°.

    Erinnere dich: Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.

    Wenn du die Winkelsumme kennst, wie groß ist dann jeder einzelne Innenwinkel des Oktagons?

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung eines n-Ecks lautet:

    Winkelsumme $=(n-2) \cdot 180$°.

    Das gezeigte Vieleck ist ein Achteck, also ist $n=8$. Damit errechnest du die Winkelsumme so:

    $\begin{align} \text{Winkelsumme} &= (8 -2)\cdot 180°\\ &=6 \cdot 180°\\ &= 1080° \end{align}$.

    Diese $1080°$ werden nun auf 8 gleiche Winkel aufgeteilt, also:

    $\begin{align} \text{Innenwinkel} &= 1080° : 8\\ &=135°\end{align}$.

    Jeder Innenwinkel hat also eine Größe von $135°$.

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