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Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken

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Team Digital
Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken

Inhalt

Drachenviereck – Definition

Ein Drachenviereck ist ein Viereck mit je zwei benachbarten, gleich langen Seiten. Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch entlang einer Diagonalen. Diese Diagonale teilt die andere Diagonale in zwei gleich lange Abschnitte. Die beiden Diagonalen des Drachenvierecks stehen senkrecht aufeinander. Drachenviereck

Raute und Quadrat als spezielle Drachenvierecke

Die Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und ein Spezialfall eines Drachenvierecks. Die Raute wird auch Rhombus genannt. Die gegenüberliegenden Seiten einer Raute sind parallel zueinander. Die Diagonalen der Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig.

Raute

Ein Quadrat ist eine spezielle Raute und damit auch ein spezielles Drachenviereck. Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Die Diagonalen des Quadrats stehen senkrecht aufeinander, halbieren sich gegenseitig und sind gleich lang.

Quadrat

Flächeninhalt und Umfang von Drachenvierecken

Den Umfang eines Vierecks berechnet man, indem man alle vier Seitenlängen addiert. Weil das Drachenviereck zwei Paare gleich langer Seiten hat, kann man zur Berechnung des Umfangs auch die beiden unterschiedlichen Seitenlängen mit $2$ multiplizieren und dann addieren. Die Formel für den Umfang eines Drachenvierecks lautet also:

$U = a+a+b+b=2\cdot a + 2\cdot b$

Drachenviereck mit Beschriftung der Seiten

Als Nächstes lernen wir, wie man den Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnet. Dafür kippen wir das Drachenviereck auf die Seite. So können wir gut sehen, dass das Drachenviereck aus zwei kongruenten Dreiecken besteht, wenn man es entlang der Symmetrieachse teilt. Zwei kongruente Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt. Deswegen können wir den Flächeninhalt für eines der Dreiecke berechnen und dann mit $2$ multiplizieren, um den Flächeninhalt des Drachenvierecks zu erhalten.

Drachenviereck

Den Flächeninhalt von Dreiecken berechnen wir mit der Formel $A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$ mit der Grundseite $g$ und der Höhe $h$. Die Grundseite entspricht hier der Diagonalen $f$. Die Höhe entspricht der Hälfte der Diagonale $e$, also $h=\frac{1}{2}\cdot e$. Insgesamt ergibt sich so für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks die Formel:

$A=2\cdot \frac{1}{2}\cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$

Hierbei sind $e$ und $f$ die beiden Diagonalen des Drachenvierecks. In der Formel für den Flächeninhalt spielt es also keine Rolle mehr, welche der beiden Diagonalen die Symmetrieachse ist.

Umfang und Flächeninhalt eines Drachenvierecks – Beispiel

Wir berechnen nun den Umfang und den Flächeninhalt des Drachenvierecks mit den Seitenlängen $a=\pu{2,6 cm} $, $b=\pu{7,4 cm}$ und den Diagonalen $e= \pu{4,8 cm} $, $f= \pu{8 cm}$.

Wir setzen diese Werte in die Formeln ein:

$U = 2\cdot a + 2\cdot b = 2\cdot \pu{2,6 cm} + 2\cdot \pu{7,4 cm} = \pu{20 cm}$

$A=\frac{1}{2} \cdot e \cdot f=\frac{1}{2} \cdot \pu{4,8 cm}\cdot \pu{8 cm} = \pu{19,2 cm^{2}} $

Flächeninhalt und Umfang von Rauten

Weil jede Raute ein spezielles Drachenviereck ist, können wir die Formeln für Umfang und Flächeninhalt genauso aufstellen. Weil die Raute sogar vier gleich lange Seiten hat, vereinfacht sich die Formel für den Umfang:

$U = 2\cdot a + 2\cdot a = 4\cdot a$

Raute mit Beschriftung der Seiten

Die Formel für den Flächeninhalt der Raute lautet:

$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$

Umfang und Flächeninhalt einer Raute – Beispiel

Wir berechnen nun den Umfang und den Flächeninhalt der Raute mit der Seitenlänge $a=\pu{5,1 cm}$ und den Diagonalen $e=\pu{4,8 cm}$, $f=\pu{9 cm}$:

$U = 4\cdot \pu{5,1 cm} = \pu{20,4 cm}$ $A= \frac{1}{2} \cdot \pu{4,8 cm}\cdot \pu{9 cm} = \pu{21,6 cm^{2}}$

Flächeninhalt und Umfang von Quadraten

Den Umfang eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ kann man genau wie bei der Raute berechnen:

$U = 4\cdot a$

Vielleicht kennst du schon die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$:

$A=a^{2}$

Weil das Quadrat eine spezielle Raute und damit auch ein Drachenviereck ist, kann man den Flächeninhalt eines Quadrats aber auch mithilfe der Diagonalen $e$ berechnen:

$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot e =\frac{1}{2} e^{2}$

Wenn du wiederholen möchtest, wie man den Flächeninhalt und den Umfang bei Quadraten berechnet, kannst du dir das Video Flächeninhalt und Umfang von Quadraten anschauen.

Zusammenfassung – Umfang und Flächeninhalt von Drachenvierecken, Rauten und Quadraten

Hier noch mal ein Überblick über die Formeln, die wir in diesem Video gelernt haben:

Drachenviereck Raute Quadrat
Drachenviereck mit Beschriftung der Seiten Raute mit Beschriftung der Seiten Quadrat
$U =2\cdot a + 2\cdot b$ $U = 4\cdot a$ $U = 4\cdot a$
$A=\frac{1}{2} \cdot e \cdot f$ $A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$ $A=\frac{1}{2} e^{2}$

Transkript Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken

Was für schöne Ohrringe! Genau richtig für Sebastians Freundin Matilda. Um die Größe der Schmuckstücke gut miteinander vergleichen zu können, muss Sebastian Flächeninhalt und Umfang von Drachenvierecken und Rauten berechnen können. Schauen wir uns so ein Drachenviereck einmal genauer an: Es besitzt HIER zwei benachbarte, gleich lange Seiten und HIER auch. Jedes Drachenviereck ist ACHSENSYMMETRISCH. Die Symmetrieachse verläuft dabei auf EINER der beiden Diagonalen. Die ANDERE Diagonale wird von dieser in zwei gleich lange Abschnitte geteilt. Beide Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Auch jede RAUTE ist ein Drachenviereck. Eine Raute, auch RHOMBUS genannt, besitzt aber VIER gleich lange Seiten und ZWEI Symmetrieachsen, die entlang beider Diagonalen verlaufen. Die Diagonalen teilen sich hier GEGENSEITIG in je zwei gleich lange Abschnitte. Schließlich ist jedes QUADRAT eine spezielle Raute und damit ein spezielles Drachenviereck. Beim Quadrat gibt es vier rechte Winkel und zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren. Weil Raute und Quadrat spezielle Drachenvierecke sind, können wir alle Erkenntnisse zu Drachenvierecken auch auf Raute und Quadrat anwenden. Praktisch, oder? Schauen wir uns zunächst diesen schönen Ohrring in der Form eines Drachenvierecks an. DIESE Seiten haben eine Länge von 2,6 cm und DIESE von 7,4 cm. Die KURZE Diagonale ist 4,8 cm lang und die LANGE 8 cm. Wie groß ist der UMFANG? Den berechnen wir wie bei jedem anderen Viereck: Wir addieren alle 4 Seitenlängen. Aber im Drachenviereck gibt es je zwei Paare GLEICH langer Seiten. Man kann den Umfang also auch bestimmen, indem man die verschiedenen Seitenlängen mit 2 multipliziert und dann addiert. Setzen wir die gegebenen Seitenlängen ein, ergibt sich ein Umfang von 20 cm. Um den Flächeninhalt des Drachenvierecks zu bestimmen, drehen wir es zunächst SO auf die Seite. Weil HIER die Symmetrieachse verläuft, sind DIESE BEIDEN Dreiecke kongruent, also AUCH flächengleich. Wir müssen also nur die Fläche für EINES der Dreiecke bestimmen und das Ergebnis mal 2 nehmen. Der Flächeninhalt EINES Dreiecks berechnet sich zu ein Halb mal Grundseite mal Höhe. Für die Fläche des Drachenvierecks müssen wir das also mal 2 nehmen. Die Grundseite ist die Diagonale f. Die Höhe ein halb mal die Diagonale e. Insgesamt ergibt sich für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks also die Formel: ein halb mal e mal f. Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir 19,2 Quadratzentimeter. Schauen wir uns nun diesen Ohrring in Form einer Raute an: Die Seitenlängen sind alle gleich lang, nämlich 5,1 cm. Die kurze Diagonale ist 4,8 cm lang und die lange 9 cm. Um den Umfang einer Raute zu ermitteln, können wir also einfach eine Seitenlänge mal 4 nehmen. Setzen wir die gegebenen 5,1 cm in die Formel ein, erhalten wir für den Umfang DIESER Raute... 20,4 cm. Rauten sind spezielle Drachenvierecke. Die Flächenformel für Drachenvierecke gilt also auch für sie. Mit den gegebenen Werten für die Diagonalen erhalten wir 21,6 Quadratzentimeter. Nun noch dieser Ohrring in Form eines Quadrats. Da weißt du vielleicht schon, wie man Umfang und Flächeninhalt bestimmt. Bei 4 gleich langen Seiten ergibt sich der Umfang zu 4 mal Seitenlänge. Der Flächeninhalt ist genau das Quadrat der Seitenlänge. Was aber, wenn wir NUR die Diagonale gegeben haben? Weil auch das Quadrat ein spezielles Drachenviereck ist, können wir die Flächeninhaltsformel auch HIER übernehmen. Weil beim Quadrat auch die Diagonalen GLEICH lang sind, vereinfacht sich die Formel zu ein halb e Quadrat. Dieser quadratische Ohrring hat eine Diagonale der Länge 8 cm. Seine Fläche beträgt also 32 Quadratzentimeter. Fassen wir das noch einmal zusammen. Ein Drachenviereck ist ein Viereck mit zwei Paaren benachbarter gleich langer Seiten. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und die eine teilt die andere in der Mitte. Der Umfang ergibt sich aus der Summe der Seitenlängen. Weil je zwei Seitenlängen gleich lang sind, kann man die Formel SO schreiben: 2 mal a plus 2 mal b. Der Flächeninhalt ergibt sich aus der Hälfte des Produkts beider Diagonalen. Die Raute, auch Rhombus genannt, ist ein spezielles Drachenviereck. Sie hat 4 gleich lange Seiten. Daher vereinfacht sich die Umfangsformel zu 4 mal Seitenlänge. Die Flächeninhaltsformel ist dieselbe wie beim Drachenviereck. Das Quadrat ist ebenso ein spezielles Drachenviereck. Auch hier ergibt sich der Umfang zu 4 mal Seitenlänge. Weil ein Quadrat zwei gleich lange Diagonalen besitzt, vereinfacht sich die Formel für den Flächeninhalt aber SO: ein Halb mal Diagonale zum Quadrat Man kann ihn aber auch mit der bekannten Formel über die Seitenlänge a berechnen. Oh, Matilda hat auch ein schönes Geschenk für Sebastian. Wirklich schön!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. ber voll super gemacht! Das Einzige, was ich anzumerken habe, ist, dass die Stimme etwas zu langsam ist! Aber es ist super, dass ihr am Ende nochmal alle Formeln erklärt und übersichtlich in einer Tabelle aufgeschrieben habt!🙈♥️♥️♥️

    Von Isabella, vor 22 Tagen
  2. Ich verstehe die Formel für den Flächeninhalt des Quadrats nicht.

    Von Isabella, vor 22 Tagen
  3. Ich liebe eure Videos sie helfen mir immer sehr weiter und haben auch ein lustiges ende.

    Von Ruth, vor 6 Monaten
  4. Hallo @Guang Dua Wu,

    danke für den Hinweis. Wir bestücken die Videos nach und nach mit interaktiven Übungen. Über Rückmeldungen, welche Übungen gewünscht sind, freuen wir uns sehr. Natürlich streben wir eine möglichst hohe Abdeckung an.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu A., vor 6 Monaten
  5. Voll süßes ende!

    Von Heidi, vor 6 Monaten

Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Eigenschaften der Vierecke.

    Tipps

    Die Symmetrieachse dieses Drachenvierecks verläuft entlang der Diagonalen f.

    Du siehst hier einen Rhombus. Wie nennt man diese geometrische Form noch?

    Lösung

    Weil jede Raute und jedes Quadrat spezielle Drachenvierecke sind, treffen alle Eigenschaften eines Drachenvierecks auch auf jede Raute und jedes Quadrat zu. Ein Quadrat ist zudem eine spezielle Raute, sodass es ebenso auch alle Eigenschaften der Raute erfüllt.

    Ein Drachenviereck

    • besitzt je zwei benachbarte, gleich lange Seiten.
    • ist achsensymmetrisch und die Symmetrieachse verläuft entlang einer der beiden Diagonalen. Die andere Diagonale wird von dieser genau halbiert. Beide Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
    • besitzt somit auch zwei gleich große gegenüberliegende Winkel.
    Eine Raute

    • erfüllt alle Eigenschaften eines Drachenvierecks.
    • besitzt außerdem vier gleich lange Seiten und zwei Symmetrieachsen, die entlang der beiden Diagonalen verlaufen.
    • besitzt zwei Diagonalen, die sich jeweils gegenseitig halbieren.
    Ein Quadrat

    • erfüllt alle Eigenschaften einer Raute und somit auch eines Drachenvierecks.
    • besitzt zusätzlich vier rechte Winkel.
    • besitzt zusätzlich zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren.
  • Gib die passenden Formeln an und berechne die gesuchten Größen.

    Tipps

    Du kannst das Drachenviereck an der Symmetrieachse in zwei gleich große Dreiecke zerlegen. Ein solches Dreieck hat folgenden Flächeninhalt:

    • $A_{\text{Dreieck}}=\frac 12\cdot f\cdot \frac e2=\frac 14\cdot f\cdot e$
    Wie lautet dann die Formel für den Flächeninhalt des Drachenvierecks?

    Der Umfang ist die Länge der Begrenzungslinie einer Figur, also die Summe aller Seitenlängen.

    Die Fläche von Drachenviereck und Raute berechnest du mit derselben Formel.

    Lösung

    Der Umfang ist die Länge der Begrenzungslinie einer Figur, also die Summe aller Seitenlängen. Für das Drachenviereck erhalten wir also:

    • $U_{\text{Drachenviereck}}=a+a+b+b=2\cdot a+2\cdot b$
    Da die Raute vier gleich lange Seiten hat, lautet die Formel für den Umfang:

    • $U_{\text{Raute}}=a+a+a+a=4\cdot a$
    Die Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks erhalten wir, indem wir das Drachenviereck an der Symmetrieachse in zwei gleich große Dreiecke teilen. Ein solches Dreieck hat folgenden Flächeninhalt:

    • $A_{\text{Dreieck}}=\frac 12\cdot f\cdot \frac e2=\frac 14\cdot f\cdot e$
    Das Doppelte dieser Fläche ist dann der Flächeninhalt des Drachenvierecks und auch der Raute, da man bei der Raute genauso vorgeht. Für beide folgt:

    • $A=2\cdot \frac 14\cdot f\cdot e=\frac 12\cdot f\cdot e$
    Damit erhalten wir dann folgende Rechnungen:

    Drachenviereck

    $U=2\cdot 2,6\ \text{cm}+2\cdot 7,4\ \text{cm}=5,2\ \text{cm}+14,8\ \text{cm}=20\ \text{cm}$

    $A=\frac 12\cdot 8\ \text{cm}\cdot 4,8\ \text{cm}=19,2\ \text{cm}^2$

    Raute

    $U=4\cdot 5,1\ \text{cm}=20,4\ \text{cm}$

    $A=\frac 12\cdot 9\ \text{cm}\cdot 4,8\ \text{cm}=21,6\ \text{cm}^2$

  • Bestimme jeweils den Flächeninhalt der Vierecke.

    Tipps

    Der Flächeninhalt entspricht der Hälfte des Produktes der beiden Diagonalen.

    Bei einem Quadrat sind beide Diagonalen gleich lang.

    Lösung

    Den Flächeninhalt berechnen wir mit der Formel:

    $A=\frac 12\cdot e\cdot f$

    Da bei dem Quadrat $f=e$ gilt, vereinfacht sich die Formel für das Quadrat zu:

    $A=\frac 12\cdot e^2$

    Damit erhalten wir die folgenden Berechnungen:

    Beispiel 1

    Gegeben ist eine Raute mit $e=4\ \text{cm}$ und $f=12\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:

    $A=\frac 12\cdot 4\ \text{cm}\cdot 12\ \text{cm}=24\ \text{cm}^2$

    Beispiel 2

    Gegeben ist ein Drachenviereck mit $e=4\ \text{cm}$ und $f=8\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:

    $A=\frac 12\cdot 4\ \text{cm}\cdot 8\ \text{cm}=16\ \text{cm}^2$

    Beispiel 3

    Gegeben ist eine Raute mit $e=6\ \text{cm}$ und $f=4\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:

    $A=\frac 12\cdot 6\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm}=12\ \text{cm}^2$

    Beispiel 4

    Gegeben ist ein Quadrat mit $e=6\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:

    $A=\frac 12\cdot (6\ \text{cm})^2=18\ \text{cm}^2$

  • Ermittle jeweils den Umfang und Flächeninhalt der Vierecke.

    Tipps

    Der Umfang entspricht der Länge der Begrenzungslinie einer ebenen Figur.

    Eine Raute besitzt vier gleich lange Seiten. Ein Drachenviereck besitzt je zwei benachbarte gleich lange Seiten.

    Lösung

    Der Umfang einer ebenen Figur entspricht der Länge ihrer Begrenzungslinie. Hierzu addieren wir also alle Seitenlängen der ebenen Figur. Damit gilt:

    • Drachenviereck: $~U=a+a+b+b=2\cdot a+2\cdot b$
    • Raute: $~U=a+a+a+a=4\cdot a$
    Den Flächeninhalt erhalten wir für beide Vierecksarten mit:

    • $A=\frac 12\cdot e\cdot f$
    Wir erhalten damit die folgenden Berechnungen:

    Beispiel 1

    Gegeben ist eine Raute mit $a=5\ \text{cm}$, $e=8\ \text{cm}$ und $f=6\ \text{cm}$. Damit folgt:

    • $U=4\cdot 5\ \text{cm}=20\ \text{cm}$
    • $A=\frac 12 \cdot 8\ \text{cm}\cdot 6\ \text{cm}=24\ \text{cm}^2$
    Beispiel 2

    Gegeben ist ein Drachenviereck mit $a=4,2\ \text{cm}$, $b=5\ \text{cm}$, $e=6\ \text{cm}$ und $f=7\ \text{cm}$. Damit folgt:

    • $U=2\cdot 4,2\ \text{cm}+2\cdot 5\ \text{cm}=18,4\ \text{cm}$
    • $A=\frac 12 \cdot 6\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}=21\ \text{cm}^2$
    Beispiel 3

    Gegeben ist eine Raute mit $a=8,6\ \text{cm}$, $e=14\ \text{cm}$ und $f=10\ \text{cm}$. Damit folgt:

    • $U=4\cdot 8,6\ \text{cm}=34,4\ \text{cm}$
    • $A=\frac 12 \cdot 14\ \text{cm}\cdot 10\ \text{cm}=70\ \text{cm}^2$
  • Berechne den Flächeninhalt des Quadrates mit Hilfe der Diagonalen.

    Tipps

    Du kannst das Quadrat wie dargestellt zerlegen. Den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks erhältst du, indem du das Produkt aus Grundseite und Höhe halbierst.

    Zwei dieser Dreiecksflächen ergeben den Flächeninhalt des Quadrates.

    Es gilt $e\cdot e=e^2$.

    Lösung

    Sind die Seiten $a$ eines Quadrates gegeben, so können wir den Flächeninhalt eines Quadrates wie folgt berechnen:

    • $A=a^2$
    Da wir hier aber nur die Länge der beiden Diagonalen kennen, benötigen wir eine Formel für den Flächeninhalt, die nur von der Diagonalen $e$ abhängig ist. Hierzu zerlegen wir das Quadrat wie hier dargestellt in zwei gleich große Dreiecke. Den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks erhalten wir, indem wir das Produkt aus dessen Grundseite und Höhe halbieren. Die Grundseite ist hier $e$ und die Höhe $\frac e2$. Wir erhalten dann:

    • $A_{\text{Dreieck}}=\frac 12 \cdot e\cdot \frac e2=\frac 14\cdot e^2$
    Das Doppelte dieser Fläche entspricht dem Flächeninhalt des Quadrates, also:

    • $A_{\text{Quadrat}}=2\cdot\frac 14\cdot e^2=\frac 12\cdot e^2$
    Damit folgt:

    • $A_{\text{Quadrat}}=\frac 12\cdot (8\ \text{cm})^2=\frac 12\cdot 64\ \text{cm}^2=32\ \text{cm}^2$
  • Erschließe die minimale und maximale Zaunlänge.

    Tipps

    Ein Drachenviereck hat zwei Paar gleich lange Seiten. Die gleich langen Seiten liegen sich nicht gegenüber.

    An welchen beiden Seiten müsste man den Zaun anbringen, damit er am kürzesten ist?

    Für welche zwei Seiten erhältst du den längsten Zaun?

    Mit Hilfe des Umfangs und einer gegebenen Seitenlänge kannst du die anderen Seitenlängen des Drachenvierecks ausrechnen.

    Lösung

    Da ein Drachenviereck zwei Paar gleich lange, benachbarte Seiten hat, können wir direkt annehmen, dass die beiden kürzeren Seiten des Drachenvierecks je $6\ \text{m}$ lang sind. Wir können nun diese beiden Seiten vom Umfang abziehen und die Differenz durch zwei teilen. So erhalten wir die Länge der beiden längeren Seiten des Drachenvierecks:

    $(38\ \text{m} - 2\cdot 6\ \text{m}):2 = 13\ \text{m}$

    Für die beiden längeren Seiten erhalten wir somit je $13\ \text{m}$. Damit folgt für die minimale und maximale Zaunlänge:

    $L_{\text{min}}=2\cdot 6\ \text{m}=12\ \text{m}$

    $L_{\text{max}}=2\cdot 13\ \text{m}=26\ \text{m}$

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