Was ist eine Ellipse?

Was ist eine Ellipse? Übung

• Gib die Eigenschaften einer Ellipse an.

  Tipps

  Die schwarz eingezeichnete Strecke ist nicht die Hälfte der waagerechten Achse.

  Die Scheitel sind benannt nach der Achse, auf welcher sie liegen.

  Die Hauptachse verläuft durch die drei Punkte innerhalb der Ellipse.

  Die Scheitel liegen auf dem Ellipsenrand.

  Lösung

  Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Ellipse zu definieren:

  • als Kegelschnitt,
  • als Schrägbild, der Projektion eines Kreises.

  Wie kann man eine Ellipse zeichnen:

  • Man nimmt eine Schnur,
  • befestigt diese an zwei Punkten und
  • benutzt die Schnur wie einen Zirkel.

  Dieses Vorgehen bezeichnet man auch als Gärtnerkonstruktion.

  Die beiden Punkte, an welchen die Schnur festgemacht wird, seien $A$ und $B$. Da die Schnur immer gleich lang ist, kann man feststellen, dass für alle Punkte $P$ der Ellipse Folgendes gilt: Die Summe der Abstände eines Punktes $P$ auf dem Ellipsenrand zu den beiden Punkten $A$ und $B$ ist immer gleich. Die Abstände sind mit den gestrichelten Linien angedeutet.

  Die beiden Punkte $A$ und $B$ heißen Brennpunkte der Ellipse.

  Die Gerade durch die beiden Brennpunkte heißt Hauptachse.

  Die Gerade, welche durch den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$ geht und senkrecht zur Hauptachse verläuft, heißt Nebenachse.

  Die Punkte der Hauptachse, welche auf der Ellipse liegen, sind die Hauptscheitel, $Q$ und $S$, die der Nebenachse sind die Nebenscheitel, $R$ und $T$.

  Der Abstand vom Mittelpunkt der Hauptachse zu den beiden Brennpunkten, $e$, wird als lineare Exzentrizität bezeichnet.

  Der Schnittpunkt der Haupt- und Nebenachse ist der Mittelpunkt der Ellipse.

• Stelle die Zusammenhänge der einzelnen Größen in einer Ellipse dar.

  Tipps

  Betrachte die Summe der Abstände eines Hauptscheitels, $Q$ oder $S$, zu den Brennpunkten.

  $P_2$ ist ein Nebenscheitel. Dieser bildet mit den beiden Brennpunkten, $A$ und $B$, ein gleichschenkliges Dreieck.

  Das Dreieck mit den Seiten $b$, $e$ und $a$ ist rechtwinklig.

  Wende in diesem Dreieck den Satz des Pythagoras an.

  Lösung

  Nach einer möglichen Definition einer Ellipse gilt:

  $\overline{AP_1}+\overline{P_1B}=\overline{AP_2}+\overline{P_2B}=\overline{AP_3}+\overline{P_3B}$.

  Wenn man sich einen Hauptscheitel anschaut, erkennt man, dass die Summe dieser Abstände gerade $e+a+a-e=2a$ ist.

  Das Dreieck $\Delta_{ABP_2}$ ist gleichschenklig, da $P_2$ ein Nebenscheitel ist. Das bedeutet, dass jeder der beiden Schenkel die Länge $a$ hat.

  Wenn man dieses Dreieck halbiert, gilt mit dem Satz des Pythagoras:

  $a^2=e^2+b^2$.

  Diese Gleichung kann nach $e^2$ umgestellt werden zu

  $e^2=a^2-b^2$.

  Das bedeutet,

  • je größer die lineare Exzentrizität ist, desto größer ist der Unterschied zwischen $a$ und $b$.
  • je kleiner die lineare Exzentrizität ist, desto kleiner ist der Unterschied zwischen $a$ und $b$.
  • Wenn die lineare Exzentrizität $0$ ist, ist $a=b$ und damit liegt ein Kreis vor.

  Der Flächeninhalt der Ellipse ist gegeben durch $A=\pi\cdot a\cdot b$.

  In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung kann die Ellipse mit Hilfe der Ellipsengleichung angegeben werden:

  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

• Ermittle jeweils die fehlende Größe.

  Tipps

  Verwende die oben angegebenen Formeln.

  Für den Flächeninhalt benötigst du $a$ und $b$. Wenn nur eine der beiden Größen sowie $e$ gegeben sind, musst du zunächst die fehlende berechnen.

  Stelle die Formel $a^2-b^2=e^2$ entsprechend der fehlenden Größe um.

  Lösung

  Der Zusammenhang zwischen $a$, der halben Länge der Hauptachse, und $b$, der halben Länge der Nebenachse, sowie der linearen Exzentrizität ist gegeben durch $a^2-b^2=e^2$.

  Der Flächeninhalt der Ellipse wird mit der Formel $A=\pi\cdot a\cdot b$ berechnet.

  • $a=10$ und $b=6$ gegeben:

  \begin{align} e^2 & = a^2 - b^2~&\vert& \text{Werte einsetzen}\\ e^2 & = 10^2 - 6^2~&\vert& \text{berechnen}\\ e^2 & = 100 - 36~&\vert& \text{vereinfachen}\\ e^2 & = 64 ~&\vert& \sqrt{~} \\ e & = 8 \end{align}

  $A=\pi\cdot a \cdot b = \pi\cdot 10\cdot 6\approx 188,5$.

  • $a=12$ und $e=8$ gegeben:

  \begin{align} e^2 & = a^2 - b^2~&\vert& \text{nach} ~b^2~ \text{umstellen}\\ b^2 & = a^2 - e^2~&\vert& \text{Werte einsetzen}\\ b^2 & = 12^2 - 8^2~&\vert& \text{berechnen}\\ b^2 & = 144 - 64~&\vert& \text{vereinfachen}\\ b^2 & = 80 ~&\vert& \sqrt{~} \\ b & \approx 8,9 \end{align}

  Damit kann dann auch die Fläche berechnet werden: $A=\pi\cdot a \cdot b = \pi\cdot 12\cdot \sqrt{80}\approx 337,2$.

  • $b=7$ und $e=8$ gegeben:

  \begin{align} e^2 & = a^2 - b^2~&\vert& \text{nach} ~a^2~ \text{umstellen}\\ a^2 & = b^2 + e^2~&\vert& \text{Werte einsetzen}\\ a^2 & = 7^2 + 8^2~&\vert& \text{berechnen}\\ a^2 & = 49 + 64~&\vert& \text{vereinfachen}\\ a^2 & = 113 ~&\vert& \sqrt{~} \\ a & \approx 10,6 \end{align}

  Damit kann dann auch die Fläche berechnet werden: $A=\pi\cdot a \cdot b = \pi\cdot \sqrt{113}\cdot 7\approx 233,8$.

• Prüfe, welche der Punkte innerhalb, auf oder außerhalb der Ellipse liegen.

  Tipps

  In dieser Ellipse ist $a=6$ und $b=4$.

  Die Ellipsengleichung lautet

  $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$.

  Der Mittelpunkt $(0|0)$ liegt innerhalb der Ellipse:

  $\frac0{36}+\frac0{16}=0<1$.

  Der Punkt $(6|4)$ liegt sicher außerhalb der Ellipse:

  $\frac{36}{36}+\frac{16}{16}=1+1=2>1$.

  Man kann allgemein feststellen: Wenn für $P(x|y)$ der Term $\large\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

  • kleiner ist als $1$, liegt $P$ innerhalb,
  • gleich $1$ ist, liegt $P$ auf, und
  • größer $1$ ist, liegt $P$ außerhalb der Ellipse.

  Lösung

  Die Ellipsengleichung $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ besagt, dass für jeden Punkt auf der Ellipse mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung Gleichheit gilt.

  Falls $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1$ gilt, liegt der Punkt innerhalb der Ellipse.

  Falls $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}>1$ gilt, liegt der Punkt außerhalb der Ellipse.

  Nun kann jeder der angegebenen Punkte in der Ellipsengleichung eingesetzt werden:

  1. $P_1(3\sqrt3|2)$: $\frac{(3\sqrt3)^2}{36}+\frac{2^2}{16}=\frac{27}{36}+\frac4{16}=\frac34+\frac14=1$. Dieser Punkt liegt auf der Ellipse.
  2. $P_2(4|0)$: $\frac{4^2}{36}+\frac{0^2}{16}=\frac{16}{36}<1$. Dieser Punkt liegt innerhalb der Ellipse.
  3. $P_3(4|2)$: $\frac{4^2}{36}+\frac{2^2}{16}=\frac{16}{36}+\frac4{16}=\frac{16}{36}+\frac9{36}=\frac{25}{36}<1$. Dieser Punkt liegt innerhalb der Ellipse.
  4. $P_4(0|6)$: $\frac{0^2}{36}+\frac{6^2}{16}=\frac{36}{16}>1$. Dieser Punkt liegt außerhalb der Ellipse.
  5. $P_5(0|4)$: $\frac{0^2}{36}+\frac{4^2}{16}=\frac{16}{16}=1$. Dieser Punkt liegt auf der Ellipse.

• Ergänze die Erklärung zu Ellipsen.

  Tipps

  Stell dir vor, du schneidest mit einem scharfen Messer schräg durch einen Kegel. Was erhältst du dann als Begrenzung der Schnittfläche?

  • Du erhältst entweder eine Ellipse oder
  • eine Parabel oder
  • eine Hyperbel.

  In dem obigen Bild kannst du die Sonne sehen.

  Lösung

  Was ist eine Ellipse?

  Eine Ellipse ist der Schnitt einer Ebene mit einem Kegel, sofern dies eine geschlossene Kurve ist.

  Die Planeten des Sonnensystems kreisen auf elliptischen Bahnen um die Sonne.

  Die Ellipse zählt neben der Parabel und der Hyperbel zu den Kegelschnitten. Die letzten beiden wären nicht geschlossene Kurven. Eine anschauliche Definition ist die Definition der Ellipse als Punktmenge. Dabei haben alle Punkte gewisse Eigenschaften.

  Wenn man Schrägbilder von Kreisen zeichnet, werden häufig Ellipsen benötigt.

• Bestimme die Koordinaten der beiden Brennpunkte.

  Tipps

  Beide Brennpunkte liegen auf der $x$-Achse. Sie unterscheiden sich also nur in der $x$-Koordinate.

  $a$ ist die Hälfte der Länge der Hauptachse und $b$ die Hälfte der Länge der Nebenachse.

  Beide Längen kannst du ablesen.

  Hast du "$e$" bereits berechnet, so überlege dir, welche Strecke "$e$" darstellt.

  Lösung

  Wenn man $a$ und $b$ kennt, kann man $l$ mit der Formel $e^2=a^2-b^2$ berechnen. Aus dem Bild kann $a=6$ und $b=4$ abgelesen werden. Damit ist $e^2=6^2-4^2=36-10$ und damit $e=\sqrt{20}\approx 4,5$.

  Die beiden Brennpunkte liegen auf der x-Achse, haben also beide die y-Koordinate $0$. Es ist

  • $A(-4,5|0)$ und
  • $B(4,5|0)$.