Ellipsen – Keplersche Gesetze 07:50 min
Transkript Ellipsen – Keplersche Gesetze
Hallo! Ich bin Thekla und heute lernst du etwas über die Kepler’schen Gesetze und die damit verbundenen Ellipsen. Starten werden wir mit einem geschichtlichen Exkurs, der dir zeigen soll, was unsere Welt und das Sonnensystem mit Ellipsen zu tun hat. Was sind Ellipsen eigentlich? Auch das werden wir heute klären. Ich zeige dir außerdem, wie du eine Ellipse zeichnest. Zum Schluss lernst du die Kepler’schen Gesetze kennen. Viel Spaß! Seit der Antike und bis ins späte Mittelalter hinein waren die Menschen der Auffassung, die Erde sei der Mittelpunkt des Universums und dass alle Planeten, der Mond und auch die Sonne, sich um die Erde drehen. Dieses Weltbild nennt man geozentrisch.
Der Hobbyastronom Nikolaus Kopernikus stellte jedoch im 16. Jahrhundert die Theorie des heliozentrischen Weltbildes auf, also, dass sich die verschiedenen Planeten um die Sonne und nicht um die Erde drehten. Der deutsche Naturphilosoph und Mathematiker Johannes Kepler überprüfte die Theorie Kopernikus’ und stellte Anfang des 17. Jahrhunderts fest, dass sich der Planet Mars auf einer ellipsenförmigen Bahn um die Sonne dreht. Wenig später behauptete er in seinem Buch “Astronomia nova”, das bedeutet “Neue Astronomie”, dass sich auch die übrigen Planeten auf Ellipsenbahnen um die Sonne drehen. Doch was genau sind Ellipsen überhaupt? Eine Ellipse ist im Grunde ein gestreckter bzw. gestauchter Kreis. Sie hat immer zwei Brennpunkte F1 und F2. Die Brennpunkte haben eine besondere Funktion: Hat die Summe der Entfernungen eines beliebigen Punktes auf der Ellipsenbahn zu den zwei Brennpunkten einen konstanten Wert d, so liegt eine Ellipse vor. (Bitte zeige das beim Dreh. Zum Beispiel mit einem Faden und zwei Punkten auf der Ellipsenbahn)
Die Strecke durch den Mittelpunkt zwischen den am weitesten voneinander entfernten Punkten der Ellipse heißt große Halbachse, hier a genannt. Die Strecke den Mittelpunkt zwischen den am nächsten liegenden Ellipsenpunkten heißt kleine Halbachse, hier b.
Die Strecke vom Mittelpunkt zu einem der beiden Brennpunkte bezeichnen wir mit e. Jetzt zeige ich dir, wie du eine Ellipse selbst zeichnen kannst. Die Vorgehensweise hierbei nennt man “Gärtnerkonstruktion”.
Nehmen wir an, wir kennen die Lage der Brennpunkte einer Ellipse. Der Abstand zwischen den beiden ist 2 mal e gleich 40 cm lang, in der Mitte der Strecke liegt nämlich der Mittelpunkt der Ellipse. Die große Halbachse a hat die Länge 30 cm. Du benötigst nun einen Faden der 2 mal a plus 2 mal e lang ist, also insgesamt einen Meter lang ist. Diesen Faden knotest du zusammen. Nun musst du jeweils zwei Nägel oder Reißzwecken in die Brennpunkte stecken. Den Faden legst du dann um die Brennpunkte und zeichnest deine Ellipse so: Nun kannst du schon Ellipsen selbst zeichnen. Im Folgenden möchte ich dir die Kepler’schen Gesetze vorstellen.
Erstens: Die Planeten unseres Sonnensystems bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Zweitens: Der Leitstrahl eines Planeten, also die Verbindungslinie zwischen Planet und Sonne, überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Damit das gegeben ist, muss der Planet sich hier (auf den Ellipsenausschnitt vom schmalen Stück zeigen) also langsamer bewegen als hier (auf den Ellipsenausschnitt breites Stück zeigen).
Drittens: Das Verhältnis von den Quadraten der Umlaufzeiten zweier Planeten ist genauso groß wie das Verhältnis der dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen. Das Gesetzt beschäftigt sich also mit den unterschiedlich großen Umlaufbahnen der Planeten zur Sonne. Ganz klar: Je weiter weg ein Planet von der Sonne ist, umso länger braucht er, um die Sonne einmal zu umkreisen. In einer Formel ausgedrückt sieht die Gesetzmäßigkeit folgendermaßen aus: Das dritte Kepler’sche Gesetz wollen wir nun einmal überprüfen. In dieser Tabelle findest du die vier Planeten Merkur, Venus, Erde und Mars, ihre mittlere Entfernung zu Sonne r in astronomischen Längenheiten, abgekürzt AE, und ihre Umlaufzeit T in Jahren. Wenn wir davon ausgehen, dass r jeweils mit den großen Halbachsen a der Bahnen übereinstimmt, können wir die Formel zur Überprüfung des Gesetzes anwenden.
Lass uns Merkur mit der Venus vergleichen.
Die Zeit 0,2408² geteilt durch die Zeit 0,6152² ergibt gerundet 0,153. Die Entfernung 0,3871³ geteilt durch die Entfernung 0,7233³ ergibt gerundet ebenfalls 0,153.
Nun lass uns das Planetenpaar Erde und Mars anschauen.
Die Zeit 1,000² geteilt durch die Zeit 1,8808² ergibt gerundet 0,2827. Die Entfernung 1,000.³ geteilt durch die Entfernung 1,5237³ ergibt gerundet ebenfalls 0,2827. Damit können wir feststellen, dass es tatsächlich einen Zusammenhang zwischen Umlaufzeit und mittlerer Entfernung zweier Planeten gibt. Du hast heute eine Menge gelernt! Und mir hat es wie immer sehr viel Spaß gemacht, mit dir etwas Neues kennenlernen! Ich freue mich auf’s nächste Mal!
Tschüss!
Videobeschreibung
In diesem Video lernst du neben einigen interessanten geschichtlichen Aspekten die drei Kepler'schen Gesetze und vieles zum Thema "Ellipsen" kennen. Im Laufe der Jahrhunderte veränderte sich das Weltbild der Menschen sehr: Galt zuvor die Erde als der Mittelpunkt des Universums, so behauptete nun der Astronom Nikolaus Kopernikus im 16. Jahrhundert fest, dass sich die Planeten um die Sonne drehten. Damals ein Skandal! Doch der Naturforscher Johannes Kepler bestätigte die Vermutung und zeigte, dass die Planeten auf Ellipsenbahnen um die Sonne kreisen. Was Ellipsen genau sind, wie du sie zeichnest, was die Gärtnerkonstruktion damit zu tun hat und welche Gesetzmäßigkeiten Johannes Kepler sonst noch formuliert hat, erfährst du ebenfalls in diesem Video. Viel Spaß!
Die Tutorin:
Ellipsen – Keplersche Gesetze
Ellipsen – Keplersche Gesetze Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ellipsen – Keplersche Gesetze kannst du es wiederholen und üben.
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Ergänze die Erklärung zu den Keplerschen Gesetzen.
Tipps
„Geo“ ist eine Vorsilbe, welche für „Erde“ steht: zum Beispiel Geografie.
„Helio“ ist eine Vorsilbe, welche für „Sonne“ steht.
Das obige Bild zeigt eine Planetenbahn um die Sonne.
Lösung
Seit der Antike und bis ins späte Mittelalter hinein waren die Menschen der Auffassung, dass alle Planeten sich um die Erde drehen. Dieses Weltbild nennt man geozentrisch.
Der Astronom stellte im 16. Jahrhundert die Theorie des heliozentrischen Weltbildes auf. Das heißt, die Planeten drehen sich um die Sonne und nicht um die Erde.
Der deutsche Naturphilosoph und Mathematiker Johannes Kepler überprüft das heliozentrische Weltbild und stellte fest, dass sich der Planet Mars auf einer ellipsenförmigen Bahn um die Sonne dreht. Später stellte er fest, dass dies auch für die übrigen Planeten gilt.
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Benenne die Kepler'schen Gesetze.
Tipps
In dem obigen Bild ist das zweite Kepler'sche Gesetz dargestellt.
Der Leitstrahl ist die Verbindungslinie zwischen dem Planeten und Sonne.
Aus dem zweiten Kepler'schen Gesetz kann abgeleitet werden, dass die Planeten sich langsamer bewegen, wenn sie weiter von der Sonne entfernt sind, und schneller, je näher sie der Sonne kommen.
Lösung
Was besagen die Kepler'schen Gesetze?
- Die Planeten unseres Sonnensystems bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
- Der Leitstrahl eines Planeten, also die Verbindungslinie zwischen Planeten und Sonne, überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Das bedeutet, dass der Planet sich in weiter von der Sonne entfernten Bereichen langsamer bewegt als in solchen, die näher an der Sonne sind. Dieser Zusammenhang ist in dem nebenstehenden Bild zu sehen.
- Das Verhältnis von den Quadraten der Umlaufzeiten zweier Planeten ist genau so groß wie das Verhältnis der dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen.
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Prüfe das dritte Kepler'sche Gesetz an verschiedenen Beispielen.
Tipps
Verwende die Formel
$\large\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$.
Dabei steht $T$ für die Umlaufzeit und $a$ für die große Halbachse.
Es muss bei beiden Quotienten jeweils das Gleiche herauskommen. Dies ist die Aussage des dritten Kepler'schen Gesetzes.
Du kannst auch jeweils den Kehrwert bilden. Auch hier muss Gleichheit gelten.
Lösung
Um das dritte Kepler'sche Gesetz an Beispielen zu überprüfen, wird jeweils der Quotient der quadrierten Zeiten gebildet und dieser mit dem Quotienten der mit $3$ potenzierten Längen der großen Halbachse der Planetenbahnen verglichen. Diese müssen übereinstimmen.
Für das Planetenpaar Merkur und Erde ergibt sich:
- $\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{0,2408^2}{1^2}\approx 0,058$
- $\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{0,3871^3}{1^3}\approx 0,058$
- $\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{0,2408^2}{1,8808^2}\approx 0,016$
- $\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{0,3871^3}{1,5237^3}\approx 0,016$
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Entscheide, ob die gegebene Ellipse die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne sein kann.
Tipps
Die Sonne ist jeweils gelb in der Ellipse eingezeichnet.
Beachte das erste Kepler'sche Gesetz, welches besagt, dass die Planeten unseres Sonnensystems sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne drehen, wobei die Sonne einer der Brennpunkte ist.
In diesem Bild sind
- $A$ und $B$ Brennpunkte,
- der Schnittpunkt der beiden Achsen der Mittelpunkt,
- $a$ die große und
- $b$ die kleine Halbachse sowie
- $l$ die lineare Exzentrizität.
- Der Punkt $P$ ist ein beliebiger Punkt auf der Ellipse. Mit den gestrichelten Linien sind die Abstände des Punktes zu den Brennpunkten eingezeichnet.
- $Q$ und $S$ sind die sogenannten Hauptscheitel und
- $R$ und $T$ die Nebenscheitel.
Lösung
In dem nebenstehenden Bild sind die wichtigen Bezeichnungen in einer Ellipse zu sehen:
- $A$ und $B$ Brennpunkte,
- der Schnittpunkt der beiden Achsen der Mittelpunkt,
- $a$ die große und
- $b$ die kleine Halbachse sowie
- $l$ die lineare Exzentrizität.
- Der Punkt $P$ ist ein beliebiger Punkt auf der Ellipse. Mit den gestrichelten Linien sind die Abstände des Punktes zu den Brennpunkten eingezeichnet.
- $Q$ und $S$ sind die sogenannten Hauptscheitel und
- $R$ und $T$ die Nebenscheitel.
- Alle fünf Abbildungen zeigen Ellipsen.
- Nur in den ersten beiden ist die Sonne ein Brennpunkt der Ellipse. Diese beiden können Umlaufbahnen von Planeten sein.
- Im dritten Bild ist die Sonne der Mittelpunkt der Ellipse,
- im vierten ein beliebiger Punkt auf der Ellipse und
- im fünften ein Hauptscheitel.
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Benenne das Verfahren zur Konstruktion einer Ellipse.
Tipps
Die Bezeichnung der Konstruktion ist eine Berufsbezeichnung.
Es handelt sich um einen handwerklichen Beruf.
Menschen, die diesen Beruf ausüben, sorgen dafür, dass es um ein Haus herum schön aussieht.
Lösung
Die beiden Punkte $F_1$ und $F_2$ sind die Brennpunkte der abgebildeten Ellipse.
Es gilt für jeden Punkt auf der Ellipse, dass die Summe der Abstände des Punktes zu den Brennpunkten immer gleich ist.
Diese Eigenschaft kann genutzt werden, um eine Ellipse zu konstruieren.
Es wird eine Schnur mit der Länge $d$ um die beiden Brennpunkte gelegt. Wenn man die Spur spannt, hat man einen Punkt der Ellipse. Wenn man nun die Schnur ähnlich einem Zirkel bewegt, kann man die gesamte Ellipse konstruieren.
Diese Konstruktion wird als Gärtnerkonstruktion bezeichnet.
Die Länge $d$ ist gegeben durch
$d=\overline{F_1F_2}+2a$.
Dabei ist $a$ die halbe Länge der Hauptachse, die Achse der Ellipse, welche durch die beiden Brennpunkte verläuft.
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Bestimme die Umlaufzeit des Planeten Pluto.
Tipps
Verwende die Formel
$\large\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$
für das dritte Kepler'sche Gesetz.
Du kennst die beiden großen Halbachsen. Diese entsprechen dem mittleren Abstand des Planeten von der Sonne, sowie einer Umlaufzeit.
Setze die bekannten Größen in der obigen Formel ein und forme diese nach der Unbekannten um.
Lösung
Das dritte Kepler'sche Gesetz liefert die Formel
$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$.
In diesem Beispiel ist
- $T_1$ unbekannt,
- $T_2=0,2408$,
- $a_1=39,444$ sowie
- $a_2=0,3871$.
$\begin{align*} \frac{T_1^2}{0,2408^2}&=\frac{39,444^3}{0,3871^3}&|&\cdot 0,2408^2\\ T_1^2&=\frac{39,444^3}{0,3871^3}\cdot 0,2408^2\\ T_1^2&\approx 61346,007&|&\sqrt{~}\\ T_1&\approx 247,681. \end{align*}$
7 Kommentare
Hallo Amend,
Die Geschwindigkeit als Vektor dargestellt ist ja eine Gerade in Richtung der Bewegung. An allen Punkten der Ellipse zeigt diese Gerade durch die Ellipse (ist also eine Sekante(2 Schnittpunkte)). Nur an den Wendepunkten der Ellipse, das ist das Perihel und Aphel ist das nicht so, dort berührt die Gerade die Ellipse nur an ihrem Anfang (man hat also eine Tangente(einen Schnittpunkt)).
Liebe Grüße aus der Redaktion.
Hab nicht verstanden wieso nur im Perihel und im Aphel die Geschwindigkeit rein tangential sein soll ? Könnte mir das jmd. erläutern ?
Hallo Goetz Opitz,
da du selbst entscheiden kannst, was du als T1 und T2 auswählst, gibt es zwei Ergebnisse, die aber beide als richtig erkannt werden. Bei der Lösungsanzeige wird aber nur eine der Lösungen ausgegeben.
Genauso verhält es sich auch bei den Längen der Halbachsen.
Liebe Grüße aus der Redaktion.
Also irgendwas stimmt hier nicht...bei Übung 3 bei den korrigierten Kästen in die man einsetzen soll kommen , wenn die Übung falsch gelöst wurde, andere Ergebnisse raus als unten bei den Lösungen! Oben 17,irgendwas und unten 0,58! Und bei Übung 5 wird bei T1 aber die Zahl von T2 eingesetzt...Ich bin sehr verwirrt!
die sonne Fehlt