Ellipsen – Keplersche Gesetze 07:50 min

Hallo! Ich bin Thekla und heute lernst du etwas über die Kepler’schen Gesetze und die damit verbundenen Ellipsen. Starten werden wir mit einem geschichtlichen Exkurs, der dir zeigen soll, was unsere Welt und das Sonnensystem mit Ellipsen zu tun hat. Was sind Ellipsen eigentlich? Auch das werden wir heute klären. Ich zeige dir außerdem, wie du eine Ellipse zeichnest. Zum Schluss lernst du die Kepler’schen Gesetze kennen. Viel Spaß! Seit der Antike und bis ins späte Mittelalter hinein waren die Menschen der Auffassung, die Erde sei der Mittelpunkt des Universums und dass alle Planeten, der Mond und auch die Sonne, sich um die Erde drehen. Dieses Weltbild nennt man geozentrisch.

Der Hobbyastronom Nikolaus Kopernikus stellte jedoch im 16. Jahrhundert die Theorie des heliozentrischen Weltbildes auf, also, dass sich die verschiedenen Planeten um die Sonne und nicht um die Erde drehten. Der deutsche Naturphilosoph und Mathematiker Johannes Kepler überprüfte die Theorie Kopernikus’ und stellte Anfang des 17. Jahrhunderts fest, dass sich der Planet Mars auf einer ellipsenförmigen Bahn um die Sonne dreht. Wenig später behauptete er in seinem Buch “Astronomia nova”, das bedeutet “Neue Astronomie”, dass sich auch die übrigen Planeten auf Ellipsenbahnen um die Sonne drehen. Doch was genau sind Ellipsen überhaupt? Eine Ellipse ist im Grunde ein gestreckter bzw. gestauchter Kreis. Sie hat immer zwei Brennpunkte F1 und F2. Die Brennpunkte haben eine besondere Funktion: Hat die Summe der Entfernungen eines beliebigen Punktes auf der Ellipsenbahn zu den zwei Brennpunkten einen konstanten Wert d, so liegt eine Ellipse vor. (Bitte zeige das beim Dreh. Zum Beispiel mit einem Faden und zwei Punkten auf der Ellipsenbahn)

Die Strecke durch den Mittelpunkt zwischen den am weitesten voneinander entfernten Punkten der Ellipse heißt große Halbachse, hier a genannt. Die Strecke den Mittelpunkt zwischen den am nächsten liegenden Ellipsenpunkten heißt kleine Halbachse, hier b.

Die Strecke vom Mittelpunkt zu einem der beiden Brennpunkte bezeichnen wir mit e. Jetzt zeige ich dir, wie du eine Ellipse selbst zeichnen kannst. Die Vorgehensweise hierbei nennt man “Gärtnerkonstruktion”.

Nehmen wir an, wir kennen die Lage der Brennpunkte einer Ellipse. Der Abstand zwischen den beiden ist 2 mal e gleich 40 cm lang, in der Mitte der Strecke liegt nämlich der Mittelpunkt der Ellipse. Die große Halbachse a hat die Länge 30 cm. Du benötigst nun einen Faden der 2 mal a plus 2 mal e lang ist, also insgesamt einen Meter lang ist. Diesen Faden knotest du zusammen. Nun musst du jeweils zwei Nägel oder Reißzwecken in die Brennpunkte stecken. Den Faden legst du dann um die Brennpunkte und zeichnest deine Ellipse so: Nun kannst du schon Ellipsen selbst zeichnen. Im Folgenden möchte ich dir die Kepler’schen Gesetze vorstellen.

Erstens: Die Planeten unseres Sonnensystems bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Zweitens: Der Leitstrahl eines Planeten, also die Verbindungslinie zwischen Planet und Sonne, überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Damit das gegeben ist, muss der Planet sich hier (auf den Ellipsenausschnitt vom schmalen Stück zeigen) also langsamer bewegen als hier (auf den Ellipsenausschnitt breites Stück zeigen).

Drittens: Das Verhältnis von den Quadraten der Umlaufzeiten zweier Planeten ist genauso groß wie das Verhältnis der dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen. Das Gesetzt beschäftigt sich also mit den unterschiedlich großen Umlaufbahnen der Planeten zur Sonne. Ganz klar: Je weiter weg ein Planet von der Sonne ist, umso länger braucht er, um die Sonne einmal zu umkreisen. In einer Formel ausgedrückt sieht die Gesetzmäßigkeit folgendermaßen aus: Das dritte Kepler’sche Gesetz wollen wir nun einmal überprüfen. In dieser Tabelle findest du die vier Planeten Merkur, Venus, Erde und Mars, ihre mittlere Entfernung zu Sonne r in astronomischen Längenheiten, abgekürzt AE, und ihre Umlaufzeit T in Jahren. Wenn wir davon ausgehen, dass r jeweils mit den großen Halbachsen a der Bahnen übereinstimmt, können wir die Formel zur Überprüfung des Gesetzes anwenden.

Lass uns Merkur mit der Venus vergleichen.

Die Zeit 0,2408² geteilt durch die Zeit 0,6152² ergibt gerundet 0,153. Die Entfernung 0,3871³ geteilt durch die Entfernung 0,7233³ ergibt gerundet ebenfalls 0,153.

Nun lass uns das Planetenpaar Erde und Mars anschauen.

Die Zeit 1,000² geteilt durch die Zeit 1,8808² ergibt gerundet 0,2827. Die Entfernung 1,000.³ geteilt durch die Entfernung 1,5237³ ergibt gerundet ebenfalls 0,2827. Damit können wir feststellen, dass es tatsächlich einen Zusammenhang zwischen Umlaufzeit und mittlerer Entfernung zweier Planeten gibt. Du hast heute eine Menge gelernt! Und mir hat es wie immer sehr viel Spaß gemacht, mit dir etwas Neues kennenlernen! Ich freue mich auf’s nächste Mal!

Tschüss!