Strecken in gleiche Teile teilen
Strecken in gleiche Teile aufzuteilen erfordert Zirkel und Geodreieck. Durch einen Hilfsstrahl und eine parallele Verschiebung entstehen Abschnitte gleicher Größe. Der Strahlensatz erklärt, warum sie gleich lang sind. Möchten Sie mehr darüber erfahren? All dies und vieles weitere findest du in der ausführlichen Erläuterung!
- Einführung: Wie teilt man eine Strecke in gleiche Teile?
- Strecke in gleiche Teile teilen – Schritt für Schritt
- Strecke in gleiche Teile teilen – Verhältnis

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Strecken in gleiche Teile teilen Übung
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Beschreibe, wie du die Strecke $\overline{AB}$ in gleich große Teile teilst.
TippsUm eine Strecke in gleich große Teile zu teilen, brauchst du zunächst einen Hilfsstrahl.
Durch die gleich großen Teilstrecken auf dem Hilfsstrahl kannst du gleich große Teilstrecken auf der Strecke $\overline{AB}$ konstruieren.
LösungMöchtest du eine Strecke $\overline{AB}$ in vier gleich große Teile teilen, so gehst du wie folgt vor:
- Zeichne einen Hilfsstrahl, der im Punkt $A$ der Strecke beginnt und in einem spitzen Winkel zur Strecke verläuft. Dieser sollte nicht zu kurz gewählt werden.
- Trage mit einem Zirkel vier gleich lange Strecken auf dem Hilfsstrahl ab. Achte darauf, dass sich dabei die Zirkeleinstellung nicht ändert. Zeichne hierzu mit dem Zirkel einen Kreisbogen um den Punkt $A$, der den Hilfsstrahl schneidet. Stich in dem Schnittpunkt wieder ein und zeichne einen weiteren Kreisbogen, der den Hilfsstrahl schneidet. Wiederhole diesen Konstruktionsschritt, bis du vier Schnittpunkte auf dem Hilfsstrahl erhältst, die alle denselben Abstand zueinander haben.
- Zeichne mit einem Geodreieck eine Gerade durch den letzten Schnittpunkt auf dem Hilfsstrahl und den Endpunkt $B$ auf der Strecke $\overline{AB}$.
- Führe drei Parallelverschiebungen dieser Geraden durch die restlichen Schnittpunkte auf dem Hilfsstrahl durch. Nutze dafür zwei Geodreiecke, die du aneinanderlegst. Das erste Geodreieck bleibt dabei zunächst an der Geraden liegen, die du parallel verschieben möchtest. Das zweite Geodreieck dient als Führung und darf nicht verrutschen. Verschiebe das erste Geodreieck entlang des zweiten bis zum nächsten Schnittpunkt auf dem Hilfsstrahl und zeichne dort eine weitere Gerade. Wiederhole diesen Schritt noch zweimal.
- Die resultierenden vier Parallelen teilen nun die Strecke $\overline{AB}$ in vier gleich große Abschnitte.
Das Endergebnis kannst du der Abbildung entnehmen.
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Gib an, welche Eigenschaften bei der Teilung der Strecke $\overline{AB}$ in gleiche Teile vorliegen.
TippsTeilst du eine Strecke in gleich lange Abschnitte, zeichnest du zunächst einen Hilfsstrahl, welchen du mit einem Zirkel in Teilstrecken teilst. Dabei entspricht die Länge der Teilstrecken deinem Zirkelradius, welchen du nicht ändern darfst.
Auf die hier abgebildete Figur ist der Strahlensatz anwendbar, weil die beiden gelben Strecken parallel zueinander sind. Ist $\overline{AE}=\overline{ED}$, so gilt nach dem Strahlensatz:
$\overline{AB}=\overline{BC}$
LösungWenn wir eine Strecke $\overline{AB}$ in gleich lange Abschnitte teilen möchten, zeichnen wir zunächst einen Hilfsstrahl, welchen wir mit einem Zirkel in gleich lange Teilstrecken teilen.
Doch warum teilen wir den Hilfsstrahl in gleich lange Teilstrecken, wenn wir eigentlich die Strecke $\overline{AB}$ in gleich lange Abschnitte teilen möchten?
Das folgt aus dem Strahlensatz: Der Strahlensatz gilt, wenn zwei Strahlen im gleichen Punkt beginnen und von Parallelen geschnitten werden. Sind die Teilstrecken auf dem Hilfsstrahl alle gleich lang, so folgt mit dem Strahlensatz, dass auch die Abschnitte auf der Strecke $\overline{AB}$ alle gleich lang sein müssen.
Beachte, dass die Teilstrecken auf dem Hilfsstrahl und die auf der Strecke $\overline{AB}$ nicht gleich lang sein müssen.
Diese Konstruktion funktioniert für jede Anzahl von Abschnitten, ohne dass wir uns um den genauen Winkel des Hilfsstrahls oder den Radius am Zirkel kümmern müssen.
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Bestimme, wie viele Kreisbogen du zum Teilen der Strecke $\overline{AB}$ in gleich lange Abschnitte auf dem Hilfsstrahl abträgst.
TippsÜberlege, ob die Punkte $A$ und $B$ der Strecke $\overline{AB}$ in der gegebenen Zahl bereits enthalten sind oder nicht.
Liegen auf einer Strecke $\overline{AB}$ inklusive Anfangs- und Endpunkt insgesamt $n$ Punkte in gleichen Abständen, so sind zwischen diesen $n-1$ Abstände.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
Auf einem Sportplatz sollen sich $5$ Läufer auf einer Strecke $\overline{AB}$ in gleichen Abständen aufstellen. Dabei steht der erste Läufer auf dem Punkt $A$ und der letzte Läufer auf dem Punkt $B$. Zwischen diesen beiden Läufern stehen also drei weitere. Demnach wird die Strecke und somit auch der Hilfsstrahl in $4$ gleich lange Teilstrecken geteilt.
LösungLiegen auf einer Strecke $\overline{AB}$ inklusive Anfangs- und Endpunkt insgesamt $n$ Punkte in gleichen Abständen, so sind zwischen diesen $n-1$ Abstände. Wenn wir also wissen, wie viele Punkte auf den jeweiligen Strecken liegen, dann können wir die Anzahl der gleich langen Abschnitte auf dem Hilfsstrahl ableiten.
Mülleimer-Problem
Wir betrachten zunächst das Mülleimer-Problem: Auf dem geraden Schulweg $\overline{AB}$ von Lena sollen zwei Mülleimer in gleich großen Abständen aufgestellt werden. Wobei sich in den Punkten $A$ und $B$ bereits je ein Mülleimer befindet.
Somit möchten wir auf der Strecke $\overline{AB}$ inklusive Anfangs- und Endpunkt der Strecke insgesamt $4$ Mülleimer haben, die Strecke folglich in $3$ gleich lange Abschnitte teilen. Hierzu müssen wir auf dem Hilfsstrahl $3$ Kreisbögen abtragen.
Ballon-Problem
Für eine Geburtstagsparty sollen an einem Faden $\overline{AB}$ drei Luftballons in gleichen Abständen befestigt werden. Wir haben also inklusive Anfangs- und Endpunkt der Strecke $\overline{AB}$ drei Befestigungspunkte.
Die Strecke $\overline{AB}$ sowie der Hilfsstrahl müssen demnach in je $2$ gleich lange Abschnitte geteilt werden.
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Zeige alle Zeichnungen, bei denen die Strecke $\overline{AB}$ korrekt in $n$ gleiche Teile geteilt wurde.
TippsMan trägt mit einem Zirkel $n$ gleich lange Strecken auf dem Hilfsstrahl ab.
Man verbindet den letzten Schnittpunkt auf dem Hilfsstrahl mit dem Endpunkt $B$ der Strecke $\overline{AB}$.
Dann führt man $n-1$ Parallelverschiebungen dieser Geraden durch die restlichen Schnittpunkte auf dem Hilfsstrahl durch.
LösungIm Folgenden untersuchen wir die gegebenen Zeichnungen, in denen die Strecke $AB$ in $n$ gleich große Teile geteilt werden soll.
Zeichnung 1
Diese Zeichnung ist nicht korrekt, da die Strecke $\overline{AB}$ nicht in $3$, sondern in $4$ gleich große Teilstrecken geteilt wurde.Zeichnung 2
Diese Zeichnung ist korrekt. Die Strecke $\overline{AB}$ wurde, wie angegeben, in $4$ gleich große Teilstrecken geteilt.Zeichnung 3
Diese Zeichnung ist nicht korrekt: Die Strecke $\overline{AB}$ wurde zwar wie angegeben in $4$ Teilstrecken geteilt, allerdings sind diese nicht gleich groß. Das liegt daran, dass die Parallelverschiebung nicht richtig gemacht wurde.Zeichnung 4
Diese Zeichnung ist nicht korrekt, weil die Strecke $\overline{AB}$ nicht in $4$, sondern in $3$ gleich große Teilstrecken geteilt wurde.Zeichnung 5
Diese Zeichnung ist korrekt. Die Strecke $\overline{AB}$ wurde, wie angegeben, in $3$ gleich große Teilstrecken geteilt. -
Gib das zu verwendende Hilfsmittel an.
TippsIm Bereich der Konstruktion werden Längen mit einem Zirkel abgetragen.
Teilt man eine Strecke in einem Verhältnis von $3:2$, führt man ebenfalls eine Parallelverschiebung durch. Diese kannst du der Abbildung entnehmen.
LösungWenn wir eine Strecke $\overline{AB}$ in $n$ gleich lange Abschnitte teilen möchten, brauchen wir für die einzelnen Konstruktionsschritte bestimmte Hilfsmittel:
- Wir zeichnen mit einem Geodreieck einen Hilfsstrahl.
- Wir tragen mithilfe von einem Zirkel gleich lange Teilstrecken auf dem Hilfsstrahl ab.
- Wir führen mit zwei Geodreiecken Parallelverschiebungen durch.
Für solch eine Konstruktion genügen also Zirkel und Geodreieck.
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Ermittle die gesuchte Anzahl an Abschnitten.
TippsDie Länge einer Strecke setzt sich wie folgt zusammen:
Streckenlänge $=$ Anzahl gleich langer Abschnitte $\cdot$ Abschnittslänge
Eine Strecke, die du in $n$ gleich lange Abschnitte der Länge $a$ geteilt hast, hat eine Gesamtlänge von:
$\overline{AB}=n\cdot a$
Möchtest du jedoch die Anzahl $n$ bestimmen, so formst du wie folgt um:
$n=\overline{AB} : a$
LösungSetzt sich eine Strecke $\overline{AB}$ aus $n$ gleich langen Abschnitten der Länge $a$ zusammen, so gilt:
$\overline{AB}=n\cdot a$
Da in unserem Fall die Strecke $\overline{AB}=35\ \text{cm}$ und die Abschnittslänge $a=5\ \text{cm}$ gegeben sind, müssen wir umstellen zu:
$n=\overline{AB} : a$
Dann erhalten wir:
$n=35\ \text{cm}\ :\ 5\ \text{cm}=7$
Max hat die Strecke also in $7$ gleich lange Abschnitte geteilt.
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